--- title: "三項木によるオプション価格評価：三状態格子と早期行使" description: "上昇・中間・下落からなる再結合格子を構築し、リスク中立確率、後ろ向き割引、米国型オプションの早期行使、数値収束を検証します。" image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # 三項木によるオプション価格評価：三状態格子と早期行使 > 教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。 ## 直接の答え 三項木は、原資産が各時点で**上昇する、中間水準にとどまる、または下落する**離散的な時間・価格格子上でオプションを評価します。リスク中立遷移確率を調整した後、満期のペイオフを計算し、各節点の確率加重価値を割り引きながら現在まで後ろ向きに計算します。 中間の枝が増えるため、二項木よりもモーメントの一致、権利行使価格やバリアへの節点の整列、数値挙動の改善に使える自由度が大きくなります。ただし、三つの枝があれば自動的に精度が上がるわけではありません。パラメータ設定、刻み数、配当、行使規則、境界処理、市場入力が結果を左右します。 各節点で継続価値と即時行使価値を比較できるため、木モデルは米国型オプションに特に有用です。三つの価格は計算上の状態であり、株価が実際にその三価格だけを取るという予測ではありません。本稿は普通の株式オプションの理論評価、特に 2026-08-22 時点で確認した OCC 発行の米国取引所上場オプションを対象とします。ブローカーの承認、口座証拠金、税務、法的取扱いは商品と法域で異なるため、現行の契約・口座条件をブローカー、取引所、OCC 資料および適格な専門家に確認してください。 ## 格子と後ろ向き帰納法 刻み幅 `Δt` に対して、株価倍率 `u > m > d` と確率 `pᵤ`、`pₘ`、`p_d` を定めます。再結合木では、上昇後に下落する経路などが既存の節点に戻るよう設定し、節点数を抑えます。ここで `r` と `q` は刻み期間に対する連続複利の率です。 リスク中立確率は少なくとも次を満たす必要があります。 `pᵤ + pₘ + p_d = 1` また、連続配当利回りを `q` とすると、 `pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt)`。 個々の三項木方式は、分散またはモーメント一致条件を追加して三つの確率と倍率を定めます。正規化と期待成長だけでは、三状態の一期間市場は完備にならず、リスク中立測度も一意に決まりません。すべての確率はゼロから一の範囲でなければならず、負の「確率」は取引可能な予測ではなく、無効な格子または整合しないパラメータを示します。 満期では、コールに `V = max(S−K,0)`、プットに `max(K−S,0)` を設定します。それ以前の各節点における欧州型の継続価値は、 `V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`。 米国型オプションでは、 `V = max(V_continue, intrinsic value)`。 これを根まで繰り返します。離散的な現金配当がある場合、配当落ちによる株価下落を株価木または節点遷移に反映する必要があります。隣接節点から感応度を推定できますが、格子の整列と有限差分により数値ノイズが生じます。 ## 一期間の計算例 `S₀ = $100`、プットの権利行使価格 `K = $105`、一期間の無リスク成長係数 `R = 1.02` とします。`u = 1.10`、`m = 1.00`、`d = 0.90` とし、確率を次のように置きます。これは配当なしの仮想的な教材用入力であり、市場で気配値が付いたオプションや市場データへの較正ではありません。 `pᵤ = 0.35`、`pₘ = 0.50`、`p_d = 0.15`。 合計は一で、株価の期待成長は、 `0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`。 | 満期株価 | プットのペイオフ `max(105−S,0)` | 確率加重ペイオフ | | ---: | ---: | ---: | | `$110` | `$0` | `$0` | | `$100` | `$5` | `$2.50` | | `$90` | `$15` | `$2.25` | 欧州型プットの価値は、 `V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`。 米国型プットを根で直ちに行使する価値は `$105 − $100 = $5` です。`$5 > $4.6569` なので、この一期間モデルは行使を選び、米国型プットを `$5` と評価します。 同じ無配当・欧州型の仮定による照合では、対応するコールは上昇状態でのみ `$5` を支払うため、`C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157` です。したがって `C − P = −$2.9412` となり、`S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412` と一致します。 ## モデルの検証とリスク - 木のパラメータ設定を明記する。「三項」という名称だけでは `u`、`d`、確率は決まらない。 - 負の確率を認めず、リスク中立の成長条件と分散条件を検証する。 - 一つの格子を信用せず、刻み数を増やして収束を記録する。 - 同じ仮定の下で欧州型の結果を Black-Scholes と比較し、本源的価値と無裁定境界を確認する。 - 米国型価値を欧州型価値と照合し、行使境界を調べる。 - 離散配当、金利、借株費用、行使方式、決済、契約調整を正しくモデル化する。 - 重要な権利行使価格、バリア、配当日を可能な限り格子に合わせる。 - ボラティリティ、刻み数、時間離散化、境界条件をストレス検証する。 - モデル価値と、執行可能な Bid/Ask、手数料、スリッページ、提示数量を区別する。 - 独立実装または基準ケースで、添字付けと割引の誤りを検出する。 ## よくある誤解 - 「三つの枝は上昇・横ばい・下落の予測だ。」価格評価用に調整した数値状態である。 - 「確率は過去の発生確率だ。」モデルが定めるリスク中立の重みである。 - 「枝が多ければ精度が保証される。」較正の悪い三項木は依然として誤っている。 - 「一期間の早期行使結果は、実際の保有者も今すぐ行使すべきだと証明する。」結果は粗い例と省略した入力に依存する。 - 「モデル価格は公正で執行可能な気配値だ。」約定は市場の需給、スプレッド、在庫、費用で決まる。 - 「収束すればモデルは真実だ。」仮定内の数値安定性を示すだけで、仮定が市場に適合するとは限らない。 ## 関連トピック - [二項木によるオプション価格評価](/ja/options/binomial-option-pricing/) - [Black-Scholes モデル](/ja/options/black-scholes-model/) - [早期行使](/ja/options/early-exercise/) - [リスク中立価格評価](/ja/options/risk-neutral-pricing/) ## 一次情報 - [Crack: Trinomial Option Pricing—A Primer](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216) - [Dai and Lyuu: Convergence of the Trinomial Tree Method](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132) - [Options Industry Council: Black-Scholes Formula](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula) - [Options Industry Council: Exercising Options](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options) - [OCC: Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/trinomial-tree-option-pricing/index.mdx