# Trinomial Tree Option Pricing：三状態格子と早期行使

上昇・中間・下落の再結合格子を作り、リスク中立確率を調整し、後ろ向きに割り引いて米国型早期行使と収束を検証します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/trinomial-tree-option-pricing/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 直接回答

Trinomial Tree は時間と価格を離散格子にし、原資産が各ステップで**上昇、中間水準維持、下落**する三状態を作ります。リスク中立遷移確率を調整し、満期 Payoff を計算してから各 Node の確率加重価値を割り引き、現在まで後ろ向きに解きます。

Binomial Tree より多い中間枝は、Moment Matching、Strike/Barrier への Node 配置、数値挙動の改善に自由度を与えます。ただし自動的に精度が上がるわけではなく、パラメータ、Step 数、配当、行使規則、境界、入力が結果を決めます。

Tree は各 Node で継続価値と即時行使を比較できるため American Option に有用です。三価格は実際の株価予測ではなく数値状態です。

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## 格子と後ろ向き帰納法

時間幅 `Δt` に株価倍率 `u > m > d`、確率 `pᵤ`、`pₘ`、`p_d` を定めます。再結合 Tree は上昇後下落などの経路を既存 Node に戻し、Node 数を抑えます。

リスク中立確率は少なくとも、

`pᵤ + pₘ + p_d = 1`

および連続配当利回り `q` のとき、

`pᵤu + pₘm + p_dd = e^((r−q)Δt)`

を満たします。具体的方式は分散または Moment 条件も加えます。全確率は 0 から 1 でなければならず、負値は無効な Grid/Parameter を示します。

満期に Call は `V = max(S−K,0)`、Put は `max(K−S,0)`。前の Node の European 継続価値は、

`V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`。

American Option は、

`V = max(V_continue, 本源的価値)`

を使います。根まで反復します。離散現金配当は Ex-Dividend 下落を Tree または遷移に反映します。隣接 Node から Greeks を推定できますが Grid と差分による Noise があります。

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## 1 ステップ数値例

`S₀ = $100`、Put Strike `K = $105`、無リスク成長因子 `R = 1.02`。`u = 1.10`、`m = 1.00`、`d = 0.90`、確率を、

`pᵤ = 0.35`、`pₘ = 0.50`、`p_d = 0.15`

とします。合計は 1、期待株価成長は、

`0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`。

| 満期株価 | Put Payoff `max(105−S,0)` | 確率加重 Payoff |
| ---: | ---: | ---: |
| `$110` | `$0` | `$0` |
| `$100` | `$5` | `$2.50` |
| `$90` | `$15` | `$2.25` |

European Put は、

`V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`。

American Put の根での即時行使は `$105 − $100 = $5`。`$5 > $4.6569` のため、この 1 ステップ Tree は行使を選び価値を `$5` とします。

確認として European Call は上昇時だけ `$5` を払い、`C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157`。`C − P = −$2.9412` は `S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412` と一致します。

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## モデル検証とリスク

- 具体的 Parameterization を示し、「Trinomial」だけで `u`、`d`、確率を定義しません。
- 負の確率を拒否し、リスク中立成長と分散条件を確認します。
- Step を増やして収束を記録します。
- 同条件の European 結果を Black-Scholes と比較し、本源的価値と無裁定境界を確認します。
- American 価値が European 以上か、Exercise Boundary を確認します。
- 離散配当、金利、借株、行使方式、決済、契約調整を正しく反映します。
- Strike、Barrier、配当日を可能なら Grid に合わせます。
- Volatility、Step 数、時間離散、境界を Stress Test します。
- Model Value と実行可能 Bid/Ask、費用、滑り、Size を区別します。
- 独立実装または Benchmark で Indexing と Discounting Error を探します。

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## よくある誤解

- 「三枝は上・横ばい・下の予測。」価格計算用の数値状態です。
- 「確率は歴史的発生率。」モデルのリスク中立 Weight です。
- 「枝が多ければ正確。」誤校正の Tree は誤りです。
- 「1 Step で早期行使なら現実も今行使。」粗い例と省略入力に依存します。
- 「Model Price は実行可能な公正価格。」Fill は需給、Spread、在庫、費用次第です。
- 「収束はモデルの真実性。」仮定内の数値安定性だけを示します。

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## 関連トピック

- [Binomial Option Pricing](/ja/options/binomial-option-pricing/)
- [Black-Scholes Model](/ja/options/black-scholes-model/)
- [早期行使](/ja/options/early-exercise/)
- [Risk-Neutral Pricing](/ja/options/risk-neutral-pricing/)

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## 公的・一次情報

- [Crack：Trinomial Option Pricing—A Primer](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216)
- [Dai and Lyuu：Convergence of the Trinomial Tree Method](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132)
- [Options Industry Council：Black-Scholes Formula](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula)
- [Options Industry Council：Exercising Options](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options)
- [OCC：標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)