--- title: "Delta-Gamma近似：局所損益、単位、フル・リプライシング" description: "符号付きDelta、Gamma、クロスGamma、整合する単位、有限差分検証、フル・リプライシングにより、オプションとポートフォリオの局所的な価値変化を推定します。" image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Delta-Gamma近似：局所損益、単位、フル・リプライシング > 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資には損失の可能性があります。 ## 要点 固定した時点とモデル状態におけるモデル価値 `V_i(S, x)` について、1因子の **Delta-Gamma近似**は `ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²` です。ここで `Delta_i = ∂V_i / ∂S`、`Gamma_i = ∂²V_i / ∂S²` であり、`ΔS` は微分に用いた原資産価格座標と同じ座標上の絶対変化です。 この式は、モデル価値変化を局所的な2次のテイラー展開で推定するものです。予測、確率、約定可能な損益、またはフル・リプライシングの代替ではありません。解釈には、対象となる請求権、符号付きポジション、乗数、通貨、座標、ボラティリティ・サーフェス、時間、金利、配当、借株、行使モデル、決済、ベンダーのスケーリングを正確に特定する必要があります。
Deltaの接線とGammaによる曲率補正を示す曲線状のオプション価値 Deltaの接線とGammaによる曲率補正を示す曲線状のオプション価値
Delta-Gamma推定は局所近似です。有限シナリオはフル・リプライシングで検証します。
## 符号と単位を揃えた近似台帳 `q_i` を符号付きオプション契約数（ロングは正、ショートは負）、`M_i` を整合するプレミアム乗数、`h` を符号付き原資産単位とします。同一の整合する価格座標に基づく請求権について、ポジションDeltaは `D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i`、ポジションGammaは `G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i`、局所的なポジション推定値は `ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)²` です。株式のロング1単位はDelta `+1`、Gamma `0` を寄与します。 1. 個々のシリーズ、時点、ポジションの符号、数量、乗数、受渡対象、通貨、行使方式、決済方法、価格座標、モデル・バージョンを固定します。銘柄記号が似ていても、請求権の整合性は保証されません。 2. モデル状態とショック規約を固定します。現物かフォワードか、金利、配当、借株、正確な満期までの時間、ボラティリティ・サーフェス、スティッキー・ストライクかスティッキー・デルタか、離散イベントの扱いを明示します。時間またはボラティリティが同時に動く場合、純粋な現物Delta-Gammaシナリオではありません。 3. 各レッグを単位が整合するグリークスに正規化します。現物、フォワード、先物、プレミアム調整済み、キャッシュDeltaを区別し、Gammaが `$1`、指数ポイント、先物ポイント、`1% spot move` のいずれ当たりかを確認します。ベンダー値に数量や乗数がすでに含まれている場合もあります。 4. 符号付きの `q_i × M_i` で集計し、原資産ヘッジは別途加えます。画面上で一つの数値に見えるだけで、通貨、座標、満期、決済方式、または独立に較正されたサーフェスが異なるポジションを相殺してはいけません。 5. 複数のリスク要因 `x` には、勾配とヘッセ行列による `ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx` を用います。対称ヘッセ行列では非対角要素の組が2次形式内で2回数えられるため、簡約した寄与は `Gamma_AB × ΔA × ΔB` です。ゼロでも、さらに2倍するものでもありません。 6. 滑らかなモデルのグリークスを中心差分で検証します。`Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε)` および `Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε²` を使い、`ε` を変化させて打切り誤差、桁落ち、グリッド、サーフェス再較正の影響を確認します。 7. 有限シナリオでは全レッグをフル・リプライシングし、残差を照合します。取引分析ではモデル価格を約定可能なビッド・アスクに置き換え、約定、手数料、ヘッジのスリッページ、借株、配当、アサインメント、行使、決済キャッシュフロー、税金、ショック後のグリークスを反映します。 `Vega × ΔIV` または `Theta × Δt` を加えられるのは、ボラティリティと時間の単位、および時間微分の向きを定義した場合だけです。それでもVanna、Vomma、Charm、スキューの変形、交差項、高次項を取りこぼす可能性があります。大きなショックを分割する方法は、各ステップで状態全体とグリークスを更新する場合に限り有効です。それでも近似であり、経路依存となることがあります。 ## 計算例 - **1枚のコールとフル・リプライシング。** 欧州型コールの条件を `S = 100`、`K = 100`、`r = 4%`、連続利回り `y = 1%`、`σ = 25%`、`τ = 0.5` とします。Black-Scholes基準値は `V_0 = 7.7215522303`、`Delta_i = 0.5659323171`、`Gamma_i = 0.0221205770` です。`ΔS = +5` に対し、Delta項は `2.8296615855`、Gamma項は `0.2765072125`、推定変化は `ΔV_DG = 3.1061687980`、したがって推定価値は `10.8277210283` です。同じIVでのフル・リプライシングでは `V_1 = 10.8172471731`、変化は `3.0956949428`、残差は1株当たり `full − DG = −0.0104738552`、1契約当たり `−$1.047386`（`M = 100`）です。