# 기하 브라운 운동: Black–Scholes를 뒷받침하는 유용한 기준
GBM 방정식, 로그정규 해, 이토 보정, 실제세계와 위험중립 드리프트, 정확한 시뮬레이션과 누락되는 점프·변동성 위험을 설명합니다.
표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/geometric-brownian-motion/
사실 확인일: 2026-07-22
> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다
## 직접 답변
**기하 브라운 운동(GBM)**은 자산의 비율 변화가 일정한 드리프트와 브라운 무작위 충격으로 이루어지는 연속시간 모형입니다: `dS(t) / S(t) = μ dt + σ dW(t)`. 해는 `S(T) = S0 exp[(μ − 0.5σ²)T + σW(T)]`입니다. 로그수익률은 정규, 가격은 로그정규라 양수를 유지합니다. Black–Scholes의 핵심인 이유는 해석하기 쉽기 때문이지 실제 주가가 정확히 따르기 때문이 아닙니다.
## 드리프트, 이토 보정과 가격 측도
`ln[S(T)/S0]`의 평균은 `(μ − 0.5σ²)T`, 분산은 `σ²T`입니다. `−0.5σ²` 이토 보정이 지수 볼록성을 상쇄해 실제세계 설정에서 `E[S(T)] = S0e^(μT)`가 됩니다. 기대 가격 성장률 `μ`와 평균 로그 성장률은 다릅니다.
위험중립 가격평가에서는 `μ`를 `r − q`로 바꿉니다. 실제 수익률이 `r − q`라는 전망이 아니라 할인된 거래 자산에 무차익 마팅게일 조건을 부과하는 것입니다. GBM은 연속 경로, 독립·정상 가우스 증분과 일정 변동성을 가정하며 실적 갭, 두꺼운 꼬리, 변동성 군집, 스큐, 거래정지, 부도, 유동성과 비용을 누락합니다. 더 작은 시간 간격은 구조적 누락을 고치지 못합니다.
## `$100`에서 시작하는 1년 분포
`S0 = $100`, `μ = 8%`, `σ = 20%`, `T = 1`이면 평균 로그수익률은 `6%`, 표준편차는 `20%`입니다.
- 만기 중앙값: `$100e^0.06 = $106.18`.
- 만기 기대값: `$100e^0.08 = $108.33`.
- `Z = −1`: `$100e^(0.06−0.20) = $86.94`.
- `Z = +1`: `$100e^(0.06+0.20) = $129.69`.
로그정규 가격은 오른쪽으로 치우쳐 평균이 중앙값보다 높고 `Z = ±1`은 경계가 아닙니다. 정확한 이산 갱신은 `S(t+Δt)=S(t)exp[(μ−0.5σ²)Δt+σsqrt(Δt)Z]`입니다. `Δt=1/252`의 1표준편차 무작위 규모는 `1.26%`입니다. 경로 수 증가는 표본오차만 줄이고 모형오차는 줄이지 않습니다.
## 모형화 체크리스트
- 실제세계 전망, 위험중립 가격, 스트레스 또는 교육 중 목적을 밝힙니다.
- `S0`, 드리프트, 변동성, 배당, 금리, 기간, 일수, 간격과 시각을 기록합니다.
- 연율 입력과 `Δt` 단위를 통일합니다.
- 정확한 지수 단계와 감사 가능한 난수 씨앗을 사용해 평균·분산을 확인합니다.
- 경로 수, 표준오차, 수렴과 신뢰구간을 보고합니다.
- 점프, 변동성 상태, 두꺼운 꼬리와 유동성 스트레스와 비교합니다.
- 경로의존 상품은 관측 빈도와 브라운 브리지 보정을 확인합니다.
- `μ`로 단기 방향을 예측하지 않습니다. 노이즈보다 작고 추정하기 어렵습니다.
- 좋은 모형 내 적합을 미래 시장 가정의 증거로 보지 않습니다.
## 흔한 오해
- “GBM은 주가를 예측한다.” 선택한 매개변수 아래 조건부 분포를 정합니다.
- “로그수익률 드리프트는 `μ`다.” 이 표기에서는 `μ − 0.5σ²`입니다.
- “위험중립확률은 실제 전망이다.” 무차익 가치평가를 위한 것입니다.
- “시뮬레이션 단계를 늘리면 현실적이다.” 이산오차만 줄이며 점프를 추가하지 않습니다.
- “로그정규면 하방이 제한된다.” 유한시간에 양수지만 0에 임의로 가까워질 수 있습니다.
- “일정 변동성은 무해하다.” 기간구조, 스큐, 군집과 위기 행동에 어긋납니다.
## 관련 주제
- [Black–Scholes 모형](/ko/options/black-scholes-model/)
- [역사적 변동성](/ko/options/historical-volatility/)
- [내재변동성](/ko/options/implied-volatility/)
- [유한차분 옵션 가격평가](/ko/options/finite-difference-option-pricing/)
## 1차 및 학술 자료
- [Black과 Scholes: The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton: Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Cboe Options Institute: Black–Scholes 모형](https://www.cboe.com/optionsinstitute/option_basics/black-scholes-model/)