--- title: "Dupire局所ボラティリティ：オプション・サーフェスから拡散過程へ" description: "価格、フォワード、総分散の各座標でDupire局所ボラティリティを検証し、無裁定フィッティング、微分の安定性、再評価、動的モデル管理を扱います。" image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Dupire局所ボラティリティ：オプション・サーフェスから拡散過程へ > 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資により損失が生じる可能性があります。 ## 端的な回答 **Dupire局所ボラティリティ**は、十分に滑らかで無裁定のヨーロピアン・オプション価格サーフェスから推定する決定論的な瞬時拡散係数 `σ_loc(S,t)` です。選択したリスク中立キャリー・モデルの下で、各時点の周辺分布が現在の全権利行使価格・満期のバニラ価格を再現する一つの拡散過程を構築します。 これはキャリブレーション結果であり、同じ権利行使価格のインプライド・ボラティリティでも、実現ボラティリティの予測でも、市場が一つの局所ボラティリティ経路則に従う証明でもありません。バニラの再評価が正確でも、将来のスマイル動態、バリア価格、ヘッジ結果、ジャンプ挙動は誤り得ます。 ## モデル、座標、管理プロセス 1. 正確なヨーロピアン型ペイオフ、原資産、決済値、気配時刻、通貨、権利行使価格・満期の単位、評価時点を確定します。アメリカン型の早期行使価値と離散配当ジャンプには、明示的なヨーロピアン価格への調整または別モデルが必要です。 2. 決定論的な割引・キャリー入力として `D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du)`、`D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du)`、`F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T)` を構築します。古い株式、オプション、金利、配当の観測値を混ぜず、同時刻のプット・コール・パリティでフォワードを照合します。 3. ビッドとアスクを清掃し、古いまたは交差した市場を除外し、プットとコールを一貫して変換します。微分前に、一つの割引・フォワード座標で垂直スプレッド境界、コール価格の逓減性と凸性、非負密度、カレンダー整合性を強制します。 4. 補間とウイング・時間外挿を明示して、滑らかな価格または総分散サーフェスをフィットします。時点ゼロの割引済みヨーロピアン・コール `C(K,T)` と決定論的な瞬時 `r(T)`、`q(T)` について、価格座標の式は `σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK]` です。`C_T` は `K` を固定して求め、`C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0` です。 5. 微分と座標を一致させます。`k=K/F(T)`、正規化コール `c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T))` とすると、`σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk)` です。対数フォワード・マネーネスを `y=ln(K/F(T))`、総インプライド分散を `w(y,T)=σ_BS²(y,T)T` とし、`g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2` を定義して `σ_loc²=w_T|y/g` を使います。`w_T|y≥0` と `g>0` が必要であり、固定 `K`、固定 `k`、固定 `y` の微分は交換できません。 6. 負または不安定な局所分散は黙ってフロア処理せず、キャリブレーションを不合格にします。気配、フォワード、配当、ノット、補間、グリッド、境界を摂動し、フォワード密度またはバックワードPDEとモンテカルロ実装を通じて、キャリブレーション商品と検証用に除外した商品を再評価します。 7. 局所ボラティリティ、確率的ボラティリティ、ジャンプの各シナリオで、バリアその他の経路依存請求権とヘッジ損益を比較します。気配データのバージョン、フィルター、曲線、サーフェス・パラメーター、微分法、失敗ノード、外挿、ソルバー許容誤差、再キャリブレーション変更を記録します。 ## 4つの計算例 - **フラットなBlack-Scholesサーフェスは入力を復元します。** `S₀=K=100`、`T=0.5`、`r=4%`、`q=1%`、`σ_BS=25%` とします。厳密なサーフェスは `C=7.721552230288`、`C_K=−0.488716794830`、`C_KK=0.022120576997`、`C_T=8.301615173889` を与えます。分子は `6.912680311701`、分母は `110.602884987209` なので、`σ_loc²=0.0625`、`σ_loc=25%` です。 - **二階微分は微小な価格誤差を増幅します。** 同じフラット・サーフェスで、権利行使価格 `99/100/101` のコール価格は `8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654` です。間隔 `h=$1` の中心差分は `C_KK≈0.022115059190` となり、他の厳密な微分値を使うと `σ_loc≈25.0031186%` です。中央のコールだけを `$0.01` 引き上げると `C_KK≈0.002115059190`、`σ_loc≈80.8494317%` に変わり、`$0.05` 引き上げると `C_KK≈−0.077884940810`、`σ_loc²≈−0.017751006138` になります。