終点IVが `30%` なら、フル価値は `12.1628459929`、総変化は `4.4412937626` です。当初の現物のみの推定は、状態変化と相互作用の `1.3351249646` を含みません。 - **符号付きショート・ポジション。** 6枚のコールをショートし、`q = −6`、`M = 100`、`Delta_i = 0.55`、`Gamma_i = 0.04` とすると、`D_pos = −330 shares`、`G_pos = −24 shares per $1` です。`ΔS = +2` ではDelta項とGamma項が `−$660` と `−$48`、合計 `−$708`、更新後Deltaは約 `−378 shares` です。`ΔS = −2` では `+$660` と `−$48`、合計 `+$612`、更新後Deltaは約 `−282 shares` です。負のGammaは両方向で曲率寄与を負にしますが、総損益を対称にはしません。 - **オプションと株式ヘッジ。** `Delta_i = 0.35`、`Gamma_i = 0.025` のコールを4枚ロングし、`Delta_i = −0.40`、`Gamma_i = 0.030` のプットを3枚ショートします。`M = 100` とし、さらに `200 shares` を空売りします。オプションDeltaは `+140 + 120 = +260 shares`、純 `D_pos = +60 shares` です。Gammaは `+10 − 9 = +1 share per $1` です。`ΔS = +5` に対するポジション推定は `60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50`、更新後Deltaは約 `+65 shares` です。レッグ別寄与はコールが `+$825.00`、プットが `+$487.50`、株式が `−$1,000` で、合計は `+$312.50` と一致します。 - **2因子のクロスGamma。** `ΔA = +2`、`ΔB = −3`、`Delta_A = 120`、`Delta_B = −80`、`Gamma_AA = 4`、`Gamma_BB = 2`、対称な `Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5` とし、すべて整合するポジション単位と通貨単位に換算済みとします。線形項は `120 × 2 + (−80) × (−3) = 480`、対角曲率は `½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17`、簡約した交差項は `1.5 × 2 × (−3) = −9` です。合計は `488` です。クロスGammaを省略すると `497`、簡約した交差項を再び2倍すると `479` になります。 ## リスクと管理策 - シリーズ、ルート、満期、権利行使価格、オプション種類、受渡対象の誤りは近似を無効にします。 - ポジションの符号を落とすと、Delta、Gamma、ヘッジ方向、要因分解が反転します。 - 契約数とプレミアム乗数は、二重計上または計上漏れの可能性があります。 - 調整済み契約、先物オプション、ベンダー集計済みグリークスは非標準単位の場合があります。 - 現物、フォワード、先物、対数価格、プレミアム調整済み、キャッシュ座標は交換できません。 - 絶対価格ショックは、百分率または標準偏差ショックとは異なります。 - 通貨と為替換算により、見かけ上比較可能なグリークスが整合しないことがあります。 - 異なる時点や古い原資産、サーフェス、オプション価格を混ぜると、見せかけの相殺が生じます。 - スティッキー・ストライク、スティッキー・デルタ、スキュー、期間構造の規則は感応度を変えます。 - 金利、配当、借株、資金調達、正確な満期時刻は価値とグリークスに影響します。 - ベンダーの単位によって、時間項とボラティリティ項は符号が反対、または100倍違うことがあります。 - 米国型行使と離散配当には、滑らかな欧州型公式にはない境界があります。 - デジタル、バリアなど不連続な請求権のGammaは、不安定または分布的になることがあります。 - 満期直前のGammaと有限差分は、権利行使価格とグリッドに強く依存します。 - 大きなショックでは、固定した初期グリークスが省略する3次以上の項が表面化します。 - ジャンプ、ギャップ、取引停止は連続的な局所リバランスの仮定を崩します。 - 複数資産のブックでは、クロスGamma、相関、因子対応を省略または二重計上するおそれがあります。 - 有限差分のバンプが大きすぎると打切り誤差、小さすぎると桁落ちノイズが増えます。 - モデル価格とグリークスは、約定可能価格、数量、ヘッジ流動性を保証しません。 - 動的ヘッジ、手数料、価格インパクト、借株、アサインメント、決済、モデル版、証券会社記録は最終照合が必要です。 ## よくある誤解 - 「Gamma項は `Gamma_i × (ΔS)²` である。」テイラー係数は `½` です。 - 「正のGammaならどちらに動いても利益になる。」局所的に接線対比の価値を改善するだけで、Delta、プレミアム、時間、ボラティリティ、費用、経路はなお重要です。 - 「Delta中立なら無リスクである。」現在の一次項を一つ除くだけで、Gamma、Vega、Theta、ジャンプ、ベーシス、流動性、モデルのリスクは残ります。 - 「表示されたVegaとThetaを加えれば損益推定は完成する。」単位、微分の向き、交差感応度、サーフェス変化、高次項も揃える必要があります。 - 「精密なグリークスや小刻みな反復はフル・リプライシングの代わりになる。」要因分解は改善しますが、有限シナリオ、約定、ライフサイクル事象には完全な評価と照合が必要です。 ## 関連トピック - [DeltaとGamma](/ja/options/delta-and-gamma/) - [Charm、Vanna、Vomma](/ja/options/charm-vanna-vomma/) - [Delta中立ポジション](/ja/options/delta-neutral/) ## 参考資料 - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/delta-gamma-approximation/index.mdx