# Delta-Gamma 近似：オプションの非線形損益を推定する

Delta と Gamma で価値変化を推定し、ポートフォリオ Greeks を正しく換算し、局所二次近似の限界を理解します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/delta-gamma-approximation/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 直接の答え

**Delta-Gamma 近似**は、時間、インプライド・ボラティリティ、金利、配当を一時的に一定として、原資産変動によるオプションまたはポートフォリオ価値の変化を推定します。

`ΔV ≈ Delta × ΔS + 0.5 × Gamma × (ΔS)²`

Delta は線形の方向項、Gamma は現値変動で Delta 自体が変わることによる曲率修正です。局所的な二次 Taylor 近似で、小さな変動のシナリオとリスク確認には有用ですが、完全な再評価の代わりではありません。

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## Gamma 項が重要な理由

Delta は価値の現値に対する一次微分、Gamma は二次微分、つまり Delta の変化率です。係数 `0.5` は Taylor 展開の二次項から生じ、省略できません。

上昇・下落のどちらでも `(ΔS)²` は正なので、正 Gamma は両方向で正の曲率項を加え、負 Gamma は差し引きます。これはロング・オプションが常に利益になる意味ではありません。Delta、支払プレミアム、Theta、Vega、取引費用も総損益に影響します。

ポートフォリオでは各オプションの 1 株当たり Greeks をポジション符号、契約数、乗数で換算して合計します。

`ポートフォリオ Delta = Σ(符号 × 契約数 × 乗数 × Delta_i)`

`ポートフォリオ Gamma = Σ(符号 × 契約数 × 乗数 × Gamma_i)`

標準的な米国株式オプションは通常 100 倍です。株式は 1 株当たり Delta 1、Gamma 0 です。複数資産では各リスク因子を別々に変化させ、必要なら交差 Gamma を加えます。無関係な原資産に一つの `ΔS` は使えません。

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## Delta 0.45、Gamma 0.08 の Call

Call 価値が `5.00`、Delta が `0.45`、Gamma が `0.08`、原資産が 100 から 103 に上昇し `ΔS=3` とします。

- Delta 項：`0.45×3=1.35`
- Gamma 項：`0.5×0.08×3²=0.36`
- 推定変化：`1.35+0.36=1.71`
- 推定価値：`5.00+1.71=6.71`

Delta だけなら `6.35` で、正の曲率を `0.36` 過小評価します。100 から 97 へ下落すると `ΔS=−3`、Delta 項は `−1.35`、Gamma 項は `+0.36` のままです。推定変化は `−0.99`、推定価値は `4.01` です。

乗数 100 のロング 10 枚なら、1 株当たり変化を `1,000` 倍し、上昇時の推定利益は `$1,710` です。ショート 10 枚では Delta と Gamma の符号が逆になり、同じ上昇で他要因前の推定損失は `$1,710` です。

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## 正しい利用の確認事項

- 乗数を掛ける前に Greeks が 1 株、1 契約、または既にポートフォリオ換算か確認します。
- ポジション符号付き Greeks を使います。通常の Call と Put はロングで正 Gamma、ショートで負 Gamma です。
- 上昇・下落の両方を試します。片方向だけでは曲率と非対称性を隠します。
- 変化を局所的に保ちます。Gamma は現値、時間、変動性で変わり、特に満期直前の ATM で急変します。
- 大きな変動は小さな段階に分けて Greeks を更新するか、新シナリオで全契約を再評価します。
- `Vega×ΔIV` と `Theta×Δt` を加える前に単位を確認します。Vega は 1 ポイントまたは 100%、Theta は日次または年次の場合があります。
- 曲面変化、配当、金利、ギャップ、流動性、費用を広いストレステストに加えます。
- 独立した完全再評価と比較して残差を記録します。残差拡大はモデル、単位、欠落因子のリスクです。

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## よくある誤解

- 「Gamma 修正は `Gamma×(ΔS)²`。」Taylor 展開には `0.5` が必要です。
- 「正 Gamma は上下どちらでも利益。」曲率が接線より有利なだけで、総損益には Delta、Theta、Vega、プレミアム、費用があります。
- 「Delta 中立は価格中立。」現在点だけで中立であり、現値変動後は Gamma が Delta を再生成します。
- 「近似は予測。」現在のモデル感応度による条件付き計算で、確率や目標価格ではありません。
- 「変動幅が大きいほど有用。」異なるマネーネスを通過すると開始時 Gamma の信頼性が下がります。
- 「別システムの Greeks を直接合計できる。」モデル、時刻、ボラティリティ、配当、単位が違う場合があります。

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## 関連トピック

- [Delta と Gamma](/ja/options/delta-gamma/)
- [ネット Greeks](/ja/options/net-greeks/)
- [Gamma リスク](/ja/options/gamma-risk/)
- [Vega](/ja/options/vega/)

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## 権威ある情報源

- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - Options Industry Council
- [Volatility and the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - Options Industry Council
- [Options Calculator and Greeks Tools](https://www.cboe.com/oi/tools/) - Cboe Options Institute
- [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia