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title: "Breeden-Litzenberger 공식: 옵션 가격의 위험 중립 밀도"
description: "행사 그리드, 차익거래, 평활화 및 데이터 위험을 제어하면서 유럽 옵션 가격에서 할인된 꼬리 확률과 위험 중립 밀도를 추출합니다."
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# Breeden-Litzenberger 공식: 옵션 가격의 위험 중립 밀도
> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자로 손실이 발생할 수 있습니다.
## 직접 답변
한 만기에 대해 `C(K,T)`를 충분히 정칙인 유럽형 콜의 기초자산 1단위당 시점 0 가격, `D(0,T)`를 할인계수, `Q^T`를 해당 뉴메레르에 대응하는 가격결정 측도로 둡니다. 결제 조건이 일치하고 차익거래가 없다면,
`-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)`
`partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)`
이 관계는 연속점에서 성립합니다. 따라서 `f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2`입니다. 1차 도함수는 할인된 디지털 콜 가치이고, 2차 도함수는 할인된 밀도이며 객관적 예측이 아닙니다. 만기 분포에 원자가 있으면 도함수가 불연속적으로 변할 수 있고, 그 확률질량은 해당 지점의 통상적인 매끄러운 밀도로 표현되지 않습니다.
## 메커니즘
1. **청구권과 시간축을 고정합니다.** 기초자산, 만기, 유럽형 행사, 현금 또는 실물 결제, 승수, 공식 `S_T`, 호가 타임스탬프, 세션, 통화, 기업행사 상태를 일치시킵니다. 미국형 옵션 가격이나 결제 조건이 다른 가격을 그대로 대입해서는 안 됩니다.
2. **선도 및 할인을 정규화합니다.** `D(0,T)`, 일치된 선도, 배당금, 차입 및 콴토 또는 선물 규칙을 추정합니다. 일치하는 풋-콜 패리티를 통해서만 풋을 합성 콜로 전환하고 계약 달러와 별도로 기본 단위당 옵션 가격을 유지합니다.
3. **행사가 단면을 정리합니다.** 동기화된 매수호가, 매도호가, 표시 수량과 실행 가능 조건을 사용하고, 명백한 오류와 오래되거나 교차된 관측값을 제거합니다. 미분하기 전에 콜 가격의 단조감소, 볼록성, 합리적인 가격 경계와 만기 간 일관성을 적용합니다.
4. **차익거래 인식 곡선을 맞추세요.** 가격, 내재 변동성, 디지털 가격 또는 밀도를 맞출지 선택하세요. 매듭, 가중치, 정규화, 외삽 및 경계 조건을 문서화합니다. 매끄러운 곡선은 관찰된 진실이 아니라 추정치입니다.
5. **실제 그리드에서 미분합니다.** 등간격 `h`에서는 `[C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2`를 사용합니다. 간격이 다른 이웃 `K_- < K < K_+`에서는 `2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)`를 사용합니다. 불규칙한 행사가에 등간격 격자 공식을 적용하지 않습니다.
6. **분포 제약을 검증합니다.** 비음수 밀도, 총확률질량, 선도가격과 일치하는 1차 모멘트, 콜 재가격결정, 매수·매도호가 민감도, 꼬리질량, 평활화 선택에 대한 안정성을 확인합니다. 연속밀도와 이산 원자, 잘린 행사가 범위를 구분합니다.
7. **버전을 관리하고 신중히 해석합니다.** 옵션체인 스냅샷, 정리 판단, 곡선, 코드, 솔버, 신뢰구간 또는 민감도 구간을 저장합니다. 위험중립분포와 현실확률분포는 명시적인 가격결정 커널 또는 위험 프리미엄 체계를 통해서만 비교하고, 추출된 곡선을 시장 예측이라고 표시하지 않습니다.
## 작업한 예
- **균등 그리드 밀도 추정.** 한 번의 만료가 있는 동기화된 유럽 통화에는 `C(95) = $8.20`, `C(100) = $5.00` 및 `C(105) = $2.80`가 있습니다. `h = $5`를 사용하면 100에서 할인된 곡률은 `[$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar`입니다. `D(0,T) = 1`인 경우 지역 위험 중립 밀도 추정치는 `0.04 per dollar`입니다. 정확히 100에서는 `4%` 확률이 아닙니다.
