# 주가의 로그정규 가정: 수학, 용도와 한계

고전 옵션 모형이 로그정규 주가를 쓰는 이유, 단순수익률과 로그수익률의 차이, 평균과 중앙값, 두꺼운 꼬리, 점프와 변동성 변화의 한계를 설명합니다.

표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/lognormal-stock-returns/
사실 확인일: 2026-07-22

> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

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## 직접 답변

고전 옵션 모형은 미래 주식 **가격**이 로그정규분포, 즉 연속복리 **로그수익률**이 정규분포를 따른다고 가정합니다. 가격 자체가 정규이거나 수익률이 “로그정규”라는 뜻이 아닙니다. 기하 브라운 운동에서는:

`S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]`, 여기서 `Z∼N(0,1)`입니다.

지수 변환은 모형 가격을 양수로 유지하고 여러 기간 로그수익률을 더할 수 있게 하며 계산 가능한 옵션 공식으로 이어집니다. 현실에는 왜도, 두꺼운 꼬리, 변동성 군집, 점프, 거래 중단과 분포 변화가 있습니다. 로그정규는 투명한 기준이지 시장 법칙이 아닙니다.

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## 분포 및 가격 결정 원리

단순수익률은 `R=S_T/S_0-1`, 로그수익률은 `g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)`입니다. 로그수익률은 기간별로 더하고 단순수익률은 곱으로 복리화합니다. `$100`에서 `$110`, 다시 `$99`가 되면 `ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%`입니다. 단순수익률 `+10%`와 `-10%`를 더해 0으로 보는 것은 틀립니다.

`ln S_T∼N(m,v)`이면 가격 중앙값은 `e^m`, 평균은 `e^(m+v/2)`, 최빈값은 `e^(m-v)`입니다. 오른쪽으로 치우친 가격 분포는 0이 하한이고 유한한 상한은 없습니다. 유한 시간에 정확히 0에 도달하지 않으므로 부도 같은 흡수 상태는 별도로 모형화해야 합니다.

Black-Scholes 위험중립 가격 결정은 현실 기대수익률이 아니라 `(r-q-σ²/2)T`를 사용합니다. 이 분포는 무차익 아래 조건부 지급을 가격화하기 위한 것이며 현실 빈도 예측이 아닙니다. 일정한 `σ`는 같은 만기의 모든 행사가에 같은 IV를 뜻하므로 관측되는 스큐 또는 스마일과도 다릅니다.

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## 1년 분포 예시

`S_0=$100`이고 1년 로그수익률 평균이 `5%`, 표준편차가 `20%`라고 가정합니다. 미래 가격 중앙값은 `$100e^0.05=$105.13`, 평균은 `$100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25`, 최빈값은 `$100e^(0.05-0.20²)=$101.01`입니다. “기대 가격”은 분포 중앙이나 가장 가능성 높은 영역과 같지 않습니다.

`Z=-1`과 `Z=+1`을 약 16번째와 84번째 백분위로 쓰면 `$100e^(0.05-0.20)=$86.07` 및 `$100e^(0.05+0.20)=$128.40`입니다. 로그수익률 구간이 대칭이어도 달러 가격 구간은 비대칭입니다.

`$100`에서 `50%` 하락해 `$50`이 된 후 `50%` 상승해도 `$75`이며 누적 단순수익률은 `-25%`입니다. 로그수익률 합은 `ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%`입니다. `$50`에서 `$100`으로 회복하려면 `100%` 상승해야 합니다.

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## 검증 및 모형 위험 점검

- 총수익 또는 올바르게 조정된 가격을 사용합니다. 분할과 일반 분배는 미조정 자료에 가짜 점프를 만듭니다.
- 타임스탬프, 통화, 장 마감 시점, 결측치와 비거래일을 정렬합니다.
- 단순수익률과 로그수익률 중 무엇인지 명시합니다. 작은 변화에서만 서로 가깝습니다.
- 표본 왜도, 초과첨도, 1%/5%/95%/99% 분위수, 히스토그램, Q-Q 도표를 정규 기준과 비교합니다.
- 평온기와 위기 기간을 따로 확인합니다. 서로 다른 변동성 상태의 혼합만으로도 두꺼운 꼬리가 생깁니다.
- 수익률과 제곱수익률의 시계열 의존성을 확인합니다. 변동성 군집은 일정한 독립 증분에 위배됩니다.
- 실적 발표, 예정 이벤트, 장기 기억 또는 국면 변화에서 `√T`를 기계적으로 쓰지 않습니다.
- 예측의 현실 매개변수와 가격 결정의 위험중립 매개변수를 구분합니다.
- 모든 행사가에 하나의 ATM 변동성을 강제하지 말고 현재 IV 곡면을 사용합니다.
- 점프, 부도, 거래 정지, 유동성 상실과 변동성 재평가를 스트레스 테스트합니다.
- 매개변수와 헤지 오차를 표본 밖에서 검증합니다. 과거 극단값 적합은 미래 안정성을 증명하지 않습니다.
- 경로 의존 옵션은 종가뿐 아니라 중간 경로와 이산화 오차를 시뮬레이션합니다.

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## 흔한 오해

- “주식 수익률은 로그정규다.” 고전 가정은 가격이 로그정규, 로그수익률이 정규라는 것입니다.
- “모형 가격이 양수면 현실적이다.” 부도, 점프, 두꺼운 꼬리나 변동성 국면을 담지 못합니다.
- “평균 가격이 가장 가능성 높은 가격이다.” 평균, 중앙값, 최빈값이 다릅니다.
- “대칭 로그수익률 구간은 달러로도 대칭이다.” 지수 변환은 비대칭 가격 구간을 만듭니다.
- “위험중립 확률은 실제 확률이다.” 가격 조정과 위험 프리미엄을 포함하며 목적이 다릅니다.
- “일일 변동성에 `√252`를 곱하면 언제나 연율이다.” 안정적인 독립 증분이 필요합니다.
- “한 가지 역사적 변동성으로 모든 옵션을 평가한다.” 시장 IV는 행사가와 만기별로 다릅니다.
- “드문 날은 이상치로 삭제해야 한다.” 자료 확인 후 극단값은 꼬리 가정에 대한 핵심 반증일 수 있습니다.
- “로그정규 만기값만으로 모든 파생상품을 평가한다.” 배리어, 아시안, 미국형은 경로나 행사 결정에 의존합니다.

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## 학술 자료

- [Black and Scholes: 옵션과 기업 부채의 가격 결정](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Merton: 합리적 옵션 가격 이론](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Mandelbrot: 투기 가격의 변동](https://doi.org/10.1086/294632)
- [Fama: 주식시장 가격의 행동](https://doi.org/10.1086/294743)