# ボラティリティ補間：疎なオプション気配をつなぐ

対数フォワード・マネーネスと総分散で IV サーフェスを補間し、気配品質、カレンダー・バタフライ裁定、外挿リスクを管理します。

正規 URL: https://wiki.fcontext.com/ja/options/volatility-interpolation/
事実確認日: 2026-07-22

> 教育目的のみであり、投資助言ではありません

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## 直接の答え

**ボラティリティ補間**は、気配があるストライクと満期の間の価格または IV を推定します。市場ノードは離散的でノイズを含む一方、評価・リスクには連続サーフェスが必要です。単に2つの IV を平均せず、経済的に比較可能な座標と取引可能入力を使い、補間後価格の無裁定形状を確認します。

満期間では一貫したマネーネスで累積**総分散** `w = σ²T` を補間し、年率 IV を機械的に平均しません。ストライク間では `k = ln(K/F_T)`、Delta、または裁定制約価格を使います。補間は観測間、フィットは観測の要約、外挿は観測外であり、外挿のモデルリスクが大きくなります。

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## 座標、データ、制約

金利、配当、借株、時間がフォワード `F_T` を動かすため、絶対ストライクは満期間で比較できません。100 が一満期の ATM でも別満期では中心外です。`k = ln(K/F_T)` は各満期フォワードへの相対位置です。

不確実性は総分散として蓄積します：

`w(k,T) = σ_imp(k,T)^2 × T`

同じマネーネスで負の区間フォワード分散が出れば、気配、フォワード、イベント、補間の不整合を調べます。ストライク軸では未割引 Call 価格は非増加かつ凸であるべきです。凸性違反は負費用・非負ペイオフのバタフライ、期間違反はカレンダー不整合になり得ます。

フィット前に同期両側気配を使い、交差市場と価格境界違反を除外し、ゼロ Bid と広いウイングを慎重に扱い、フォワードと割引を統一し、Bid/Ask 区間を保存します。平滑化は悪いノードを修復せず拡散します。

線形は透明でも傾きが折れ、無制約スプラインは過大振幅します。Delta は市場慣行に合いますが IV に依存します。SVI は簡潔でもパラメータ・満期制約が必要です。価格空間なら単調凸性を直接管理して IV に戻せます。

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## 総分散の例

同等 ATM IV が `30` 日で `20%`、`60` 日で `24%`、365日年基準とします。

`w30 = 0.20^2 × 30/365 ≈ 0.00329`

`w60 = 0.24^2 × 60/365 ≈ 0.00947`

`45` 日へ総分散を線形補間：

`w45 = w30 + (45−30)/(60−30) × (w60−w30) ≈ 0.00638`

`σ45 = sqrt[w45/(45/365)] ≈ 22.75%`

IV の直接平均は `22%` で異なります。年率ボラは累積分散ではないためです。満期間に決算があれば機械補間は不適切で、イベントを含む期間だけにイベント分散を割り当てます。

ストライク例ではフォワード `$100`、90 IV `28%`、100 IV `22%`、110 IV `24%`。95 の暫定直線値は `25%` です。局所推定にすぎず、生成した Call 価格が低下し凸であるか再評価し、追加ノードの曲率を確認します。

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## 検証とモデル管理

- 生気配、時刻、フォワード、割引、配当、フィルター、座標、ノット、パラメータ、ソルバーを版管理します。
- 全リスク値を観測、補間、外挿に分類し、ウイング・遠期ほどモデル準備を増やします。
- 全グリッドを再評価し、価格境界、単調性、バタフライ凸性、満期間整合を検査します。
- 中値残差だけでなく取引可能 Bid/Ask と比較します。
- 流動ノードを一つ除外して再フィットし、市場区間内に復元できるか確認します。
- ATM、下方、上方、満期別に誤差を報告し、全体平均でテール失敗を隠しません。
- 1気配、フォワード、ノット、手法を変え、価格と Greeks の感応度を調べます。
- イベント分散を明示し、見た目の平滑さのため実在する段差を消しません。
- 複数外挿規則を比較してテールをストレスします。
- 小入力で大きく跳ぶか説明不能な負フォワード分散なら公開を止めます。

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## よくある誤解

- **「中間 IV は2点平均。」** 期間は総分散、ストライクは形状を守ります。
- **「最も滑らかな曲線が正確。」** イベントを消し裁定を隠し得ます。
- **「全中値が有効ノード。」** 広い、古い、片側市場は取引不能です。
- **「ノード完全一致なら無裁定。」** ノード間・満期間で違反します。
- **「補間と外挿は同じ信頼度。」** 外挿には片側または両側観測がありません。
- **「絶対ストライクは満期間で安定。」** フォワード・キャリーがマネーネスを変えます。
- **「価格フィットが良ければ Greeks も安定。」** 微分はノイズとノットを増幅します。
- **「負フォワード分散は取引シグナル。」** データ、単位、イベント、曲面を先に調査します。

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## 関連トピック

- [インプライド・ボラティリティ](/ja/options/implied-volatility/)
- [フォワード・ボラティリティ](/ja/options/forward-volatility/)
- [SVI ボラティリティ・モデル](/ja/options/svi-volatility-model/)
- [オプション・モデルリスク](/ja/options/option-model-risk/)

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## 権威ある情報源

- [Implied Volatility](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/implied-volatility) — Options Industry Council
- [Arbitrage-Free SVI Volatility Surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986) — Jim Gatheral and Antoine Jacquier, *Quantitative Finance* (2014)
- [Implied Binomial Trees](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1994.tb02420.x) — Mark Rubinstein, *Journal of Finance* (1994)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — Options Clearing Corporation