- **수직 스프레드와 평균 꼬리확률.** `C(100) = $5.00` 및 `C(105) = $2.80`에서 음의 할선 기울기는 `($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44`입니다. 이는 행사가 100에서 105 구간의 `Q^T(S_T > K)` 할인 평균과 같습니다. `D(0,T) = 0.98`이면 해당 평균 위험중립 꼬리확률은 `0.44 / 0.98 = 44.897959%`입니다. 어느 한 끝점의 꼬리확률 자체는 아닙니다.
- **스트라이크 간격이 동일하지 않습니다.** `K_- = 95`, `K = 100`, `K_+ = 107`를 `C_- = $8.20`, `C = $5.00` 및 `C_+ = $2.20`와 함께 사용합니다. 왼쪽 기울기는 `($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64`, 오른쪽 기울기는 `($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40`, 비균등 그리드 곡률은 `2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar`입니다. 여기서는 균등 그리드 분모가 잘못되었습니다.
- **음의 버터플라이 진단.** 95/100/105의 등간격 행사가에서 가격이 `$8.20`, `$5.60`, `$2.80`이면 분자는 `$8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20`, 곡률은 `-$0.20 / 25 = -0.008 per dollar`입니다. 양쪽 날개를 매수하고 중앙 콜 두 개를 매도하면 비용 전 단위당 `$0.20`, 즉 `$20`(`M = 100`)를 받으면서 만기 페이오프는 음수가 아닙니다. 호가가 동기화되고 모든 레그가 체결되며 자금조달, 수수료, 행사, 결제 및 기타 마찰이 우위를 없애지 않을 때만 실행 가능한 차익거래입니다.
## 추출 및 유효성 검사 체크리스트
- 만기일, 기초, 행사 스타일, 결제 규칙, 통화, 승수 및 공식 터미널 소스를 정확하게 일치시키세요.
- 동기화된 옵션과 기본 타임스탬프를 사용합니다. 별도의 장소 견적, 통합 데이터, 최종 거래 및 이론적 표시.
- 기록 입찰, 요청, 표시된 크기, 교차 또는 잠긴 상태, 오래된 플래그 및 실행 가능한 패키지 조건.
- 행사 파생상품을 이용하기 전에 계약 프리미엄을 기초 단위당 가격으로 전환하세요.
- 액면수익률이나 관련 없는 단기 금리를 삽입하기보다는 만기에 맞는 할인율을 추정합니다.
- 풋콜 전환 전 선도, 배당, 차입, 선물결제, FX, 콴토 조건을 조정합니다.
- 일치하는 유럽 청구에만 패리티를 적용하고 변환 잔차를 데이터 품질 진단으로 유지합니다.
- 추출 전에 콜가격 경계, 단조성, 볼록성 및 적절한 달력 제한을 적용합니다.
- 실제 공격 그리드를 사용하세요. 동일하지 않은 간격에 등간격 차이를 적용하지 마십시오.
- 첫 번째 차이를 정확한 끝점 디지털 확률이 아닌 간격 평균으로 처리합니다.
- 통합 확률 질량과 달러당 확률과 같은 밀도 단위를 구별합니다.
- 원자, 디지털 가격의 급등, 계약별 정산 중단 등을 조용히 완화하는 대신 보존합니다.
- 피팅 영역, 매듭, 가중치, 페널티, 외삽 및 경계 가정을 보고합니다.
- 스트레스 가격 공간은 변동성 공간, 디지털 공간 및 직접 밀도 대안에 적합합니다.
- 2차 파생물이 노이즈를 확대하므로 입찰, 중간점, 요청 및 교란된 깨끗한 데이터 세트에서 추출을 반복합니다.
- 비음성, 단위에 가까운 총 질량, 일관된 평균, 허용 오차 내에서 관찰된 호출의 가격 조정을 확인합니다.
