# Dupire局所ボラティリティ：オプション・サーフェスから拡散過程へ

欧州型コール価格から局所ボラティリティを抽出するDupire公式、無裁定平滑化の必要性、静的較正のモデルリスクを解説します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/dupire-local-volatility/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 要点

**Dupire局所ボラティリティ**は、無裁定の欧州型オプション価格サーフェスから推定する、資産水準と時間の決定論的関数です。連続的なリスク中立価格過程が現在の全権利行使価格・満期のコール価格を再現するための瞬時拡散率 `σ_loc(S,t)` を求めます。

これは較正モデルであり、実現ボラティリティや株価方向の予測ではありません。現在のバニラ・サーフェスを理論上正確に再現しても、翌日のスマイル動態、エキゾチック価格、ヘッジ結果が正しいとは限りません。

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## モデルと公式

連続無リスク金利 `r`、配当利回り `q` の下で、

`dS_t = (r−q)S_t dt + σ_loc(S_t,t)S_t dW_t`。

`C(K,T)` を十分滑らかな欧州型コール価格サーフェスとすると、代表的なDupire形式は

`σ_loc²(K,T) = [∂_T C + (r−q)K∂_K C + qC] / [0.5K²∂²_K C]`。

分母にはコールの権利行使価格に関する二階微分があり、割引後のリスク中立終端密度と関連します。コール価格は権利行使価格に対して減少かつ凸で、適切なカレンダー制約も必要です。割引、先渡し、配当、座標により公式の形が変わるので入力と単位を揃えます。

局所ボラティリティはIVではありません。IVは1つの価格を再現するBlack-Scholes入力、局所ボラティリティは経路が状態 `(S,t)` に達したときの瞬時拡散係数です。純局所モデルではその状態に1つの値しかありませんが、確率的ボラティリティでは同じ現値・時刻に複数の分散状態があり得ます。

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## 微分値による例

`K=$100`、`T=0.5` 年で、滑らかな無裁定コール・サーフェスが次を与えるとします。

- `C=7.00`、`∂_T C=8.50`/年。
- `∂_K C=−0.45`、`∂²_K C=0.018`/ドル²。
- 連続複利 `r=4%`、`q=1%`。

分子は `8.50 + (0.04−0.01)×100×(−0.45) + 0.01×7.00 = 7.22`、分母は `0.5×100²×0.018 = 90`。したがって `σ_loc²≈7.22/90≈0.0802`、`σ_loc≈28.3%` です。

微分値はフィット済みサーフェスの例で、隣接するオプション・チェーンを直接差分したものではありません。相場は離散的、非同期、ノイズを含み、二階微分は小さな誤差を増幅します。負またはゼロに近い分母は負、無限大、不安定な局所分散を生みます。

実務では同期相場を洗浄し、割引と先渡しを推定し、バタフライ・カレンダー裁定のない滑らかなサーフェスをフィットして微分し、境界を管理します。最後にPDEまたはシミュレーションで入力オプションを再評価し、選択した仲値だけでなく取引可能範囲に戻るか確認します。

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## 較正チェックリスト

- 欧州型または根拠ある欧州化を使い、米国型株式オプションの早期行使価値を無視しない。
- Moneyness定義前に金利、配当、Put-Call Parityから一貫した先渡しを推定する。
- 複数の権利行使価格・満期で価格または総分散を静的無裁定制約付きでフィットする。
- 単調性、凸性、カレンダー順序、正の密度、正の局所分散を確認する。
- Bid/Askを参照し、古い・交差相場を除き、疎な翼の外挿を記録する。
- 相場、先渡し、配当、ノット、補間、グリッドを変えて不安定性を測る。
- 全較正商品を再評価し、一部の権利行使価格・満期を検証用に残す。
- 特に短期と境界でPDEとMonte Carloを比較する。
- バニラ再評価が正確でも、バリア等の経路依存価格はモデル依存として扱う。
- 別のスマイル動態、確率的ボラティリティ、ジャンプでヘッジを検証する。

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## よくある誤解

- 「局所ボラティリティはその権利行使価格のIVだ」。定義が異なり一致する必要はありません。
- 「バニラの正確な較正がモデルの正しさを証明する」。静的一貫性であり動的真実ではありません。
- 「生のチェーンを公式に入れられる」。微分前の平滑化と無裁定管理が不可欠です。
- 「負の局所分散は市場を表す」。通常は入力、裁定、補間、数値問題です。
- 「反推サーフェスは将来の実現ボラティリティを予測する」。現在価格に較正したリスク中立量です。
- 「較正済みならバリア価格も正しい」。経路とスマイル動態に大きなモデルリスクがあります。

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## 関連トピック

- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [ヒストリカル・ボラティリティ](/ja/options/historical-volatility/)
- [バタフライ裁定](/ja/options/butterfly-arbitrage/)
- [カレンダー裁定](/ja/options/calendar-arbitrage/)

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## 一次・学術資料

- [Bruno Dupire：Pricing with a Smile](https://www.risk.net/sites/default/files/import_unmanaged/risk.net/data/Pay_per_view/risk/technical/1994/risk_0194_volatility.pdf)
- [局所時間とDupire公式](https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.07.013)
- [Gatheral and Jacquier：無裁定SVIサーフェス](https://arxiv.org/abs/1204.0646)
- [Heston：確率的ボラティリティによるオプション価格](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)