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title: "ディスパージョン取引：指数分散、構成銘柄分散、相関"
description: "整合的な分散入力、インプライド相関の検証、執行可能なサイジング、イベント・サーフェスリスク、決済管理、完全な損益台帳でディスパージョン取引を評価します。"
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# ディスパージョン取引：指数分散、構成銘柄分散、相関

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資により損失が生じる可能性があります。

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## 要点

**ディスパージョン取引**は、株価指数とその構成銘柄バスケットに反対方向のボラティリティまたは分散ポジションを取る取引です。一般的なロング・ディスパージョンは構成銘柄のボラティリティまたは分散をロング、指数をショートにし、リバース・ディスパージョンは符号を逆転させます。商品、ウェイト、ノーショナル、満期、サーフェス、決済、ヘッジ規則の全体が取引を定義します。

これは純粋でも無リスクでもない相関取引です。ATMストラドルのクオート、オプション・ストリップのインプライド分散、バリアンス・スワップ・ストライクは別物です。厳密に正規化しても、ボラティリティ水準、スキュー、ジャンプ、Gamma、Deltaヘッジ、構成、執行、資金調達、決済、モデルのリスクが残ります。

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## 整合的な分散とライフサイクル台帳

時点構成ウェイト `w_i`（`sum_i w_i = 1`）、整合的なリターン `R_i`、指数リターン近似 `R_I = sum_i w_i R_i` に対し、分散恒等式は `sigma_I^2 = sum_i w_i^2 sigma_i^2 + 2 sum_{i<j} w_i w_j sigma_i sigma_j rho_ij` です。共通のスカラー相関を仮定するなら、`A = sum_i w_i^2 sigma_i^2`、`B = 2 sum_{i<j} w_i w_j sigma_i sigma_j`、`rho_bar = (sigma_I^2 - A) / B` と定義します。ただし `B > 0` が条件です。

1. 上場ストラドル、オプション・ストリップ、分散エクスポージャー等の商品、方向、指数版、銘柄ユニバース、証券ライン、目的、損失予算、縮小バスケットの追跡リスクを確定します。
2. 時点ウェイト、リターン、価格またはトータルリターン、通貨、年率化、観測日・満期、フォワード、金利、配当、コーポレートアクションを固定し、各契約のストライク、サーフェス、乗数、ノーショナル、権利行使方式、決済、時刻、約定可能サイドを記録します。
3. 指数と構成銘柄を同じ分散基準にそろえ、`A`、`B`、指数分散、`rho_bar` を計算します。ウェイト、`B > 0`、数値範囲、半正定値としての実現可能性を検証します。スカラー平均は相関行列全体を圧縮した値で、観測された真実ではありません。
4. 株式ウェイトや枚数だけでなく、分散ノーショナル、Vega、Gamma、乗数、満期、通貨、フォワード感応度で指数・構成銘柄レッグの符号付き数量を決めます。除外銘柄、整数丸め、グロス・グリークス、追跡誤差、残余エクスポージャーを残します。
5. 同期したビッド・アスク、パッケージ管理、部分約定・レギング制限、明示的なDeltaヘッジ計画で執行します。プレミアム、スワップ価値、担保、証拠金、現金、手数料、インパクト、借株、資金調達、拒否レッグを記録し、開始時クレジットや空売り代金を利益とみなしません。
6. ウェイト、サーフェス、期間構造、スキュー、グリークス、決算、M&A、訴訟、売買停止、上場廃止、リバランス、コーポレートアクション、借株、証拠金、決済時刻を監視し、価格・構成・感応度の変化後に再計算します。
7. 損益を指数分散、構成銘柄分散、共分散・相関残差、サーフェス、Deltaヘッジ、ジャンプ、構成、資金調達、借株、手数料、税に分解します。指数の公式現金決済値、株式オプションの現物行使・アサインメント、現金、ポジション、担保、ブローカーまたはスワップ明細を照合します。

恒等式には整合的な入力が必要で、クオート・ボラティリティをそのまま取引に変えるものではありません。オプション・ストリップは手法に従ってモデルフリー型分散を推定できますが、ATMストラドルにはストライクとサーフェスのエクスポージャーが残ります。`rho_bar` が実現可能領域外なら、入力の不整合またはスカラーモデル不足を示す診断であり、執行可能な裁定の証拠ではありません。

