# Trinomial Tree Option Pricing: 3상태 격자와 조기 행사

상승·중간·하락 재결합 격자를 만들고 위험중립 확률을 보정해 역산하며 미국형 조기 행사와 수렴을 점검합니다.

표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/trinomial-tree-option-pricing/
사실 확인일: 2026-07-22

> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

<a id="answer"></a>

## 직접 답변

Trinomial Tree는 시간과 가격을 이산 격자로 나누고 기초자산이 각 단계에서 **상승, 중간 수준 유지, 하락**하는 세 상태를 만듭니다. 위험중립 전이확률을 보정한 뒤 만기 Payoff를 계산하고 각 Node의 확률가중 가치를 할인해 현재까지 역산합니다.

Binomial Tree보다 추가된 중간 가지는 Moment Matching, Strike나 Barrier에 Node 정렬, 수치 거동 개선에 더 많은 자유를 줍니다. 그러나 세 가지가 자동으로 정확도를 높이지는 않으며 매개변수화, Step 수, 배당, 행사 규칙, 경계, 시장 입력이 결과를 결정합니다.

Tree는 모든 Node에서 계속 보유와 즉시 행사를 비교할 수 있어 American Option에 유용합니다. 세 가격은 실제 주가 예측이 아니라 수치 상태입니다.

<a id="mechanism"></a>

## 격자와 후진귀납

시간 간격 `Δt`에 주가 승수 `u > m > d`, 확률 `pᵤ`, `pₘ`, `p_d`를 정의합니다. 재결합 Tree는 상승 후 하락 같은 경로를 기존 Node로 되돌려 Node 수를 관리합니다.

위험중립 확률은 최소한

`pᵤ + pₘ + p_d = 1`

과 연속 배당수익률 `q`일 때

`pᵤu + pₘm + p_dd = e^((r−q)Δt)`

를 만족합니다. 구체적인 방식은 분산 또는 Moment 조건을 추가합니다. 모든 확률은 0과 1 사이여야 하며 음수는 유효하지 않은 Grid나 Parameter를 뜻합니다.

만기에 Call은 `V = max(S−K,0)`, Put은 `max(K−S,0)`으로 둡니다. 앞선 Node의 European 계속가치는

`V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`

입니다. American Option은

`V = max(V_continue, 내재가치)`

를 사용합니다. Root까지 반복합니다. 이산 현금배당은 Ex-Dividend 하락을 Tree나 전이에 반영해야 합니다. 인접 Node에서 Greeks를 추정할 수 있지만 Grid 정렬과 차분에 수치 Noise가 생깁니다.

<a id="example"></a>

## 1단계 수치 예시

`S₀ = $100`, Put Strike `K = $105`, 무위험 성장계수 `R = 1.02`로 둡니다. `u = 1.10`, `m = 1.00`, `d = 0.90`, 확률은

`pᵤ = 0.35`, `pₘ = 0.50`, `p_d = 0.15`

입니다. 합은 1이고 예상 주가 성장은

`0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`

입니다.

| 만기 주가 | Put Payoff `max(105−S,0)` | 확률가중 Payoff |
| ---: | ---: | ---: |
| `$110` | `$0` | `$0` |
| `$100` | `$5` | `$2.50` |
| `$90` | `$15` | `$2.25` |

European Put 가치는

`V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`

입니다. American Put의 Root 즉시 행사 가치는 `$105 − $100 = $5`입니다. `$5 > $4.6569`이므로 이 1단계 Tree는 행사를 선택하고 가치를 `$5`로 둡니다.

교차검증으로 European Call은 상승 상태에서만 `$5`를 지급해 `C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157`입니다. `C − P = −$2.9412`는 `S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412`와 같습니다.

<a id="risks"></a>

## 모델 점검과 위험

- 구체적 Parameterization을 명시하며 “Trinomial”만으로 `u`, `d`, 확률을 정의하지 않습니다.
- 음의 확률을 거부하고 위험중립 성장과 분산 조건을 검증합니다.
- Step을 늘리며 수렴을 기록합니다.
- 같은 가정의 European 결과를 Black-Scholes와 비교하고 내재가치 및 무차익 경계를 확인합니다.
- American 가치가 European 이상인지와 Exercise Boundary를 확인합니다.
- 이산 배당, 금리, 차입, 행사 방식, 결제, 계약 조정을 올바르게 반영합니다.
- 중요한 Strike, Barrier, 배당일을 가능하면 Grid에 맞춥니다.
- Volatility, Step 수, 시간 이산화, 경계를 Stress Test합니다.
- Model Value와 체결 가능한 Bid/Ask, 비용, 슬리피지, Size를 구분합니다.
- 독립 구현 또는 Benchmark로 Indexing과 Discounting Error를 찾습니다.

<a id="misconceptions"></a>

## 흔한 오해

- “세 가지는 상승·횡보·하락 예측이다.” 가격 산정을 위한 수치 상태입니다.
- “확률은 역사적 발생률이다.” 모델의 위험중립 Weight입니다.
- “가지가 많으면 정확하다.” 잘못 보정된 Tree는 여전히 틀립니다.
- “1 Step에서 조기 행사면 현실에서도 즉시 행사해야 한다.” 거친 예시와 누락 입력에 의존합니다.
- “Model Price는 체결 가능한 공정가다.” 체결은 수급, Spread, 재고, 비용에 달려 있습니다.
- “수렴은 모델이 참이라는 뜻이다.” 가정 안의 수치 안정성만 보여 줍니다.

<a id="related"></a>

## 관련 주제

- [Binomial Option Pricing](/ko/options/binomial-option-pricing/)
- [Black-Scholes Model](/ko/options/black-scholes-model/)
- [조기 행사](/ko/options/early-exercise/)
- [Risk-Neutral Pricing](/ko/options/risk-neutral-pricing/)

<a id="sources"></a>

## 권위 있는 출처

- [Crack: Trinomial Option Pricing—A Primer](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216)
- [Dai and Lyuu: Convergence of the Trinomial Tree Method](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132)
- [Options Industry Council: Black-Scholes Formula](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula)
- [Options Industry Council: Exercising Options](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options)
- [OCC: 표준화 옵션의 특성과 위험](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)