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title: "ローカル・ボラティリティ・モデル：オプション価格から状態依存ボラティリティへ"
description: "Dupire のローカル・ボラティリティ・モデルが、無裁定な欧州型オプション曲面を状態依存の拡散過程へ変換する仕組みと、完全な較正でも現実的なスマイル動学が保証されない理由を解説します。"
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# ローカル・ボラティリティ・モデル：オプション価格から状態依存ボラティリティへ
> 教育目的に限った情報であり、投資助言ではありません。投資では損失が生じることがあります。
## 要点
**ローカル・ボラティリティ・モデル**は、瞬間的なボラティリティを現在の原資産価格と時刻の決定論的な関数とします。単純な株式のリスク中立モデルでは、`dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t` と表されます。単一の一定ボラティリティを使う Black-Scholes と異なり、適切に較正したローカル・ボラティリティ拡散は、現在のさまざまな行使価格と満期の欧州型オプション価格を再現できます。
この較正特性が捉えるのは現在のリスク中立周辺分布であり、実現ボラティリティや明日のインプライド・ボラティリティ曲面を予測するものではありません。モデルは価格評価とヘッジのために内部整合的な経路過程を一つ与えますが、決定論的な状態依存性により、市場観測とは異なる将来のスマイル変動が生じることがあります。
## Dupire 較正の仕組み
行使価格 `K`、満期 `T` の欧州型コールの時点ゼロ価格を `C(K,T)` とします。連続複利金利 `r` と連続配当利回り `q` が一定なら、分母が正の領域で Dupire のフォワード方程式は次を与えます。
`σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`。
曲率 `∂²_KK C` は割引後のリスク中立満期密度に比例します。そのため、コール価格は行使価格に対して減少かつ凸であり、満期ごとの断面はキャリー調整後の適切なカレンダー制約を満たす必要があります。気配値が疎であったり整合しなかったりすると、推定分散が不安定または負になり得ます。
実務の較正は通常、時点をそろえたオプション気配値、割引係数、フォワード、配当、契約条件から始めます。静的無裁定条件の下で滑らかな曲面を当てはめてから微分します。得られたローカル・ボラティリティ格子には補間と上限・下限を適用し、較正対象オプションの再価格評価で検証します。
ローカル・ボラティリティは、同じ行使価格と満期の提示インプライド・ボラティリティではありません。インプライド・ボラティリティは一つのオプション価格に一致させる Black-Scholes の一定入力値であり、ローカル・ボラティリティは、その推移が較正済み周辺分布全体を生み出す瞬間的な拡散係数です。
## Dupire 計算例
`K=$100`、`T=1` 年において、平滑化したコール曲面から `C=$8`、年間 `∂_T C=10` ドル、`∂_K C=-0.45`、ドル当たり `∂²_KK C=0.018` が得られたとします。`r=5%`、`q=2%` とすると、分子は次のとおりです。
`10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`。
分母は `0.5×100²×0.018=90` です。したがってローカル分散は `8.81/90=0.0979`、ローカル・ボラティリティは `√0.0979=31.3%` です。
これは数値例であり、市場推定値ではありません。他の入力を固定したまま、ノイズの多い当てはめによって曲率が `0.018` から `0.012` に変わると、推定ボラティリティは `√(8.81/60)=38.3%` まで上昇します。この感応度は、データ洗浄、無裁定平滑化、安定した微分、アウト・オブ・サンプル検証の重要性を示します。
## 較正とモデルリスクのチェックリスト
- 時点をそろえた約定可能な気配値、フォワード、割引係数、配当、契約条件、決済慣行を使う。
- 交差気配、古い気配、買い気配ゼロ、経済的に不整合な観測値を、文書化した規則で除外する。
- 微分前に、行使価格方向の単調性と凸性、およびキャリー調整後の適切なカレンダー制約を課す。
- 補間、平滑化ペナルティ、気配値の重み、格子間隔、境界条件、外挿への感応度を調べる。
- 較正対象の全バニラを再評価し、誤差をインプライド・ボラティリティのポイントだけでなく価格単位でも報告する。
- スポットとスマイルのショック下で、Black-Scholes や確率的ボラティリティの代替モデルとヘッジ挙動を比較する。
- 連続拡散では瞬時の不連続をヘッジできないため、ジャンプとギャップをストレステストする。
- 将来の曲面動学を、現在の適合から保証される結果ではなくモデル仮定として扱う。
- 価値がモデルの経路法則に依存するバリアなどの経路依存型商品には特に注意する。
- 曲面が変化したら再較正し、市場損益、キャリー、ヘッジ誤差、再較正効果を分ける。
- 数値微分が小さな入力誤差を増幅するため、疎なウィングと長期満期の外挿を制限する。
- 流動性、取引費用、離散ヘッジ、早期行使、取引相手または決済条件は別途織り込む。
## よくある誤解
- 「各点のローカル・ボラティリティはインプライド・ボラティリティと等しい。」定義の異なる別の量です。
- 「完全な較正はモデルが真実だと証明する。」現在のバニラに適合しながら異なる経路とヘッジを示すモデルは複数あります。
- 「Dupire の式は生の気配値に直接適用できる。」滑らかな微分値と無裁定な入力が必要です。
- 「完備な拡散モデルなら全リスクが消える。」ジャンプ、離散ヘッジ、流動性、モデル誤差は残ります。
- 「曲面を細かくすれば必ず精度が上がる。」微分はノイズや流動性の低い気配値を増幅します。
- 「モデルはボラティリティを予測する。」較正で得るのはリスク中立の価格関数であり、実世界予測ではありません。
- 「全バニラに適合するモデルは全エキゾチックを同じ価格にする。」経路法則と将来のスマイル動学は異なり得ます。
- 「負のローカル分散は有効な市場シグナルだ。」通常はデータ、当てはめ、微分、仮定の不整合を示します。
## 関連トピック
- [Black-Scholes モデル](/ja/options/black-scholes-model/)
- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [Heston モデル](/ja/options/heston-model/)
- [有限差分法によるオプション価格評価](/ja/options/finite-difference-option-pricing/)
- [デルタ・ヘッジ](/ja/options/delta-hedging/)
- [ガンマ・リスク](/ja/options/gamma-risk/)
## 一次資料と権威ある資料
- [Dupire: Pricing with a Smile](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile)
- [Derman and Kani: Riding on a Smile](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf)
- [Derman, Kani, and Zou: The Local Volatility Surface](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1996/06/gs-local_volatility_surface.pdf)
- [Hagan ほか: Managing Smile Risk](https://wilmott.com/managing-smile-risk/)
- [OCC: 標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/local-volatility-model/index.mdx