# 분산스왑 복제: 옵션 스트립에서 분산 익스포저로
여러 행사가의 외가격 옵션이 로그계약과 공정분산을 근사하는 원리, 가중치 계산, 이산화와 꼬리 절단 오차를 설명합니다.
표준 URL: https://wiki.fcontext.com/ko/options/variance-swap-replication/
사실 확인일: 2026-07-22
> 교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다
## 직접 답변
**분산스왑 복제**는 실현 수익률 분산을 로그 지급, 동적으로 조정하는 선도 또는 기초자산 포지션, 현금으로 구성된 조합과 연결합니다. 만기 로그 지급은 연속적인 행사가의 유럽형 Call과 Put으로 표현할 수 있어 옵션 스트립으로 공정분산을 근사할 수 있습니다.
핵심은 “모든 옵션을 사면 분산이 생긴다”가 아닙니다. 이상적 가정에서는 기준 행사가 아래의 외가격 Put과 위의 외가격 Call을 `1/K²`에 비례하도록 가중합니다. 옵션 스트립은 만기 볼록성을 제공하고 경로 중 동적 거래가 그 지급을 실현분산과 연결합니다.
실제 시장에는 이산 행사가, 유한한 꼬리, Bid/Ask, 이산 헤지 및 계약별 결제만 있습니다. 따라서 복제·체결 위험이 있는 근사이며 보장된 차익거래가 아닙니다.
## 로그계약에서 옵션 스트립으로
연속 확산 가격의 로그에 이토 공식을 적용하면 누적 제곱수익률을 동적 거래와 만기 로그 지급에 연결할 수 있습니다. 정적 복제 항등식은 충분히 매끄러운 만기 지급을 현금, 선도, 전체 행사가의 옵션으로 분해합니다. 로그 지급의 옵션 밀도는 `1/K²`로 조정됩니다.
널리 쓰이는 이산 공정분산 근사는 다음과 같습니다.
`σ² ≈ (2/T) × Σᵢ [ΔKᵢ/Kᵢ² × e^(RT) × Q(Kᵢ)] − (1/T) × (F/K₀ − 1)²`
`T`는 만기까지의 연수, `F`는 옵션 내재 선도가격, `K₀`는 `F` 이하의 첫 행사가, `R`은 동일 만기 무위험금리, `Q(Kᵢ)`는 선택 옵션 가격입니다. Cboe 방식은 `KᵢK₀`에 OTM Call, `K₀`에서 Put과 Call의 평균을 씁니다. 내부 행사가의 `ΔKᵢ=(Kᵢ₊₁−Kᵢ₋₁)/2`이고 끝점은 인접 간격을 사용합니다.
`1/K²`는 가중치의 한 요소일 뿐입니다. `ΔK`, 기간, 금리, 가격, 선도 보정 및 선택 규칙도 필요합니다. 결과는 연율 분산이며, 비음수이고 규약이 일치할 때만 제곱근에 100을 곱해 변동성 형태로 표시할 수 있습니다.
VIX 방법은 분산스왑 수학과 관련된 관찰 가능한 구현이지만 VIX 자체는 정해진 옵션 선택, 보간, 시간 및 공표 규칙을 가진 지수입니다. 모든 장외 분산스왑이나 그 실현 레그와 동일하지 않습니다.
## 단일 행사가 기여 예시
30일 스트립의 OTM Put 하나를 봅니다. `T=30/365`, `R=4%`, 행사가 `K=90`, 인접 행사가 간격 `ΔK=5`, 선택 가격 `Q(K)=$0.60`(지수 단위당)이라고 가정합니다. 선행 연율화 계수를 포함한 합계 기여는:
`(2/T) × (ΔK/K²) × e^(RT) × Q(K)`
`= [2/(30/365)] × (5/90²) × e^(0.04×30/365) × 0.60 ≈ 0.00904`
1분산 베이시스포인트가 `0.0001`이므로 약 `90.4`분산bp입니다. 이는 전체 공정분산이 아니며 `√0.00904≈9.51%`도 스트립의 최종 변동성이 아닙니다. 모든 대상 행사가를 더한 뒤 선도 보정 항을 빼야 합니다.
