# Breeden-Litzenberger 공식: 옵션에서 위험중립 밀도 추출하기

유럽형 콜 가격에서 위험중립 꼬리확률과 밀도를 도출하고 유한차분과 차익·데이터 잡음 위험을 설명합니다.

표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/breeden-litzenberger-formula/
사실 확인일: 2026-07-22

> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

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## 직접 답변

**Breeden-Litzenberger 관계**는 같은 만기, 여러 행사가의 유럽형 콜 가격에서 상태가격 정보를 복원합니다. `C(K,T)`가 매끄러운 무차익 콜 가격함수이고 연속복리 금리가 `r`이면:

`−∂C(K,T)/∂K = e^(−rT) Q(S_T > K)`

`∂²C(K,T)/∂K² = e^(−rT) f_Q(K)`

따라서 `f_Q(K) = e^(rT) ∂²C/∂K²`입니다. `f_Q`는 위험중립 만기가격 밀도이며 현실 결과의 직접 예측이 아니라 미래 상태의 가격정보입니다.

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## 행사가 곡률이 밀도를 담는 이유

콜 만기손익은 `max(S_T − K, 0)`입니다. `K`를 높이면 만기가격이 행사가를 넘는 상태의 손익이 얇게 제거되므로 음의 1차 행사가 미분은 할인된 디지털 콜 가격 또는 꼬리확률에 해당합니다. 이를 다시 미분하면 국소밀도가 됩니다.

무차익 콜 가격은 행사가에 따라 증가하지 않고 볼록해야 하므로 `∂²C/∂K² ≥ 0`입니다. 음의 2차 미분은 음의 상태가격으로, 입력 불일치 또는 이상적 체결 조건의 버터플라이 차익을 나타냅니다.

시장은 이산 행사가만 제공하므로 무차익 제약 곡선을 적합하고 동일 간격 `ΔK`에서 다음을 사용합니다.

`∂²C/∂K² ≈ [C(K−ΔK) − 2C(K) + C(K+ΔK)] / (ΔK)²`

분자는 좁은 콜 버터플라이 가격입니다. 손익이 중앙 행사가 주변에 집중되어 국소밀도를 근사합니다.

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## 세 행사가 유한차분

같은 만기의 동시 유럽형 콜 가격을 가정합니다.

| 행사가 | 콜 가격 |
| ---: | ---: |
| `$95` | `$8.20` |
| `$100` | `$5.00` |
| `$105` | `$2.80` |

`ΔK = $5`일 때 `$100` 주변 곡률은:

`[$8.20 − 2 × $5.00 + $2.80] / $5² = $1.00 / 25 = 달러당 0.04`

할인을 무시하면 국소 위험중립 밀도는 약`달러당 0.04`이고 금리가 0이 아니면 `e^(rT)`를 곱합니다. 이는 정확히 `$100`이 될 확률이 아니며 확률은 가격구간에 걸쳐 적분해야 합니다.

중앙가격이 `$5.60`이면 분자가 음수가 됩니다. 음의 확률로 해석하지 말고 오래된 호가, Bid/Ask 불일치, 미국형 행사효과 또는 차익제약을 위반한 적합을 먼저 조사합니다.

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## 추출 점검표

- 한 만기를 고정하고 동기화된 체결 가능 유럽형 호가를 사용합니다.
- 할인계수, 선도, 배당, 결제와 행사조건을 일관되게 추정합니다.
- 유동적인 외가격 호가를 우선하며 풋-콜 패리티 변환을 신중히 합니다.
- 오류를 제거하고 단조성과 볼록성 제약 아래 가격을 적합합니다.
- 적합 곡선을 미분합니다. 원시 2차 차분은 작은 호가오차를 확대합니다.
- Bid, Mid, Ask와 여러 평활화 방법으로 반복합니다.
- 밀도가 음이 아니고 적분이 약 1이며 평균이 선도와 일치하는지 확인합니다.
- 행사가가 드문 꼬리는 관측정보가 아닌 모형 외삽으로 봅니다.

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## 흔한 오해

- “위험중립 확률은 시장의 객관적 예측이다.” 상태가격과 위험선호를 포함합니다.
- “밀도 0.04는 정확히 $100일 확률 4%다.” 밀도는 구간에서 적분해야 합니다.
- “원시 중간값을 미분하면 충분하다.” 2차 미분은 잡음을 확대합니다.
- “매끄러운 차트는 정확한 데이터다.” 평활화가 꼬리모양을 만들 수 있습니다.
- “음의 밀도를 0으로 자르면 된다.” 차익을 숨기고 가격일관성을 깨뜨립니다.
- “미국형 주식옵션에도 그대로 적용한다.” 조기행사와 이산배당이 단순관계를 깨뜨립니다.

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## 관련 주제

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## 권위 있는 출처

- [옵션 가격에 내재된 상태조건부 청구권 가격](https://doi.org/10.1086/296025) - Douglas T. Breeden과 Robert H. Litzenberger
- [표준화 옵션의 특성과 위험](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - OCC
- [SPX 옵션 상품 명세](https://www.cboe.com/tradable_products/sp_500/spx_options/specifications/) - Cboe