- 누락된 깊은 꼬리 타격을 모델에 따른 외삽법으로 처리하고 생략된 꼬리 질량을 보고합니다.
- 명시적인 위험 프리미엄 모델 없이 위험 중립 순간을 물리적 기대로 해석하지 마십시오.
- 실행 가능한 채우기, 수수료, 자금 조달, 마진, 행사 및 결제 위험과 이론적 정적 차익거래를 분리합니다.
- 원시 데이터, 수정, 코드, 솔버 설정, 출력 버전, 검토 및 불확실성 진단을 보관합니다.
## 일반적인 오해
- **"밀도는 시장의 객관적인 예측입니다."** 상태가격과 위험 프리미엄을 반영한 가격결정 측도상의 분포입니다.
- **"0.04의 밀도는 정확한 가격에서 4%의 확률을 의미합니다."** 밀도는 역가격 단위를 가지며 간격에 걸쳐 적분되어야 합니다.
- **"가공하지 않은 중간값 차분이 실제 분포를 드러냅니다."** 비동기성, 스프레드, 성긴 행사가, 수치미분이 곡률을 지배할 수 있습니다.
- **"음수 밀도 클리핑으로 문제가 해결됩니다."** 임시 클리핑은 차익거래 위반을 숨기고 가격 조정, 대량 또는 평균 제한을 파괴할 수 있습니다.
- **"이 공식은 모든 옵션 체인에 변경 없이 적용됩니다."** 미국 행사, 개별 배당금, 조정 계약, 선물 규칙, 원자 및 결제 규칙에는 명시적인 처리가 필요합니다.
## 관련 주제
- [내재변동성](/ko/options/implied-volatility/)
- [블랙-숄즈 모델](/ko/options/black-scholes-model/)
- [옵션 체인](/ko/options/option-chain/)
## 신뢰할 수 있는 출처
- [옵션 가격에 내재된 국가 조건부 청구의 가격](https://doi.org/10.1086/296025) - University of Chicago Press; 경험적 정리나 실행 절차가 아닌 가정에 따라 주-가격 관계를 설정합니다.
- [옵션 내재 확률 분포 및 통화 초과 수익](https://resources.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/staff_reports/sr32.pdf) - 뉴욕 연방준비은행; 계약상의 제품 규칙이 아닌 모델 및 데이터 선택을 통해 옵션 내재 밀도를 도출하고 적용합니다.
- [석유 시장 사건을 이해하기 위한 옵션 내재 확률 밀도 생성](https://www.federalreserve.gov/econres/ifdp/generating-options-implied-probability-densities-to-understand-oil-market-events.htm) - 연방 준비 제도 이사회; 보편적인 자산 보정이 아닌 석유 옵션의 반모수적 추출과 견고성을 비교합니다.
- [옵션 가격에서 확률 분포 복구](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1996.tb05219.x) - Wiley; 고유한 묵시적 분포가 아닌 표본 및 방법에 따라 옵션 가격에서 제한적이고 원활한 복구를 지원합니다.
- [금융자산 가격에 내재된 상태가격밀도의 비모수적 추정](https://doi.org/10.1111/0022-1082.215228) - Wiley; 대역폭과 표본오차를 무시한 원시 차분이 아니라, 명시된 가정 아래의 비모수적 상태가격 추정을 뒷받침합니다.
- [형태 제한에 따른 비모수적 옵션 가격](https://doi.org/10.1016/S0304-4076(03)00102-7) - Elsevier; 단조성 및 볼록성 제약 조건을 지원하지만 정리된 인용문이 실행 가능하다는 보장은 없습니다.
- [표준화된 옵션의 특성 및 위험](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - 옵션청산공사; 밀도 추정이나 맞춤형 청구가 아닌 표준화된 옵션 권리, 행사, 합의 및 위험을 다루고 있습니다.
- [S&P 500 지수 옵션 제품 사양](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - Cboe 글로벌 시장; 모든 옵션 체인에 대한 조건이 아닌 SPX 특정 행사, 승수, 거래 및 결제 필드를 설정합니다.
Source: https://wiki.fcontext.com/ko/options/breeden-litzenberger-formula/index.mdx