# バタフライ裁定：行使価格凸性、加重スプレッド、約定可能性

バタフライでコール価格の凸性を検証し、不等間隔行使価格を扱い、実行可能な裁定と気配ノイズを区別します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/butterfly-arbitrage/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 直接的な答え

同一満期、同一条件の欧州型コール価格は行使価格とともに増加せず、行使価格に対し**凸**でなければなりません。等間隔 `K−h`、`K`、`K+h` では：

`C(K−h) − 2C(K) + C(K+h) ≥ 0`

左辺はロング・コール・バタフライ価格で、満期ペイオフは常に非負です。全費用と制約を含めても純受取で構築でき、将来負債がなければ静的無裁定に反します。

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## 凸性と不等間隔行使価格

等間隔型は低いコール1枚買い、中間2枚売り、高い1枚買いです。満期ペイオフは低い価格以下でゼロ、中間で `h`、高い価格でゼロに戻ります。

不等間隔 `K₁ < K₂ < K₃` に `1:−2:1` は使えません。`w = (K₃−K₂)/(K₃−K₁)` とすると：

`C(K₂) ≤ wC(K₁) + (1−w)C(K₃)`

同等の加重型は低いコールを `K₃−K₂`、中間を `K₃−K₁` 売り、高いものを `K₂−K₁` 買い、取引可能数量に縮尺します。

凸性により二階行使価格微分は非負状態価格密度に対応します。負のバタフライ価格は理想曲線で負の局所密度です。

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## 90/100/110違反例

同期した欧州型コールの理論約定価格を次とします。

| 行使価格 | コール価格 |
| ---: | ---: |
| `$90` | `$15` |
| `$100` | `$10` |
| `$110` | `$4` |

ロング・バタフライ費用は：

`$15 − 2×$10 + $4 = −$1`

1単位当たり先に `$1` を受け取り、満期ペイオフは非負、`S_T = $100` で `$10` です。乗数100なら費用前受取は `$100`。

実際は買う両翼のAskと売る中間2枚のBidを使います。それで費用が正なら中値裁定はありません。全契約の満期、行使方式、決済、乗数、原資産も一致が必要です。

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## 裁定確認事項

- 同期した約定可能Bid/Askを使い、終値や中値を使わない。
- `1:−2:1` 前に等間隔を確認し、違えば加重する。
- 満期、原資産、行使方式、決済、乗数、企業行動を一致させる。
- 複合注文を使い、脚ごとの方向・変動性リスクを避ける。
- 手数料、取引所費、資金、証拠金、税、決済費を含める。
- 必要数量の板厚を調べる。
- 欧州型を優先し、米国型行使と配当の現金流を別途扱う。
- 業者権限、建玉制限、清算、満期処理を確認する。

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## よくある誤解

- 「負の中値なら無料利益。」中値は約定価格ではありません。
- 「任意の三行使価格に使える。」`1:−2:1` は等間隔のみです。
- 「満期非負なら無リスク。」約定、割当、決済、業者リスクがあります。
- 「負の適合密度なら取引できる。」補間や古いデータの場合があります。
- 「後で各脚を表示価格で取れる。」市場変動と部分約定があります。
- 「小さな違反を大量取引すればよい。」厚み、費用、インパクトが増えます。

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## 関連トピック

- [Breeden-Litzenberger公式](/ja/options/breeden-litzenberger-formula/)
- [ビッド・アスク・スプレッド](/ja/options/bid-ask-spread/)
- [ボックス・スプレッド](/ja/options/box-spread/)

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## 権威ある情報源

- [オプション価格に内包された状態条件付き請求権価格](https://doi.org/10.1086/296025) - Douglas T. Breeden and Robert H. Litzenberger
- [標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - OCC
- [SPXオプション商品仕様](https://www.cboe.com/tradable_products/sp_500/spx_options/specifications/) - Cboe