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## 計算例

- **個別株ボラティリティが同じでも、相関で指数分散は変わります。** 等ウェイト10銘柄の `sigma_i = 30%` とします。共通相関では `sigma_I^2 = 0.1 x 0.30^2 + 0.9 x 0.30^2 x rho_bar`。`rho_bar = 0.20` なら分散は `0.0252`、指数ボラティリティは `sqrt(0.0252) = 15.874508%`。`rho_bar = 0.80` なら `0.0738` と `27.166155%` です。変化したのは共同変動です。
- **不等ウェイトからインプライド相関を逆算します。** ウェイト `0.50, 0.30, 0.20`、構成銘柄ボラティリティ `25%, 30%, 40%`、整合的な指数ボラティリティ `24%` なら、`A = 0.030125`、`B = 0.056900`、`rho_bar = (0.24^2 - 0.030125) / 0.056900 = 0.4828646749`、すなわち `48.286467%` です。これは同期入力によるスカラーモデル値で、相関行列全体ではありません。
- **Vegaサイジングと中立性ドリフト。** 構成銘柄バスケットのVegaは `+$40,000 per vol point`、指数パッケージ1単位は `+$16,000 per vol point`。連続量の目標では `2.5 index packages` をショートします。`2` 単位なら `+$8,000 per vol point`、`3` 単位なら `-$8,000 per vol point` が残ります。後に構成銘柄が `+$36,000`、指数1単位が `+$15,000` となれば、元の `-2.5` による純Vegaは `36,000 - 2.5 x 15,000 = -$1,500 per vol point` です。
- **分散損益と実装費用を分けます。** 両スリーブを `N_var = $100,000 per 1.00 decimal variance` とします。構成銘柄ロングのストライク `30%`、実現 `32%` なら `100,000 x (0.32^2 - 0.30^2) = +$1,240`。指数ショートのストライク `22%`、実現 `20%` なら `100,000 x (0.22^2 - 0.20^2) = +$840`、グロスは `+$2,080`。指数実現が `25%` なら指数レッグは `-$1,410`、グロスは `-$170`。株式20契約を `$0.10/share x 100`、指数5パッケージを各方向 `$0.30 x 100` でクロスすれば、片道 `$350`、往復 `$700` で、ネットは `+$1,380` と `-$870` です（Deltaヘッジ、資金、借株、税引前）。

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## リスクと管理

- 指数、版、除数、ユニバース、証券ライン、ウェイト時点の誤りは計算を変えます。
- 縮小バスケットには完全複製ではなく追跡・モデルリスクがあります。
- 採用・除外、分割、M&A、特別配当、停止、上場廃止は銘柄とウェイトを変えます。
- ウェイトの二乗、ペア項、正規化の欠落は恒等式を壊します。
- スカラー相関は実現不能、非半正定値行列の隠蔽、異なるペアリスクの圧縮を招きます。
- ボラティリティ、十進分散、分散ポイント、年率化は100倍または10,000倍ずれ得ます。
- 対数・単純リターン、価格・総収益、暦、窓、日数計算が不整合になり得ます。
- 満期、時刻、フォワード、金利、配当、借株、通貨、FXが不整合になり得ます。
- ATM、スキュー、ストリップ分散、スワップ・ストライクは互換ではありません。
- 分散ノーショナル、Vega、Gamma、乗数、フォワード、契約数が不整合になり得ます。
- 整数化、除外銘柄、変動するグリークスは中立性と追跡をドリフトさせます。
- 指数下方スキューと暴落保険料は平均相関と別に再評価され得ます。
- 市場全体のショックでは相関が1へ跳ね、指数ボラティリティも急上昇し得ます。
- 決算、M&A、訴訟など固有ジャンプが個別レッグを支配し得ます。
- 指数・株式オプションは最終取引、AM/PM、公式値、決済が異なり得ます。
- 株式オプションの現物行使・アサインメントは株式とストライク資金を発生させる一方、指数は現金決済され得ます。
- 多数レッグは部分約定、拒否、レギング、意図しない方向性を生じ得ます。
- スプレッド、インパクト、流動性枯渇、逆選択、反復Deltaヘッジが優位性を消費します。
- 借株、資金、証拠金、担保、清算、相手方、税、運用条件は変化します。
- データ、モデル、損益帰属、現金、ポジション、担保、記録が照合不能になり得ます。

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## よくある誤解

- 「純粋な相関取引または裁定だ」。ボラティリティ、スキュー、ジャンプ、グリークス、執行、ライフサイクルが残ります。
- 「指数ウェイトが契約数を決める」。分散ノーショナル、グリークス、乗数、満期、フォワード、丸めも必要です。
- 「低いインプライド相関は必ず平均回帰する予測だ」。モデル依存の価格出力で、実現経路の保証ではありません。
- 「開始時Vega中立ならリスク中立で持続する」。Gamma、サーフェス、時間、構成、整数制約が変えます。
- 「ロング・ディスパージョンは必ず暴落を守り、利益は相関予測を証明する」。暴落相関、指数スキュー、個別イベント、ヘッジ、費用が結果を左右します。

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## 関連トピック

- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [バリアンス・スワップ](/ja/options/variance-swap/)
- [Deltaヘッジ](/ja/options/delta-hedging/)

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## 一次資料

- [Cboe S&P 500 Dispersion Index](https://www.cboe.com/us/indices/dispersion/) - Cboe Global Markets
- [Cboe S&P 500 Dispersion Index Methodology](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/methodology-the-dispersion-index.pdf) - S&P Dow Jones Indices
- [Implied Correlation](https://www.cboe.com/us/indices/implied/) - Cboe Global Markets
- [Cboe® Implied Correlation® Index (COR3M) White Paper](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/Implied_Correlation-WhitePaper-v1.0.5.pdf) - Cboe Global Markets
- [Cboe Volatility Index Mathematics Methodology](https://cdn.cboe.com/resources/indices/Volatility_Index_Methodology_Cboe_Volatility_Index.pdf) - Cboe Global Markets
- [Equity Options](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/clearing/equity-options-product-specifications) - The Options Clearing Corporation
- [S&P 500® Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - Cboe Global Markets
- [The Price of Correlation Risk: Evidence from Equity Options](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.2009.01467.x) - The Journal of Finance

Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/dispersion-trading/index.mdx