# 국소 변동성 모형: 옵션 곡면에서 상태 의존 변동성으로
무차익 옵션 곡면을 결정론적 변동성 함수로 바꾸는 방식, Dupire 방정식, 정확한 보정이 미래 동학을 보장하지 않는 이유를 설명합니다.
표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/local-volatility-model/
사실 확인일: 2026-07-22
> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다
## 직접 답변
**국소 변동성 모형**은 순간 변동성을 현재 기초자산 수준과 시간의 결정론적 함수로 둡니다. 단순한 위험중립 표현은 `dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t`입니다. 하나의 상수 변동성을 쓰는 Black-Scholes와 달리 충분히 매끄럽고 무차익인 입력 곡면이 있으면 행사가와 만기별 유럽형 옵션 가격 전체를 재현할 수 있습니다.
이상적인 연속 확산 설정에서는 완비 모형이며 경로 의존 상품 가격과 현재 바닐라 곡면에 맞는 헤지를 계산하는 데 유용합니다. 그러나 오늘의 정확한 적합이 내일의 IV 곡면을 예측한다는 뜻은 아닙니다. 미래 스마일 동학은 결정 함수가 강제하며 관측 시장과 크게 다를 수 있습니다.
## Dupire 보정 원리
`C(K,T)`를 행사가 `K`, 만기 `T`인 유럽형 Call 가격이라 하고 설명을 위해 금리 `r`과 배당수익률 `q`를 일정하게 둡니다. Dupire 전진 방정식은:
`σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`.
행사가 곡률 `∂²_KK C`는 위험중립 만기 밀도와 관련됩니다. 따라서 Call 가격은 행사가에 따라 감소하고 볼록해야 하며 만기 관계도 일관돼야 합니다. 실무에서는 호가를 정제하고 금리와 배당을 선도가와 할인계수로 바꾸고 무차익 제약이 있는 매끄러운 곡면을 적합한 뒤 미분하여 국소 변동성 격자를 보간하거나 외삽합니다.
보정된 `σ_loc(K,T)`는 같은 점의 IV 자체가 아닙니다. IV는 한 옵션 가격을 재현하는 Black-Scholes 상수이고, 국소 변동성은 더 넓은 곡면을 재현하는 순간 상태 의존 확산계수입니다.
## Dupire 수치 예시
`K=$100`, `T=1`년에서 매끄러운 Call 곡면이 `C=$8`, `∂_T C=10`달러/년, `∂_K C=-0.45`, `∂²_KK C=0.018`/달러를 주고 `r=5%`, `q=2%`라고 가정합니다. 분자는:
`10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`.
분모는 `0.5×100²×0.018=90`이므로 국소 분산은 `8.81/90=0.0979`, 국소 변동성은 `√0.0979=31.3%`입니다.
이는 시장 추정이 아닌 계산 예시입니다. 잡음 적합으로 곡률이 `0.018`에서 `0.012`로 바뀌고 다른 입력이 같다면 변동성은 `√(8.81/60)=38.3%`로 상승합니다. 큰 차이는 호가 필터링, 무차익 평활화, 격자 안정성과 표본 외 점검이 중요한 이유를 보여 줍니다.
## 보정 및 모형 위험 점검
- 동시점의 체결 가능 옵션 호가, 선도가, 할인계수, 배당, 계약 조건과 결제 규칙을 사용합니다.
- 교차, 오래된 호가, 0 Bid, 경제적으로 불일치한 관측치를 문서화한 규칙으로 제거합니다.
- 수치 미분 전에 행사가 볼록성과 적절한 만기 단조성을 강제합니다.
- 보간, 평활화 벌점, 호가 가중치, 격자 간격, 경계 조건과 외삽 민감도를 시험합니다.
- 모든 보정 바닐라를 재평가하고 IV 포인트뿐 아니라 체결 가능 가격 단위로 오차를 보고합니다.
- 현물 및 스마일 충격에서 Black-Scholes, 확률 변동성 대안과 헤지 행동을 비교합니다.
- 갭을 스트레스 테스트합니다. 연속 확산은 순간 점프를 헤지하지 못합니다.
- 미래 곡면 동학을 모형 가정으로 취급합니다. 국소 변동성의 스마일 이동은 시장과 다를 수 있습니다.
- 배리어 등은 만기 바닐라 가격뿐 아니라 모형 경로 분포에 의존합니다.
- 곡면이 바뀌면 재보정하고 시장 손익, 캐리, 헤지 오차, 재보정 효과를 구분합니다.
- 데이터가 드문 날개와 장기 외삽을 제한합니다. 미분은 작은 입력 오차를 증폭합니다.
- 유동성, 거래비용, 이산 헤지, 조기 행사와 결제 조건을 이상적 방정식 밖에서 반영합니다.
## 흔한 오해
- “국소 변동성은 각 점의 IV와 같다.” 정의와 용도가 다릅니다.
- “정확한 보정은 모형이 참임을 증명한다.” 오늘 바닐라를 맞춰도 경로와 헤지는 다를 수 있습니다.
- “Dupire 공식을 원시 호가에 바로 적용할 수 있다.” 매끄러운 미분과 무차익 입력이 필요합니다.
- “완비 확산은 모든 위험을 없앤다.” 갭, 이산 헤지, 유동성, 매개변수 변화와 모형 오차가 남습니다.
- “곡면을 더 세밀하게 만들수록 정확하다.” 미분은 잡음과 비유동적 호가를 증폭합니다.
- “모형이 변동성을 예측한다.” 위험중립 가격 함수 보정이지 현실 확률 예측이 아닙니다.
- “모든 바닐라를 맞춘 모형은 복잡 상품도 같은 가격이다.” 경로와 미래 스마일 동학이 다릅니다.
- “음의 국소 분산은 유효 신호다.” 보통 데이터, 평활화, 미분 또는 가정 문제입니다.
## 관련 주제
- [Black-Scholes 모형](/ko/options/black-scholes-model/)
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- [Delta 헤지](/ko/options/delta-hedging/)
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## 1차 및 학술 자료
- [Dupire: Pricing with a Smile](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile)
- [Derman and Kani: Riding on a Smile](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf)
- [Black and Scholes: 옵션과 기업 부채의 가격 결정](https://doi.org/10.1086/260062)
- [OCC: 표준화 옵션의 특성과 위험](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)