これは無効な値であり、ボラティリティ予測ではありません。 - **フォワード正規化には固定 `k` の時間微分が必要です。** `D_d=0.98`、`F=102`、`k=1`、`c=0.08`、`c_T|k=0.032`、`c_kk=3.20` とします。このとき `C=7.9968`、`C_KK=0.030745098039`、価格座標の分子は `3.19872`、分母は `159.936` です。両方の式が `σ_loc²=0.020000000000`、`σ_loc=14.1421356237%` を与えます。固定権利行使価格で求めた時間微分を、座標変換項なしで `c_T|k` として代入することはできません。 - **総分散の分母は裁定診断です。** `y=−0.1` で `w=0.04`、`w_y=−0.10`、`w_yy=0.50`、`w_T|y=0.02` とします。すると `g=0.9525`、`σ_loc²=0.020997375328`、`σ_loc=14.4904711200%` です。`w_yy` だけを `−1.50` に変えると `g=−0.0475` となり、式は `σ_loc²=−0.421052631579` を生成します。そのフィット済みサーフェスまたはノードは却下または修復すべきであり、クリップしてキャリブレーション済みと表示してはいけません。 ## キャリブレーション・チェックリスト - アメリカン型の行使価値がヨーロピアン型として扱うサーフェスに混入し得ます。 - 離散または不確実な配当は、イベント日に滑らかな連続配当利回り拡散に反します。 - 金利曲線、複利方式、日数計算、満期時刻が不整合になり得ます。 - スポット、権利行使価格、フォワード、対数マネーネス、プレミアム正規化座標が混同され得ます。 - 気配が古い、非同期、交差している、または互換性のない数量に対応する場合があります。 - 仲値は約定可能でなく、広いまたは片側だけの市場を隠し得ます。 - プット・コール・パリティと推定フォワードは借株、配当、時点の影響を受け得ます。 - サーフェスのフィッティング前に垂直境界やコールの単調性が破れている場合があります。 - バタフライ凸性と正の密度条件が局所またはウイングで破れ得ます。 - カレンダー条件は一貫した割引・フォワード座標で検証する必要があります。 - 短期満期と疎な権利行使価格は微分を不安定にします。 - ウイングと長期外挿がエキゾチック評価を支配し得ます。 - 有限差分、スプライン、自動微分はそれぞれ異なる形で気配ノイズを増幅し得ます。 - 密度がゼロに近いと局所分散の分母が悪条件になります。 - 負の分子または局所分散は入力、裁定、数値処理の不整合を示します。 - 黙示的なクリッピングやフロア処理は失敗を隠し、再評価を歪め得ます。 - PDE、密度、モンテカルロ、グリッド、境界の実装が一致しない場合があります。 - 各時点の周辺分布を一致させても将来のスマイルや経路動態は決まりません。 - ジャンプ、確率的ボラティリティ、バリア、離散ヘッジには残余モデルリスクがあります。 - データ版、フィルター、パラメーター版、失敗ノード、再キャリブレーションには管理が必要です。 ## よくある誤解 - 「局所ボラティリティは同じ権利行使価格のインプライド・ボラティリティだ。」両者はサーフェス全体を介して結び付く別の対象です。 - 「見た目が滑らかなサーフェスなら局所ボラティリティも安定する。」滑らかさだけでは無裁定や微分の良条件性を保証しません。 - 「バニラを正確に再評価できればエキゾチック価格とヘッジも正しい。」検証するのは静的周辺分布であり、動的な真実ではありません。 - 「負の局所分散は市場情報だ。」通常は気配、裁定、座標、補間、数値処理の不整合を診断しています。 - 「現在のサーフェスは実現ボラティリティや真の過程を一意に予測する。」複数の動態が同じ各時点のバニラ分布を共有し得ます。 ## 関連トピック - [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/) - [バタフライ裁定](/ja/options/butterfly-arbitrage/) - [カレンダー裁定](/ja/options/calendar-arbitrage/) ## 一次・権威資料 - [スマイルを用いた価格評価](https://www.risk.net/derivatives/equity-derivatives/1500211/pricing-with-a-smile) - [オプション価格に内包される状態依存請求権価格](https://doi.org/10.1086/296025) - [Itô微分を持つ過程の一次元周辺分布の模倣](https://doi.org/10.1007/BF00699039) - [無裁定SVIボラティリティ・サーフェス](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986) - [ボラティリティ補間](https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1694972) - [確率的ボラティリティ下のオプションの閉形式解と債券・通貨オプションへの応用](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - [標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - [オプション気配](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals) Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/dupire-local-volatility/index.mdx