# 이항 옵션 가격결정: 복제, 위험중립 평가와 조기행사

이항트리를 만들고 위험중립 확률과 복제 포트폴리오를 도출하며 미국형 옵션의 조기행사를 평가합니다.

표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/binomial-option-pricing/
사실 확인일: 2026-07-22

> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

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## 직접 답변

**이항 옵션 가격결정 모형**은 시간을 여러 단계로 나누고 각 단계에서 기초자산이 상승 또는 하락 값으로 이동한다고 가정합니다. 마지막 노드의 손익을 계산한 뒤 현재까지 거꾸로 평가합니다. 복제와 조기행사 결정을 명확히 보여 준다는 장점이 있습니다.

가격이 실제로 두 방향으로만 움직인다는 예측은 아닙니다. 단계 수를 늘리면 근사가 세밀해지지만 잘못된 변동성, 배당, 금리, 행사 또는 결제 입력은 고치지 못합니다.

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## 위험중립 후진 귀납

한 단계 상승 및 하락 배수를 `u`, `d`, 무위험 성장계수를 `R`이라 합니다. `d < R < u`일 때 위험중립 상승확률은:

`p = (R − d) / (u − d)`

유럽형 노드가치 `V_u`, `V_d`의 현재가치는:

`V_0 = [pV_u + (1 − p)V_d] / R`

`p`는 가격결정 가중치이며 실제 또는 예상 상승확률이 아닙니다. `R`이 `(d, u)` 밖이면 단순 트리의 무차익 설정을 위반합니다.

각 미국형 노드에서는 다음을 비교합니다.

`V = max(내재가치, 계속가치의 할인 기대값)`

이산배당, 변동금리, 변동성 기간구조와 복수 행사일은 트리를 조정해 반영할 수 있습니다. 경로의존 계약은 추가 상태변수가 필요해 규모가 빠르게 커집니다.

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## 단일기간 콜 예시

주가가 `$100`이고 한 기간 뒤 `$120` 또는 `$80`, 행사가가 `$100`, 무위험 성장계수가 `1.05`라고 가정합니다. 콜의 만기 손익은 `$20` 또는 `$0`입니다.

`p = (1.05 − 0.80) / (1.20 − 0.80) = 0.625`

`C_0 = [0.625 × $20 + 0.375 × $0] / 1.05 ≈ $11.90`

복제도 같은 답을 줍니다. 헤지비율은 `(20 − 0) / (120 − 80) = 0.5`주입니다. 현재 약 `$38.10`을 빌리면 한 기간 뒤 `$40`이 되어 포트폴리오는 상승 상태에서 `$20`, 하락 상태에서 `$0`을 지급합니다. 초기비용은 `$50 − $38.10 = $11.90`입니다.

배당, 거래비용, 스프레드, 세금과 이산 헤지는 제외했으므로 모형가치는 체결 보장가격이 아닙니다.

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## 모형 점검표

- 행사방식, 만기, 결제, 승수와 기업행동 조건을 일치시킵니다.
- 금리, 배당과 변동성을 동일한 단계 길이와 복리 기준으로 변환합니다.
- `d < R < u`와 최종 손익 구현을 확인합니다.
- 단계 수를 늘려 수렴을 확인합니다. 행사가나 장벽 근처에서 진동할 수 있습니다.
- 하나의 이산화만 신뢰하지 말고 다른 트리 모수화를 비교합니다.
- 미국형은 행사가 계속보다 유리한 노드를 기록하고 배당 가정을 검토합니다.
- 시장 경계와 독립 방법으로 확인하고 위반 시 원인을 먼저 조사합니다.
- 체결 스프레드, 수수료, 헤지빈도와 유동성을 거래 판단에 반영합니다.

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## 흔한 오해

- “위험중립 확률은 주가 상승확률이다.” 무차익 가격결정 가중치입니다.
- “단계가 많으면 반드시 정확하다.” 잘못된 입력이나 모형은 고치지 못합니다.
- “트리가 각 경로를 예측한다.” 모형 상태에서 조건부 현금흐름을 평가합니다.
- “미국형은 항상 유럽형보다 훨씬 비싸다.” 조기행사 프리미엄이 0일 수 있습니다.
- “모형가격은 시장 중간값과 같다.” 수급, 스프레드, 왜도와 관행이 다릅니다.
- “실제 복제도 비용이 없다.” 스프레드, 수수료, 조달과 갭 위험이 있습니다.

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## 관련 주제

- [미국형과 유럽형 옵션](/ko/options/american-and-european/)
- [내재가치와 시간가치](/ko/options/intrinsic-and-time-value/)
- [내재변동성](/ko/options/implied-volatility/)

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## 권위 있는 출처

- [단순화한 옵션 가격결정법](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Cox, Ross와 Rubinstein
- [표준화 옵션의 특성과 위험](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - OCC
- [옵션 계산기](https://www.cboe.com/optionsinstitute/tools/options_calculator/) - Cboe Options Institute