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title: "Zomma：インプライド・ボラティリティが Gamma をどう変えるか"
description: "Zomma の定義、符号と単位、有限差分による検証、大きなボラティリティ変動時のフル・リプライシングを解説します。"
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# Zomma：インプライド・ボラティリティが Gamma をどう変えるか
> 教育目的の一般情報であり、個別の投資・法律・税務助言ではありません。オプションには損失リスクがあります。
## 要点
**Zomma** は、価格モデルの他の入力を固定したとき、指定したインプライド・ボラティリティ入力に対してオプションの Gamma がどれだけ変化するかを表す偏微分です。
`Zomma = ∂Gamma/∂σ = ∂³V/(∂S²∂σ)`
Gamma は原資産価格の小幅な変化に対する Delta の局所的な変化、Zomma は IV の小幅な変化に対するその Gamma の局所的な変化です。Zomma はモデル依存の高次感応度であり、単独で取引されるキャッシュフローでも、IV の予測でも、大幅な市場変動後の Gamma を保証する指標でもありません。
適用範囲：以下の式は、`S > 0`、`K > 0`、`σ > 0`、`T > 0`、連続複利、連続配当利回り、一定のボラティリティ入力を前提とする欧州型 Black–Scholes モデルを扱います。米国型の早期行使、離散配当、ジャンプ、バリア、変動するボラティリティ・サーフェスは式だけでは捉えられません。例は気配値でも口座単位の計算でもありません。FINRA と OCC の資料は米国の上場オプションが対象であり、商品、市場規則、取引承認、証拠金、税務、法的な利用可否は口座、法域、日付によって異なります。ライブ市場データや顧客データは使用していません。最新の公式資料と適格な専門家を確認してください。
## 式、符号、単位
上記モデルで、連続複利の配当利回りを `q` とすると：
`Gamma = e^(−qT) φ(d₁) / (Sσ√T)`
`Zomma = Gamma × (d₁d₂ − 1) / σ`
ここで：
`d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)`
`d₂ = d₁ − σ√T`
このモデルでは、権利行使価格と満期が同じ Call と Put の Gamma と Zomma は等しくなります。ATM 付近では `d₁d₂` が `1` を下回ることが多く、Zomma は一般に負です。IV が上がると Delta の遷移がより広い価格帯に分散し、Gamma のピークが低下するためです。ATM から遠い場合は符号が異なることがあります。これはモデル上の結果であり、普遍的な実証則ではありません。
単位は明記しなければなりません。Gamma が原資産の `$1` 変動当たりの Delta 変化、`σ` が小数表記の年率 IV なら、Zomma は IV が `1.00` 変化したときの Gamma 変化です。一ボラティリティ・ポイント（`1% = 0.01`）当たりで表示する場合は `Zomma_decimal / 100` です。ベンダーによって Gamma、現物価格の変化、契約乗数、ポジション数量のスケールも異なるため、規約をそろえずに数値を比較できません。
Zomma は偏微分なので、現物価格、時間、金利、配当、バンプしないサーフェスのノードは固定されます。実際の市場ではこれらが同時に動きます。現物と IV の連動、スキューや期間構造の変化、時間経過、価格ジャンプ、早期行使の影響が、単独の感応度を上回ることがあります。
## 局所推定とフル・リプライシング
あるオプションについて、次を仮定します。
- Gamma は `0.040`、原資産の動きは `$1` 当たり。
- Zomma は `−0.060`、小数表記 IV の動きは `1.00` 当たり。
- 標準契約乗数は `100`。
IV が `40%` から `41%` に小幅上昇し、`Δσ = +0.01` の場合：
`ΔGamma ≈ Zomma × Δσ = −0.060 × 0.01 = −0.0006`
新しい Gamma の推定値は `0.0394` です。上記の局所的な単位規約では、標準契約一枚について、原資産が `$1` 動いたときの Gamma 換算 Delta 変化は約 `4.00` 株相当から `3.94` 株相当に低下します。
次に、イベント後に IV が `80%` から `35%` へ低下し、`Δσ = −0.45` となる場合を考えます。線形外挿では：
`ΔGamma ≈ −0.060 × (−0.45) = +0.027`