오래된 Ask 때문에 선택 가격이 `$0.60`이 아니라 `$0.90`이라면 이 Put의 계산 기여는 50% 늘어난 약 `0.01356`입니다. 공식이 맞아도 깊은 꼬리 호가, 선택 규칙 및 유동성이 추정치에 큰 영향을 줍니다.
상장 주식 옵션 프리미엄은 보통 주당 표시되고 표준계약은 일반적으로 100주입니다. 이 현금 변환은 정규화된 지수·분산 공식과 별개입니다. 방법론이 요구하지 않는 한 승수를 공식에 넣지 않습니다.
## 복제 차이와 통제
- Call, Put, 선도, 금리 및 시각을 같은 만기와 관찰 시점에서 가져옵니다. 비동기 호가는 거짓 표면을 만듭니다.
- 현물로 기계적으로 대체하지 말고 일관된 문서화 방식으로 `F`와 `K₀`를 구합니다.
- 행사가 선택, 제로 Bid, 중간값, 끝점 및 보간 규칙을 정확히 적용합니다.
- Bid와 Ask를 모두 확인합니다. 매끄러운 중간값 계산은 모든 레그의 동시 체결을 보장하지 않습니다.
- 꼬리 절단을 정량화합니다. 낮은 행사가 Put과 높은 행사가 Call의 누락은 이론적 연속체를 불완전하게 합니다.
- 여러 행사가 격자와 호가 필터로 이산화 및 오래된 가격 민감도를 검사합니다.
- 실현분산 정의를 맞춥니다. 로그·단순수익률, 달력, 표본 빈도, 연율화, 시장중단 및 결제가를 확인합니다.
- 연속경로 항등식에는 점프·이산표본 오차가 생기며 동적 헤지에는 갭, 유동성 및 비용 위험이 있습니다.
- 기업행동, 배당, 미국형 행사, 결제방식, 세금, 증거금 및 계약조정은 이상적인 유럽형 도출과 차이를 만듭니다.
- 분산 명목금액은 비선형 달러 익스포저를 만들 수 있습니다. 지급 상한, 분산 행사가, 명목 규약 및 결제조건을 확인합니다.
## 흔한 오해
- **“`1/K²`만으로 가중치가 정해진다.”** `ΔK`, 가격, 할인, 기간, 선택 및 선도 보정도 필요합니다.
- **“등가격 옵션만 분산을 결정한다.”** 광범위한 OTM Put과 Call을 사용합니다.
- **“옵션 스트립만으로 실현분산을 정확히 지급한다.”** 이론 항등식에는 동적 거래와 현금 항도 있습니다.
- **“VIX는 분산스왑이다.”** 자체 방법론을 가진 지수이며 계약 지급과 실현 레그는 따로 확인합니다.
- **“먼 행사가 옵션은 저렴하므로 무시해도 된다.”** 꼬리는 극단 상태를 표현하고 절단은 오차를 만듭니다.
- **“모형 독립적 공식에는 가정이 없다.”** 특정 모형 의존성을 줄여도 시장, 경로, 표본 및 구현 조건에 의존합니다.
- **“스프레드시트가 맞으면 헤지를 체결할 수 있다.”** 스프레드, 오래된 호가, 부분체결, 증거금 및 재조정 비용이 남습니다.
## 관련 주제
- [분산 위험 프리미엄](/ko/options/variance-risk-premium/)
- [내재변동성](/ko/options/implied-volatility/)
- [내재변동성과 실현변동성](/ko/options/iv-and-rv/)
- [옵션 모형 위험](/ko/options/option-model-risk/)
## 권위 있는 출처
- [A Guide to Volatility and Variance Swaps](https://doi.org/10.3905/jod.1999.319129) — Kresimir Demeterfi, Emanuel Derman, Michael Kamal, Joseph Zou
- [Variance Risk Premiums](https://doi.org/10.1093/rfs/hhn038) — Peter Carr, Liuren Wu
- [Cboe Volatility Index Mathematics Methodology](https://cdn.cboe.com/resources/indices/Cboe_Volatility_Index_Mathematics_Methodology.pdf) — Cboe Global Indices
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — Options Clearing Corporation