# リスク中立密度：オプション価格から状態価格を抽出する

ヨーロピアン・オプションの横断面がリスク中立分布を内包する仕組み、行使価格微分による尾確率と密度の復元、現実確率との違いを解説します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/risk-neutral-density/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

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## 端的な答え

**リスク中立密度**は、割引後の期待ペイオフが現在のオプション価格に一致するよう、特定将来日の原資産価格に価格付け上の重みを割り当てます。正規化されたオプション内包密度、状態価格密度とも呼ばれます。価格測度の重みであり、投資家の文字どおりの信念や結果の統計的頻度ではありません。

一つの原資産と満期について、十分滑らかで裁定整合的なヨーロピアンCall価格の行使価格曲線が分布を含みます。行使価格の一階微分は割引尾確率、二階微分は割引密度を示します。実際のチェーンは行使価格が疎で、気配がノイズを含み非同期なので、1オプションから直接読むのではなく推定が必要です。

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## Call価格から分布へ

行使価格 `K`、満期 `T`、連続複利金利 `r` のヨーロピアンCallは：

`C(K,T) = e^(−rT) E^Q[(S_T − K)⁺]`

正則性条件の下で行使価格について微分すると：

`−e^(rT) ∂C/∂K = Q(S_T > K)`

`q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²`

`Q`はリスク中立測度、`q(K)`は終値 `K` の密度です。Call価格は行使価格とともに低下し、凸であるべきです。二階微分が負なら負の密度となり、対応するバタフライ無裁定条件に反します。

同一満期・同一決済のヨーロピアン等価価格が必要です。通常は気配をIVへ変換し、裁定制御された滑らかなスマイルを当て、価格へ戻して微分します。金利、配当またはフォワード、行使方式、決済、時刻、尾部外挿を統一します。アメリカン株式オプションは早期行使と配当を処理せず投入できません。

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## 3行使価格の有限差分例

同一満期ヨーロピアンCallの行使価格間隔を `h = $5`、満期まで半年、金利を `4%` とします。

| 行使価格 | Call価格 |
| ---: | ---: |
| `$95` | `$9.80` |
| `$100` | `$6.40` |
| `$105` | `$4.00` |

`$100` における中央二階差分は：

`∂²C/∂K² ≈ [C(95) − 2C(100) + C(105)] / 5²`

`= ($9.80 − 2 × $6.40 + $4.00) / 25 = 1ドル当たり 0.0400`

`rT = 0.04 × 0.5 = 0.02` なので：

`q(100) ≈ e^0.02 × 0.0400 = 1ドル当たり 0.04081`

点密度に `$5` 間隔を掛けた粗い局所確率質量は `0.04081 × 5 = 20.4%` です。節点周辺の粗い近似で、定義した区間の正確な確率ではありません。完全な推定は滑らかで裁定整合的な全曲線を使い、明示的な境界間で密度を積分します。

中央一階差分は `(4.00 − 9.80) / 10 = −0.58` で、粗いリスク中立尾確率は `Q(S_T > $100) ≈ e^0.02 × 0.58 = 59.2%` です。Bid/Askの選択や小さな気配誤差で両方が大きく変わり、二階微分は特に敏感です。

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## 抽出チェックリスト

- 同一原資産、満期、決済、観測時刻、フォワード方式を使う。
- 実行可能なBid/Askを考慮してフィルターする。Midは滑らかでも取引不能な曲線を作り得る。
- 古い、交差、ゼロBid、誤り、企業行動不一致の気配を文書化した規則で除く。
- ヨーロピアン価格とみなす前に配当、金利、キャリー、早期行使を処理する。
- 価格または総分散にカレンダー・バタフライ無裁定制約を課す。
- 単調性、凸性、非負密度、積分1、フォワードに整合する一次モーメントを確認する。
- 補間、行使価格間隔、帯域幅、境界選択をテストする。
- 観測行使価格範囲と外挿尾部を分ける。遠い尾部は弱くしか識別されない。
- Bid、Mid、Ask曲線で繰り返し、気配不確実性を示す。
- 生チェーン、時刻、フィルター、曲線パラメータ、金利配当、コード版を保存する。
- 異なる満期を比較するとき期間とフォワード変化を考慮する。
- 価格測度の結論を現実確率・期待収益の主張と分ける。

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## よくある誤解

- 「リスク中立は投資家がリスクを気にしないという意味だ。」リスクプレミアムを状態価格に含む価格表現です。
- 「リスク中立確率 `20%` は客観確率 `20%` だ。」現実確率には価格カーネルか追加仮定・データが必要です。
- 「1オプションが分布を示す。」共通満期の行使価格横断面が必要です。
- 「IVが密度だ。」IVは気配変換で、価格へ戻し行使価格について微分します。
- 「微分が精密なほど良い。」二階微分は気配ノイズと補間アーティファクトを増幅します。
- 「負密度なら誰でも裁定できる。」古い非同期Midの可能性があり、実行価格と費用が重要です。
- 「尾部は観測済みだ。」極端行使価格が疎で、外挿依存が強い部分です。
- 「分布は方向を予測する。」現在の価格重みであり、リスク回避、ヘッジ需要、流動性で動きます。

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## 関連トピック

- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [バタフライ裁定](/ja/options/butterfly-arbitrage/)
- [オプションチェーンのBid、Mid、Ask](/ja/options/option-chain-bid-mid-ask/)
- [オプション・モデルリスク](/ja/options/option-model-risk/)

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## 出典

- [Breeden and Litzenberger：オプション価格に内包された状態依存請求権価格](https://doi.org/10.1086/296025)
- [ニューヨーク連銀：オプションに基づくリスク中立分布の簡便で信頼できる計算法](https://www.newyorkfed.org/research/staff_reports/sr677.html)
- [Federal Reserve：ボラティリティ・スマイルの解釈](https://www.federalreserve.gov/pubs/IFDP/2001/706/default.htm)
- [Federal Reserve：オプションのプライシング・カーネル](https://www.federalreserve.gov/econres/feds/the-pricing-kernel-in-options.htm)