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title: "교환옵션: Margrabe 가격결정과 상대가치 위험"
description: "명시한 자산 수량, 캐리, 변동성 및 상관관계로 교환옵션을 평가한 뒤 결제, 체결과 거래상대방 위험을 통제합니다."
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# 교환옵션: Margrabe 가격결정과 상대가치 위험
> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자에는 손실이 발생할 수 있습니다.
## 직접 답변
**교환옵션**은 정해진 수량의 한 자산을 인도하고 정해진 수량의 다른 자산을 받을 권리를 보유자에게 부여하지만 의무를 지우지는 않습니다. 자산1을 `a`단위 받는 대가로 자산2를 `b`단위 인도하고 `T`에 결제하는 청구권이라면 공통 통화로 표시한 페이오프는 `max(a x S1(T) - b x S2(T), 0)`입니다. 교환비율, 자산의 정확한 신원, 통화, 확정가격과 인도물은 계약상 입력값이며 나중에 추정할 승수가 아닙니다.
Margrabe 공식은 두 자산이 공동 로그정규분포를 따르고, 비례 캐리가 확정적이며, 변동성과 상관관계가 일정하고, 연속 거래와 마찰 없는 복제가 가능하다는 제한된 조건에서 유럽형 무현금 행사가격 청구권을 평가합니다. 이 공식은 모형 기준값을 제공할 뿐 체결 가능한 호가, 헤지 보장, 표준화된 상장계약 또는 양자간 청산금액을 확정하지 않습니다.
## 청구권과 모형 구축
1. 정확한 페이오프, 수량, 공통 평가통화, 행사방식, 확정가격, 결제 및 기업행위 규칙을 작성합니다. “교환옵션”이라는 명칭에만 의존해서는 안 됩니다.
2. 기본 모형에서 `X1 = a x S1`과 `X2 = b x S2`를 정의합니다. 동기화한 현물가격, 연속 배당수익률 `q1`과 `q2`, 연율화 변동성 `sigma1`과 `sigma2`, 수익률 상관계수 `rho`, 연 단위 기간 `T`를 확정합니다.
3. `sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2)`로 상대변동성을 계산합니다. 결과를 사용하기 전에 공분산 입력값, 단위, 타임스탬프와 양의 준정부호 일관성을 확인합니다.
4. `V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2)`로 유럽형 청구권을 평가합니다. 여기서 `d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T))`이고 `d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T)`입니다.
5. 두 자산의 변동성 표면, 상관관계, 캐리, 점프와 유동성 전반에서 재평가합니다. 낮은 `rho`는 일반적으로 `sigmaR`와 이 바닐라 교환옵션의 가치를 높이지만, 과거 상관계수 하나는 거래 가능한 입력값도 완전한 결합분포도 아닙니다.
6. 모형 청구권을 실제 상품에 대응시킵니다. 상장, FLEX 및 양자간 장외계약은 승수, 행사, 실물 또는 현금결제, 확정가격 출처, 담보, 청산, 상계, 분쟁 및 거래상대방 조건이 다를 수 있습니다.
7. 체결 가능한 진입과 청산의 호가 방향, 수수료, 헤지, 자금조달, 담보, 배당, 결제현금 또는 재고, 모형가격과 시장가격의 잔차를 기록합니다. 모형 평가액을 실현손익으로 취급하지 말고 법적 확인서와 현금 원장을 대사합니다.
기본 공식에 무위험금리 항이 명시되지 않는 것은 뉴메레르의 결과이지 자금조달이 무관하다는 증거가 아닙니다. 포워드 수준, 배당수익률, 주식차입, 담보 보수, 환율변환, 조달 스프레드와 청산 조건은 실제 거래에 계속 영향을 줍니다. 자산의 통화가 서로 다르면 결제통화와 환율변환 또는 콴토 규칙을 먼저 명시해야 합니다. 서로 다른 통화의 원시가격을 빼는 것은 의미가 없습니다.
## 네 가지 계산 사례
- **일대일 모형가치.** `S1=$110`, `S2=$100`, `a=b=1`, `T=0.5`, `sigma1=30%`, `sigma2=20%`, `rho=0.50`, `q1=q2=0`이라고 합니다. 그러면 `sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%`, `d1=0.6029957751`, `d2=0.4159129058`입니다. 권리 1개당 모형가치는 `$13.815554`, 현재 내재가치는 `max(110-100,0)=$10`입니다. 이는 모형 출력값이지 거래 제안이 아닙니다.
- **수량은 모형 안에 둡니다.** 권리 1개가 자산2의 `b=200`주를 자산1의 `a=150`주로 교환합니다. `S1=$80`, `S2=$55`, `T=0.75`, `sigma1=28%`, `sigma2=22%`, `rho=0.35`, `q1=1%`, `q2=3%`이면 현재 자산가치는 `X1=$12,000`과 `X2=$11,000`입니다. 상대변동성은 `28.9274955708%`, `d1=0.5324591424`, `d2=0.2819396820`이고 권리 1개당 모형가치는 약 `$1,799.02`입니다. 계약상 수량을 추정한 `100`주 승수로 바꾸면 청구권 자체가 달라집니다.