Gamma の推定値は `0.067` です。しかし、これは信頼できるイベント予測ではありません。経路上で Zomma が変わり、時間が経過し、現物がギャップし、サーフェス全体が再評価され得るためです。記録したイベント後サーフェスで各オプションとポートフォリオを再計算し、線形結果は初期方向と概算規模の把握にだけ使います。
## 分析とリスク管理
- 評価時刻、モデル、行使方式、現物または先渡しの規約、金利、配当、時間計測、IV の出所、サーフェス構築法、データ品質を記録します。
- IV が小数、パーセント、ボラティリティ・ポイントのどれか、Gamma と Zomma に乗数、数量、ポジション符号、通貨換算が含まれるかを明示します。
- 中心差分 `[Γ(σ+h) − Γ(σ−h)]/(2h)` で検証します。`h > 0` かつ `σ−h > 0` とし、安定した複数の `h` を比較し、モデルの折れ目や無効なサーフェス・ノードをまたぐバンプを避けます。
- 各権利行使価格と満期を再計算し、代表的な Zomma を異質なポートフォリオ全体に適用しません。
- 特にイベント前後や満期直前には、現物、時間、IV 水準、スキュー、期間構造を同時にストレスします。
- IV の大幅変化、価格ギャップ、バリア、離散配当、早期行使、疎なウイング、バンプ幅で不安定になる結果にはフル・リプライシングを使います。
- ロング・ショートの符号、数量、乗数、通貨を一貫して集計します。小さなネット Zomma が相殺されたバケット別リスクを隠すことがあります。
- Gamma、Delta、損益の予測変化と実現変化を比較します。残差にはモデル、データ、サーフェス、流動性、執行のリスクが含まれ得ます。
- 三階感応度に依存する前に、Delta、Gamma、Vega、流動性、最大損失、決済、アサインメント、証拠金を優先します。
- 最新の商品仕様と OCC の開示を読みます。Zomma は契約上の行使、アサインメント、決済、資金手当ての義務を変更しません。
## よくある誤解
- **「Zomma は IV を予測する」** 条件付き感応度であり、IV の方向を予測しません。
- **「Zomma が負なら弱気である」** 符号は IV に対する Gamma の反応であり、原資産の期待収益率ではありません。
- **「Zomma は Vega と同じである」** Vega は IV に対するオプション価値、Zomma は IV に対する Gamma の変化です。
- **「同一権利行使価格の Call と Put は Zomma の符号が逆である」** 上記の欧州型モデルでは Gamma と Zomma は同じです。
- **「IV の一点変化は `1.00` である」** IV を小数入力する場合、一ボラティリティ・ポイントは `0.01` です。
- **「ベンダー間で数値をそのまま移せる」** スケール、モデル、サーフェス、時計、配当の仮定が異なります。
- **「線形 Zomma で IV crush を説明できる」** 大きなイベント・ショックでは、変化後のサーフェスでフル・リプライシングが必要です。
- **「グリークスが多いほど管理が自動的に良くなる」** 精密な高次数値でも、不適切な入力、流動性、規模、満期管理は補えません。
## 関連トピック
- [Gamma リスク](/ja/options/gamma-risk/)
- [Vega リスク](/ja/options/vega-risk/)
- [Ultima](/ja/options/ultima-greek/)
- [Color](/ja/options/color-greek/)
## 権威ある情報源
- [オプション価格と企業負債](https://doi.org/10.1086/260062) — Fischer Black、Myron Scholes、*Journal of Political Economy*（1973）
- [合理的オプション価格理論](https://doi.org/10.2307/3003143) — Robert C. Merton、*The Bell Journal of Economics and Management Science*（1973）
- [オプション](https://www.finra.org/investors/investing/investment-products/options) — FINRA
- [標準化オプションの特性とリスク](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — The Options Clearing Corporation
Source: https://wiki.fcontext.com/ja/options/zomma-greek/index.mdx