# Heston 모형: 확률적 분산, 스큐와 보정 위험
다섯 핵심 분산 매개변수, 평균회귀, 현물·분산 상관, Feller 조건, 보정 과정과 모형 한계를 설명합니다.
표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/heston-model/
사실 확인일: 2026-07-22
> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다
## 직접 답변
**Heston 모형**은 Black–Scholes의 일정 분산을 무작위이고 평균회귀하며 자산가격과 상관된 분산 과정으로 바꿉니다. 일반적인 위험중립식은 `dS = (r − q)S dt + sqrt(v)S dW_S`, `dv = κ(θ − v)dt + ξsqrt(v)dW_v`, 그리고 `dW_S dW_v = ρdt`입니다.
핵심 매개변수는 초기분산 `v0`, 장기분산 `θ`, 회귀속도 `κ`, 분산 변동 강도 `ξ`, 현물·분산 상관 `ρ`입니다. 스큐와 시간가변 분산을 만들 수 있지만 보정된 값은 시장의 유일한 진실이 아닙니다.
## 다섯 매개변수가 표면을 만드는 방식
`v0`는 단기, `θ`는 장기 수준, `κ`는 회귀속도, `ξ`는 미래 분산 폭과 스마일 곡률을 좌우합니다. 주식에서 흔한 음의 `ρ`는 하락과 분산 상승을 연결해 하방 Put 가격을 높입니다.
기대분산은 `E[v(t)] = θ + (v0 − θ)e^(−κt)`, 반감기는 `ln(2)/κ`입니다. 충분 Feller 조건 `2κθ ≥ ξ²`는 과정의 엄격한 양수성에 도움이 됩니다. 위반이 자동 무효는 아니지만 경계와 수치법에 더 주의해야 합니다. Heston은 여전히 연속 확산이라 점프, 이벤트, 비용과 유동성을 자동 포함하지 않으며 매개변수끼리 상쇄될 수 있습니다.
## 한 매개변수 세트 읽기
`v0 = 0.09`, `θ = 0.04`, `κ = 2`, `ξ = 0.30`, `ρ = −0.70`을 가정합니다.
- 초기 변동성: `sqrt(0.09) = 30%`.
- 장기 변동성 수준: `sqrt(0.04) = 20%`.
- 분산 반감기: `ln(2)/2 = 0.347`년, 약 `4.16`개월.
- 6개월 기대분산: `0.04 + (0.09 − 0.04)e^(−2×0.5) = 0.0584`.
- 그 제곱근: `sqrt(0.0584) = 24.16%`.
- Feller: `2κθ = 0.16`, `ξ² = 0.09`로 조건 충족.
`24.16%`는 기대분산의 제곱근이지 기대변동성이 아닙니다. 일반적으로 `sqrt(E[v]) ≠ E[sqrt(v)]`입니다. 음의 상관은 하락 충격과 분산 상승을 묶어 하방 스큐를 가파르게 하며 `ρ`를 0으로 가까이 하면 비대칭, `ξ`를 낮추면 곡률이 약해지기 쉽습니다.
## 보정 및 검증 체크리스트
- 같은 시각의 실행 가능한 Bid/Ask와 일관된 선도, 할인, 배당을 사용합니다.
- 오래된 호가, 0 Bid, 교차, 차익경계 위반과 기업행위 이상을 규칙으로 제거합니다.
- 양수 매개변수에 합리적 범위, `ρ`에 `[−1,1]`을 둡니다.
- Vega 또는 스프레드 신뢰도로 가중하고 만기·머니니스별 오차를 봅니다.
- 여러 초기값으로 최적화해 불안정성과 준최적 대안을 보고합니다.
- 모형 오차를 시장 스프레드와 비교합니다.
- 특성함수, 적분 수렴, 복소분기와 시뮬레이션 편향을 확인합니다.
- 표본외와 헤지 손익을 검증합니다.
- 점프, 더 음의 `ρ`, 높은 `ξ`, 기간구조 단절과 재보정을 따로 압박합니다.
## 흔한 오해
- “Heston은 변동성을 예측한다.” 선택한 매개변수 아래 조건부 동학입니다.
- “적합이 좋으면 헤지도 좋다.” 과적합과 불안정성이 표본외 성과를 악화시킬 수 있습니다.
- “각 매개변수에 하나의 관측 의미가 있다.” 서로 상쇄할 수 있습니다.
- “Feller 위반은 무효다.” 경계·수치 문제를 바꾸지만 모든 가격을 자동 부정하지 않습니다.
- “확률적 변동성은 폭락을 담는다.” 연속 경로는 불연속 가격점프를 누락합니다.
- “한 번의 보정이 모든 상품·날짜에 통한다.” 표면, 이벤트, 유동성과 경로의존이 변합니다.
## 관련 주제
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## 학술 자료
- [Heston: A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Andersen: Simple and Efficient Simulation of the Heston Model](https://doi.org/10.1093/rfs/hhm094)
- [Black과 Scholes: The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)