# リスク中立価格評価：複製、マルチンゲール確率、適用限界

複製可能なデリバティブをリスク中立期待値の割引で価格評価できる理由、1期間確率の導出、現実予測との違いを解説します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/risk-neutral-pricing/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

<a id="answer"></a>

## 端的な答え

**リスク中立価格評価**は、複製可能な将来ペイオフを、特別に構成した価格測度で期待値化し、適切な資金調達金利で割り引きます。キャリーと分配を整合的に扱えば、その測度の下で取引可能資産の割引価格はマルチンゲールになります。

現実の投資家がリスク中立だとは仮定しません。リスク回避とプレミアムは、現実確率からリスク中立の価格重みへの測度変更に吸収されます。決定的な経済論理は無裁定と複製です。モデルの市場・取引仮定の下で状態別キャッシュフローが同じ2ポートフォリオは、現在価値も同じであるべきです。

<a id="mechanism"></a>

## 無裁定から価格測度へ

1期間二項モデルで、株価は現在 `S₀`、期末に `Sᵤ` または `S_d`、無リスク総収益率は `R` とします。リスク中立上昇確率は：

`q = (R S₀ − S_d) / (Sᵤ − S_d)`

下落確率は `1 − q` です。デリバティブが各状態で `Vᵤ`、`V_d` を支払うなら：

`V₀ = [q Vᵤ + (1 − q) V_d] / R`

無裁定には `S_d < R S₀ < Sᵤ` が必要で、`0 < q < 1` となります。同じ価格は株式Deltaの複製でも得られます。

`Δ = (Vᵤ − V_d) / (Sᵤ − S_d)`

両終端ペイオフを一致させる借入・貸付を組み合わせます。この「確率」は複製が生む代数的な状態価格重みで、株価上昇の頻度予想ではありません。

完備で無裁定のモデルなら同値マルチンゲール測度は一意で、モデル内の全条件付請求権を複製できます。不完備市場では複数の価格測度が取引価格と整合し得るため、追加モデル、境界、選好、ヘッジ基準が必要です。ジャンプ、費用、離散取引、資金調達差、借株制約、流動性は無摩擦複製を崩します。

<a id="example"></a>

## 1期間Callの例

次を仮定します。

- 現在株価 `S₀ = $100`。
- 1期間後に `Sᵤ = $120` または `S_d = $90`。
- 無リスク総収益率 `R = 1.02`。
- 行使価格 `$105` のCallで、上昇状態は `$15`、下落状態は `$0`。

価格確率は：

`q = (1.02 × 100 − 90) / (120 − 90) = 12 / 30 = 0.40`

したがって：

`Call価値 = (0.40 × $15 + 0.60 × $0) / 1.02 = $5.88`

複製も同じ結果です。ヘッジ比率は：

`Δ = ($15 − $0) / ($120 − $90) = 0.50`

`0.50`株を持ち、現在 `$44.12` を借りると、期末に上昇状態で約 `$15`、下落状態で `$0` になります。

`0.50 × $100 − $44.12 = $5.88`

現実の上昇確率を `70%` と考えても、物理期待ペイオフの割引 `(0.70 × $15) / 1.02 = $10.29` は無裁定価格ではありません。株式の要求リスクプレミアムを無視し、より安い複製と矛盾します。物理確率は期待収益やリスクには使えても、複製価格へ直接代入できません。

<a id="risks"></a>

## モデルと実装のチェック

- ニュメレール、金利曲線、キャリー、配当、借株、複利を統一する。
- モデル状態が価格対象ペイオフを張るか確認し、一致しないリスクを認識する。
- 無裁定不等式と、推定確率が非負で合計1かを確認する。
- リスク中立評価と物理予測、期待収益、シナリオ確率を分ける。
- 全日付に同じ政策金利を使わず、期間別金利・配当を使う。
- アメリカン型は早期行使モデルで再評価し、終端期待値だけに頼らない。
- 取引費用、離散リバランス、ギャップ、停止、流動性を外部ストレスに加える。
- 必要なら相手方、担保、証拠金、資金調達、決済を評価入力とする。
- ツリー、有限差分、リスク中立モンテカルロの収束を検証する。
- モデル値をMidだけでなく実行可能Bid/Askと比較する。
- 測度、動学、校正データ、時刻、限界を記録する。

<a id="misconceptions"></a>

## よくある誤解

- 「投資家がリスクを嫌わないと仮定する。」測度を変えるのであり現実の選好を消しません。
- 「リスク中立確率は市場予測だ。」リスクプレミアムを含む価格重みです。
- 「最も可能な現実結果を割り引けばよい。」全状態と複製状態価格が必要です。
- 「全ペイオフに一意でモデル不要の価格がある。」一意性は完備性と仮定に依存します。
- 「全デリバティブを同じ国債金利で割り引く。」資金、担保、配当、借株、期間が影響します。
- 「リスク中立期待値が市場気配を保証する。」入力、摩擦、Bid/Askが残ります。
- 「無裁定ならリスクなし利益は簡単だ。」費用と制約で見かけの差が消え得ます。
- 「リスク中立価値は投資魅力度を測る。」複製公正価値は物理期待収益や判断規則ではありません。

<a id="related"></a>

## 関連トピック

- [リスク中立密度](/ja/options/risk-neutral-density/)
- [二項オプション価格モデル](/ja/options/binomial-option-pricing/)
- [Black-Scholesモデル](/ja/options/black-scholes-model/)
- [プット・コール・パリティ](/ja/options/put-call-parity/)

<a id="sources"></a>

## 出典

- [Cox、Ross、Rubinstein：オプション価格評価の簡略化アプローチ](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1)
- [Harrison and Kreps：多期間証券市場におけるマルチンゲールと裁定](https://doi.org/10.1016/0022-0531(79)90043-7)
- [Black and Scholes：オプションと企業債務の価格決定](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Options Industry Council：プット・コール・パリティ](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/put-call-parity)