# 울티마(Ultima): 내재변동성에 대한 Vomma의 민감도
울티마를 옵션 가치의 내재변동성에 대한 3차 미분으로 이해하고, 단위를 통일해 유한차분으로 검증합니다.
표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/ultima-greek/
사실 확인일: 2026-07-22
> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다
## 직접 답변
**울티마(Ultima)**는 기초자산 가격, 시간, 금리, 배당 및 나머지 모형 입력을 고정할 때 내재변동성(IV)의 변화에 따라 옵션의 Vomma가 어떻게 변하는지를 측정합니다. 옵션 가치를 `V`, 소수로 표시한 변동성을 `σ`라고 하면:
`Vega = ∂V/∂σ`, `Vomma = ∂²V/∂σ²`, `Ultima = ∂³V/∂σ³ = ∂Vomma/∂σ`입니다.
울티마는 국소적인 3차 모형 민감도입니다. 큰 IV 충격에서 2차 변동성 근사가 얼마나 더 휘는지 진단하는 데 도움이 됩니다. IV를 예측하거나 수익을 보장하지 않으며 실제 변동성 표면의 모든 변화를 설명하지도 않습니다.
## 작동 원리와 단위
현재 변동성 주변의 테일러 근사는 다음과 같습니다.
`ΔV ≈ Vega×Δσ + ½×Vomma×(Δσ)² + ⅙×Ultima×(Δσ)³`
이 전개는 변동성 효과만 분해합니다. Delta, Gamma, Theta, 금리, 배당, 스큐 및 체결 조건도 가격에 영향을 줍니다. IV 변화가 크면 Vega와 Vomma 자체도 달라지므로 전체 재평가가 더 적합합니다.
단위는 주요 오류 원인입니다. 소수 변동성을 쓰는 모형은 `30%`를 `0.30`으로 입력하지만, 화면은 `30%→31%`를 1변동성 포인트로 표시할 수 있습니다. 소수 변동성 세제곱당 울티마를 포인트 세제곱당 수치로 바꾸려면 `100³ = 1,000,000`으로 나눕니다. 일부 업체는 IV가 1포인트 움직일 때 화면에 표시된 Vomma의 변화량을 직접 제시하므로 비교 전에 정의를 확인해야 합니다.
울티마는 양수 또는 음수일 수 있고, 머니니스, 만기, 금리, 배당 및 모형에 따라 부호가 바뀔 수 있습니다. 부호는 선택한 IV 입력이 상승할 때 국소 Vomma가 어떻게 변하는지만 말하며 강세·약세 신호가 아닙니다.
## 유한차분 예시
주가 `$110`, 행사가 `$100`, 잔존기간 6개월, 연속복리 무위험금리 `4%`, 무배당인 유럽형 Call을 Black-Scholes 가정으로 평가합니다. IV `29%`, `30%`, `31%`에서 각각 재평가합니다.
작은 변동성 범프로 2차 미분을 추정했을 때, 소수 변동성 제곱당 Vomma가 IV `29%`에서 약 `26.22`, `31%`에서 약 `21.65`라고 가정합니다. `30%` 부근의 중앙차분은 다음과 같습니다.
`Ultima ≈ (21.65 − 26.22) ÷ (0.31 − 0.29) = −228.5`
이 규약에서는 주당·소수 변동성 세제곱당 약 `−228.5`달러입니다. 이를 100만으로 나누면 주당·변동성 포인트 세제곱당 약 `−0.0002285`달러입니다. 음수는 이 입력 부근에서 IV가 상승하면 국소 Vomma가 감소한다는 뜻입니다.
이는 모형 단위 검산이지 거래 예측이 아닙니다. 범프 크기, 미국형 행사, 배당, IV 표면, 반올림 또는 다른 모형은 결과를 바꿀 수 있습니다. 표준 100주 승수는 표시된 Greek이 주당 수치임을 확인한 뒤 적용해야 합니다.
## 위험과 실무 통제
- 주가, 행사가, 정확한 만기 시각, 행사 방식, IV 표면, 금리, 배당, 차입, 모형, 범프 크기 및 단위를 함께 기록합니다.
- IV를 위아래로 움직여 Vomma를 다시 계산하고 전체 소수 변동성 간격으로 나누어 표시된 울티마를 검증합니다.
- 여러 범프 크기를 시험합니다. 결과가 크게 바뀌면 수치 잡음 또는 불안정한 국소 근사일 수 있습니다.
- 모든 레그를 같은 규약으로 통일한 뒤 `주당 Greek × 부호 있는 계약 수 × 승수`로 합산합니다.
- 변동성 표면 전체가 평행 이동한다고 가정하지 말고 행사가와 만기별로 충격을 적용합니다.
- 큰 움직임, 이벤트, 단기 옵션, 깊은 내가격·외가격 또는 조기행사 특성이 있는 포지션은 전체 재평가합니다.
- Bid/Ask 스프레드, 유동성, 배정, 증거금 및 이산적 헤지를 포함합니다. 수학적 정밀도가 체결 가능성을 뜻하지 않습니다.
- 모형 간 차이를 불확실성으로 취급합니다. 고차 미분은 가격, 곡선, 배당 및 표면 보간의 작은 오류를 증폭합니다.
## 흔한 오해
- **“울티마는 IV의 변화율이다.”** 가정한 IV 변화에 대한 Vomma의 민감도이며 IV 예측이 아닙니다.
- **“울티마가 음수면 옵션을 매도해야 한다.”** 부호는 모형의 국소 곡률을 설명할 뿐 기대수익을 뜻하지 않습니다.
- **“울티마가 Vega와 Vomma를 대체한다.”** 추가 항일 뿐이며 작은 변화에서는 보통 1차와 2차 위험이 지배적입니다.
- **“두 플랫폼의 값을 바로 비교할 수 있다.”** 소수와 포인트, 주당과 계약당, 모형 및 범프 방식이 다를 수 있습니다.
- **“울티마 하나가 포트폴리오를 요약한다.”** 행사가와 만기마다 표면 충격이 달라질 수 있어 순노출이 작아도 개별 레그 위험은 클 수 있습니다.
- **“고차 Greek을 추가하면 모형 위험이 사라진다.”** 고차 미분은 더 불안정하고 입력 및 수치 오류에 더 민감할 수 있습니다.
## 관련 주제
- [Charm, Vanna 및 Vomma](/ko/options/charm-vanna-vomma/)
- [Vega](/ko/options/vega/)
- [내재변동성](/ko/options/implied-volatility/)
- [옵션 모형 위험](/ko/options/option-model-risk/)
## 권위 있는 출처
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) — Fischer Black, Myron Scholes
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/1831029) — Robert C. Merton
- [Vega](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/vega) — Options Industry Council
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — Options Clearing Corporation