- **상관관계는 모형 익스포저입니다.** 첫 사례로 돌아갑니다. `rho=0.90`이면 `sigmaR=14.8323969742%`이고 모형가치는 약 `$11.086226`입니다. `rho=-0.50`이면 `sigmaR=43.5889894354%`이고 가치는 약 `$18.464726`입니다. 이 차이는 실현 상관관계가 어느 입력값을 따를 것이라는 예측이 아닙니다. 표면 움직임, 점프, 캐리와 헤지비용이 단일 요소 비교를 압도할 수 있습니다.
- **결제와 체결은 별도 원장입니다.** 권리 3개가 각각 자산2 `80`주를 자산1 `50`주로 교환합니다. 계약상 확정가격이 `S1=$140`과 `S2=$80`이면 각 페이오프는 `max(50x140-80x80,0)=$600`이므로 현금결제액은 `$1,800`입니다. 실물결제는 자산2 `240`주를 인도하고 자산1 `150`주를 받아야 합니다. 다른 유효한 확정가격 조항이 `S1=$138.50`과 `S2=$80.40`을 산출하면 현금결제액은 `3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479`으로 `$321` 적습니다. 딜러 모형 평가액은 계약상 확정가격을 대신할 수 없습니다.
## 7단계 업무절차 및 통제
- 자산, 주식 클래스, 지수, 통화 또는 법적 발행사 오류.
- 교환방향, 부호, 수량, 비율, 승수 또는 인도물 오류.
- 환율변환 또는 콴토 규칙 없이 호환되지 않는 통화로 페이오프 작성.
- 행사방식, 만기, 확정가격 시각, 시간대 또는 결제 관행 불일치.
- 기업행위, 배당, 특별배당, 주식차입 또는 원천징수세 오류.
- 현물, 포워드, 곡선, 표면 또는 외환 입력값의 노후화나 비동기.
- 변동성 단위, 일수계산, 수익률 관행 또는 공분산 척도 오류.
- 상관행렬 불일치 또는 불안정한 과거 추정.
- 단일 상관계수가 행사가격, 만기, 국면 및 꼬리의존성을 가리는 위험.
- 일정한 변동성, 상관관계 또는 로그정규 가정의 실패.
- 공통 또는 고유 점프, 채무불이행, 거래정지와 시장휴장.
- 상대 Delta, 교차 Gamma, Vega, 상관관계와 캐리의 동시 변화.
- 갭, 거래정지 또는 유동성이 낮은 세션에서도 연속 복제가 가능하다는 가정.
- 모형가격을 동기화된 체결 가능 매수호가나 매도호가로 오인.
- FLEX 또는 상장 상품명세를 맞춤형 이중자산 청구권에 일반화.
- 장외 확인서, 담보, 상계, 청산 또는 평가분쟁 조건의 불일치.
- 거래상대방 채무불이행, 잘못된 방향 위험, 담보공백 또는 회수율 불확실성.
- 헤지 부분체결, 베이시스 위험, 시장충격, 수수료 및 자금조달 비대칭.
- 실물재고, 현금 확정가격, 환율변환과 세금 미대사.
- 모형 버전, 입력 데이터 버전, 확인서, 담보와 최종손익 미대사.
## 흔한 오해
- “교환옵션은 거래소 거래 옵션이라는 뜻이다.” 전자는 페이오프를, 후자는 거래장소와 시장구조를 설명합니다.
- “교환비율은 가격평가 후에 적용해도 된다.” 수량은 현재 상대가치를 바꾸므로 로그항과 두 할인 자산항 안에 들어가야 합니다.
- “무위험금리가 사라지므로 자금조달은 중요하지 않다.” 뉴메레르 상쇄는 캐리, 담보, 주식차입, 외환 또는 딜러 자금조달을 없애지 않습니다.
- “상관관계는 직접 관찰할 수 있고 안정적이다.” 추정치이고 상태에 의존하며 결합표면과 점프 위험의 일부일 뿐입니다.
- “폐쇄형 해의 가치는 거래 가능한 청산가격이다.” 체결, 신용, 법적 조건, 유동성, 헤지비용과 평가분쟁으로 다른 결과가 나올 수 있습니다.
## 관련 주제
- [내재변동성](/ko/options/implied-volatility/)
- [내재상관관계](/ko/options/implied-correlation/)
- [콴토 옵션](/ko/options/quanto-options/)
## 주요 출처
- [The Value of an Option to Exchange One Asset for Another](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1978.tb03397.x)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [FLEX Options](https://www.cboe.com/tradable-products/equity-indices/flex-options)
- [Equity FLEX Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable_products/equity_indices/flex_options/specifications)
- [Swap Trading Relationship Documentation Requirements for Swap Dealers and Major Swap Participants](https://www.cftc.gov/LawRegulation/FederalRegister/FinalRules/2012-21414)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)
Source: https://wiki.fcontext.com/ko/options/exchange-options/index.mdx