# 確率的ボラティリティ・モデル：ランダム分散、リスクプレミアム、スマイル動学

確率的ボラティリティ・モデルの一群、実測度とリスク中立測度の分散動学、Heston・SABR・ラフボラティリティの違い、静的フィットを超えた検証を解説します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/stochastic-volatility-model/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

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## 直接の答え

**確率的ボラティリティ・モデル**は、資産の瞬間分散を定数やスポットと時間の決定論的関数ではなく、ランダムな状態変数にします。一般的な連続二因子表現は：

`dS_t = μ_t S_t dt + √v_t S_t dW_t^S`

`dv_t = a(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^v`、かつ `dW_t^S dW_t^v = ρ_t dt`

追加された分散ショックは、時変ボラティリティ、クラスタリング、平均回帰、スキュー、より豊かなスマイル動学を作れます。ボラティリティが「既知」になるのではなく、確率法則を規定し、そのパラメーターとリスク中立版を推定・較正します。

これは一つの式でなくモデル群です。Heston は平均回帰する平方根分散過程、SABR はフォワードとそのボラティリティ、フォワード分散モデルは分散期間構造、ラフボラティリティは非 Markov 的記憶を扱います。選択ごとにフィット、ヘッジ、数値リスク、モデルリスクが異なります。

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## 実測動学と価格付け動学は異なる

過去リターンは実測度 `P`、無裁定オプション評価はリスク中立測度 `Q` で扱います。取引できない分散ショックがあれば、株式と現金だけでは全不確実性を張れず、市場は一般に不完備です。そのため、無裁定だけでは分散リスクプレミアムや `Q` での分散ドリフトを一意に決められません。

同じ分散状態でも `P` では：

`dv_t = a_P(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,P}`

`Q` では：

`dv_t = a_Q(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,Q}`

となり得ます。`a_P` と `a_Q` の差にボラティリティ・リスクへの補償が含まれます。リターンから推定した `P` パラメーターをそのまま価格モデルに入れると、この違いを暗黙にゼロと仮定します。

相関 `ρ` はリターンと分散のショックを結びます。株式モデルでリスク中立相関が負に較正されると、下方 Put が高いスキューを作りやすくなります。Vol-of-Vol は将来分散の広がりとスマイル曲率、平均回帰は期間構造に影響します。ただしパラメーターは相互作用し、複数組が似た vanilla 価格を作れます。

### 静的フィットと動学

較正は一時点のストライク・満期横断誤差を減らします。リスクモデルは、スポット、時間、ボラティリティのショック後にサーフェスがどう動くかも規定します。今日の vanilla に同じく合う二モデルでも、バリア価値、フォワード・スキュー、ヘッジ比率、翌日損益は異なり得ます。スマイル動学と標本外ヘッジは較正誤差と別に検証します。

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## 例：同じ現在分散、二つの測度

現在分散を `v₀ = 0.04`、瞬間ボラティリティを `√0.04 = 20%` とします。説明用に両測度で平均回帰を仮定します。

`E[v_T] = θ + (v₀ − θ)e^(−κT)`

仮想パラメーターは：

| 測度 | `κ` | `θ` | 6か月 `E[v_0.5]` |
| --- | ---: | ---: | ---: |
| 実測度 `P` | `1` | `0.04` | `0.04` |
| リスク中立測度 `Q` | `2` | `0.0625` | `0.05422` |

`P` では：

`0.04 + (0.04 − 0.04)e^(−1×0.5) = 0.04`

`Q` では：

`0.0625 + (0.04 − 0.0625)e^(−2×0.5) = 0.05422`

平方根はそれぞれ `20%` と `23.29%` です。これはオプション利益予測でも、一観測からリスクプレミアムを特定するものでもありません。オプションから較正したリスク中立分散期間構造を、予想実現ボラティリティと呼び替えられないことを示します。

また一般に `√E[v_T] ≠ E[√v_T]` です。この例は期待分散の平方根で、期待ボラティリティではありません。完全なオプション価値は分散の分布と経路、リターンとの相関、ペイオフに依存します。

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## モデル選択と検証

- 確率微分方程式、測度、状態変数、単位、境界挙動、相関構造を明記します。
- `P` でリターンから推定するパラメーターと `Q` で価格から較正するものを分けます。
- 同期した執行可能気配、フォワード、割引因子、配当、契約条件を使います。
- Bid-Ask や Vega など経済的重要度で誤差を重み付けし、満期・翼ごとに確認します。
- 複数初期値から最適化し、ほぼ同価値のパラメーター組を報告します。
- 正値性、モーメント条件、シミュレーション偏り、離散化、変換積分、分岐処理を確認します。
- 全較正商品を再評価し、IV RMSE だけでなく市場スプレッドと誤差を比較します。
- 将来サーフェス変動、ヘッジ損益、パラメーター安定性を標本外検証します。
- 価格ジャンプ、イベント分散、相関崩壊、Vol-of-Vol 急増、流動性喪失をストレスします。
- 対象ペイオフについて Heston、local vol、stochastic local vol、jump、rough を比較します。
- 米国型行使、離散配当、バリア、経路依存には適切な数値法を使います。
- 取引費用、離散再ヘッジ、資金、割当、取引不能なヘッジを含めます。
- 意図的に省いたリスクを記録します。精密な較正でも欠落リスクは減りません。

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## よくある誤解

- **「確率的ボラティリティはボラティリティを予測する。」** モデルとパラメーター選定後の条件動学です。
- **「過去分散パラメーターでオプションを価格付けできる。」** 一般にリスク中立動学とリスクプレミアムが必要です。
- **「vanilla を完全に合わせればモデルが正しい。」** 静的フィットは経路やヘッジを特定しません。
- **「因子が多いほど必ず正確だ。」** 不安定性、過剰適合、ヘッジ不能なパラメーターリスクも増えます。
- **「確率的ボラティリティは暴落を含む。」** 連続モデルは価格・分散ジャンプを省き得ます。
- **「リスク中立期待分散は市場予測だ。」** リスクプレミアムを含む価格付け対象です。
- **「較正パラメーターには一つの経済的意味がある。」** 相互補償し識別が弱い場合があります。

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## 関連トピック

- [Heston モデル](/ja/options/heston-model/)
- [ローカル・ボラティリティ・モデル](/ja/options/local-volatility-model/)
- [スキュー動学](/ja/options/skew-dynamics/)
- [オプション・モデルリスク](/ja/options/option-model-risk/)

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## 学術資料

- [Hull と White：The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1987.tb02568.x)
- [Heston：A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Bergomi：Smile Dynamics IV](https://doi.org/10.2139/ssrn.1520443)
- [Hagan ほか：Managing Smile Risk](https://www.next-finance.net/IMG/pdf/pdf_SABR.pdf)