# SVI ボラティリティ・モデル：静的裁定を避けた総分散フィット

Raw SVI の五パラメーター、対数フォワード・マネーネスの計算、執行可能気配の較正、正値・バタフライ・カレンダー・翼制約を解説します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/svi-volatility-model/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 直接の答え

**SVI**（Stochastic Volatility Inspired）は、一満期のストライク横断でインプライド**総分散**を表す形式です。Raw SVI は：

`w(k) = a + b{ρ(k−m) + √[(k−m)² + σ²]}`

ここで `w(k) = σ_imp²(k,T)T`、`k = ln(K/F_T)` は対数フォワード・マネーネスです。五パラメーターで離散気配を滑らかなスマイルにし、補間、評価、Greek、相対価値診断に使います。

名前に「確率的ボラティリティ」とあっても、較正した SVI スライスは確率過程でも将来予測でもありません。静的なリスク中立価格サーフェスを記述し、満期間の接続や時間変化には別の規則が必要です。

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## 五パラメーターと無裁定条件

- `a` は総分散の垂直水準ですが、必ずしも ATM 分散ではありません。
- `b ≥ 0` は左右翼勾配の全体尺度です。
- `−1 < ρ < 1` は非対称性で、負の `ρ` は左翼を急にします。
- `m` は対数マネーネス上の中心位置です。
- `σ > 0` は中心の幅であり、オプション IV ではありません。

左右の漸近勾配は `b(1−ρ)` と `b(1+ρ)`、最低総分散は：

`w_min = a + bσ√(1−ρ²)`

です。非負には `a + bσ√(1−ρ²) ≥ 0` が必要ですが、これだけではバタフライ裁定がないことを**保証しません**。二回微分可能な総分散では、よく使われる密度条件が：

`g(k) = [1 − kw'(k)/(2w(k))]² − [w'(k)²/4][1/w(k)+1/4] + w''(k)/2 ≥ 0`

です。負の `g(k)` は連続ストライク構成で負のリスク中立密度に対応します。解析的制約か、十分広く密なグリッドと翼の検査が必要です。

各満期を独立較正すると時間方向に交差し得ます。一貫したフォワード・割引慣例では、固定対数フォワード・マネーネスの総分散は標準的な無カレンダー裁定構成で満期とともに減少すべきではありません。SSVI などは明示制約でスライスを結びます。イベント満期の正当な段差は見た目のために削りません。

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## 例：Raw SVI スライスを読む

`T = 0.25` 年で：

`a = 0.01, b = 0.10, ρ = −0.5, m = 0, σ = 0.20`

とすると：

`w_min = 0.01 + 0.10×0.20×√(1−0.5²) = 0.02732 > 0`

| `k` | 総分散 `w(k)` | `IV = √[w(k)/T]` |
| ---: | ---: | ---: |
| `−0.20` | `0.04828` | `43.95%` |
| `0` | `0.03000` | `34.64%` |
| `+0.20` | `0.02828` | `33.64%` |

`k = 0` では `w(0) = 0.01 + 0.10×0.20 = 0.03000`、`k = −0.20` では：

`w(−0.20) = 0.01 + 0.10[0.10 + √(0.20²+0.20²)] = 0.04828`

負の `ρ` により左翼が急です。左右漸近勾配は `0.10(1−(−0.5)) = 0.15` と `0.10(1+(−0.5)) = 0.05` です。この計算だけでは市場フィットも静的無裁定も証明しません。全スライスに密度・翼、隣接満期にカレンダー検査が必要です。

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## 較正と本番運用

- 一満期を固定し、同期フォワードと割引因子を信頼できる入力または Put-Call パリティから得ます。
- 同じ時計でストライクを `k = ln(K/F_T)`、IV を `w = IV²T` に変換します。
- 執行可能な OTM 気配を優先し、ゼロ Bid、クロス、古い気配、企業行動、深い翼の処理を記録します。
- Vega、Bid-Ask、流動性で価格・IV・総分散誤差を重み付けし、目的関数を開示します。
- 境界と複数初期値を使います。Raw SVI パラメーターは互いを補償します。
- モデル価格を Bid/Ask と比較し、非負総分散、密度、翼、全満期のカレンダー条件を検査します。
- 満期間補間と翼外挿を検査します。主要リスクはフィット領域外にあり得ます。
- 密なグリッドで価格と Greek を再計算し、欠落節点は市場観測でなくモデル値と表示します。
- パラメーターの跳びと残差を監視します。安定価格でも Raw パラメーターは不安定になり得ます。
- 執行可能パッケージ、費用、配当、制約を確認する前に残差を裁定と呼びません。
- データ、フォワード、ソルバー、制約、重み、フォールバックを版管理します。

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## よくある誤解

- **「SVI は確率的ボラティリティ予測モデルだ。」** 較正スライスは静的インプライド総分散パラメータ化です。
- **「`σ` はオプション IV だ。」** Raw SVI の中心幅で、IV は `√(w/T)` です。
- **「`a` は ATM 分散だ。」** 他のパラメーターと `m` も値と最低点を決めます。
- **「五パラメーターの境界を満たせば無裁定だ。」** バタフライ、翼、満期間条件が残ります。
- **「RMSE が低いほど良い。」** ノイズに過剰適合し経済制約を破り得ます。
- **「各満期は完全に独立してよい。」** 良いスライス同士でも交差します。
- **「SVI 残差は売買シグナルだ。」** 悪いデータ、流動性、特別配当、執行費用も原因です。

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## 関連トピック

- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [ローカル・ボラティリティ・モデル](/ja/options/local-volatility-model/)
- [スキュー動学](/ja/options/skew-dynamics/)
- [オプション・モデルリスク](/ja/options/option-model-risk/)

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## 学術資料

- [Gatheral と Jacquier：Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986)
- [Martini と Mingone：No Arbitrage SVI](https://arxiv.org/abs/2005.03340)
- [Guo ほか：Generalized Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1137/120900320)
- [Gatheral と Jacquier：Convergence of Heston to SVI](https://arxiv.org/abs/1002.3633)