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title: "Precificação binomial de opções: replicação, carregamento, exercício antecipado e convergência"
description: "Construa e valide uma árvore recombinante, separe carregamento e desconto, replique valores nos nós e controle exercício antecipado, convergência e limites de execução."
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# Precificação binomial de opções: replicação, carregamento, exercício antecipado e convergência

> Somente para fins educacionais; não constitui recomendação de investimento. Investir pode resultar em perdas.

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## Resposta direta

Um modelo binomial avalia uma opção em uma grade de estados discretos; não prevê que o ativo subjacente fará literalmente apenas dois movimentos. Em cada nó, aplica um fator de alta `u` ou de baixa `d`, calcula os fluxos contratuais terminais e trabalha de trás para frente até hoje. Sob um mercado completo com um único fator de risco, o mesmo valor no nó pode ser conferido por uma carteira local de ações e caixa que o replica.

Para um passo de duração `Delta t`, separe o fator de crescimento do financiamento `B = exp(r Delta t)` do fator de crescimento do carregamento do subjacente `G = exp((r - q) Delta t)`. Com rendimento proporcional contínuo `q`, o peso de precificação sem arbitragem é

`p = (G - d) / (u - d)`, sujeito a `d < G < u`.

A continuação europeia é `V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B`. Em um nó no qual o titular pode exercer, o valor americano ou bermudense é `V = max(H,C)`, em que `H` é o valor de exercício imediato e `C` é o valor de continuação. O modelo produz valor por unidade do subjacente; multiplicador, quantidade, liquidação oficial, preços executáveis, tarifas, margem e crédito permanecem separados.

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## Mecanismo

1. **Fixe o direito e o relógio.** Registre subjacente e série exatos, call ou put, preço de exercício, horário de avaliação, vencimento e contagem de dias, datas e estilo de exercício, liquidação oficial, multiplicador, entregável, moeda, dividendos, aluguel, ajustes e unidades de saída.
2. **Escolha e documente a grade.** Defina `N`, `Delta t = T / N` e uma parametrização. A escolha CRR comum é `u = exp(sigma sqrt(Delta t))` e `d = 1 / u`; outras árvores podem casar momentos diferentes e convergir de modo distinto.
3. **Separe carregamento e desconto.** Construa `B = exp(r Delta t)` com a taxa zero coerente com o modelo e `G = exp((r - q) Delta t)` com o carregamento contínuo; então calcule `p = (G - d) / (u - d)`. Um dividendo em dinheiro conhecido exige tratamento explícito no nó ex-dividendo e pode romper a recombinação simples.
4. **Construa estados e direitos terminais.** Em árvore recombinante de fatores constantes, `S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)`. Aplique a regra contratual de call, put, caixa, entrega física ou ajustada, barreira, média ou outra regra terminal à variável oficial; dependência de trajetória exige estado adicional.
5. **Retroceda e teste o exercício.** Desconte o valor neutro ao risco dos filhos em cada nó. Para direitos europeus, use continuação; para americanos, compare `H` e `C` em cada data permitida; para bermudenses, compare apenas nas datas contratuais e respeite aviso e liquidação.
6. **Valide replicação e cálculo.** Em cada nó de um passo, calcule `Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)` e a posição de caixa `b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]`. Confira pagamentos por estado, limites, paridade, duplicação de passos, oscilação par-ímpar, outras árvores, código independente e fronteira de exercício.
7. **Leve a saída do modelo à conta.** Calibre curvas, dividendos, aluguel e superfície preço de exercício-vencimento; converta valor unitário pelo multiplicador e quantidade reais; compare bid e ask executáveis; estresse hedge discreto, gaps, custos, liquidez, margem, atribuição, liquidação, tributos e versão do modelo.

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## Exemplos resolvidos

- **Replicação de um período.** Seja `S0 = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05`, e uma call europeia com `K = $100`. Então `p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625`; os pagamentos são `$20/$0`; e `C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762`. A replicação dá `Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50` e `b = -$38.095238`. A carteira paga `$60 - $40 = $20` na alta e `$40 - $40 = $0` na baixa; o custo inicial é `$50 - $38.095238 = $11.904762`.
- **Put americana e exercício antecipado.** Use árvore de dois passos com `S0 = $100`, `K = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05`; logo `p = 0.625`. Os pagamentos terminais da put para `$144/$96/$64` são `$0/$4/$36`. No primeiro nó de alta, continuação é `[0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571`, acima do intrínseco `$0`. No nó de baixa, é `[0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095`, abaixo do exercício imediato `$20`, portanto exerce-se. O valor americano é `$7.993197`, o europeu `$6.292517` e o prêmio discreto de exercício antecipado `$1.700680`.
- **Carregamento e convergência não monotônica.** Seja `S0 = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5%` com capitalização contínua, rendimento contínuo `q = 2%` e `sigma = 20%` anualizada. Com CRR, a call europeia vale `$11.073541` com um passo, `$8.342293` com dois, `$9.855621` com três, `$8.760327` com quatro e, com `64` passos, `$9.196691`, aproximando-se do valor Black-Scholes-Merton coerente de `$9.227006`. Mais passos melhoram o limite do modelo, mas não precisam mover-se monotonicamente nem corrigem fluxos errados.
- **Valor do modelo versus dólares executáveis.** Reutilize o valor por ação `$11.904762`, mas suponha mercado executável `$11.60 bid / $12.20 ask`. Comprar um contrato padrão com `M = 100` e `Q = 1` custa `$12.20 x 100 = $1,220`, frente ao valor de modelo `$11.904762 x 100 = $1,190.4762`, diferença de `$29.5238` antes de tarifas. Vender imediatamente no bid devolve `$11.60 x 100 = $1,160`, perda de ida e volta de `$60`. O `Delta = 0.50` equivale a `50` ações com esse multiplicador, mas rebalanceamento discreto, gaps, aluguel e execução impedem garantir a replicação.

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## Lista de verificação do modelo e ciclo de vida

- Confira subjacente, raiz, call ou put, preço de exercício, vencimento, estilo de exercício, liquidação, multiplicador, moeda e entregável exatos.
- Fixe horário de avaliação, calendário, fuso, fração anual, passos, datas dos nós e tratamento de dias úteis.
- Declare a parametrização e se seus momentos, carregamento, skew ou outros alvos coincidem com o modelo pretendido.
- Mantenha `B` para desconto separado de `G` para carregamento quando importarem dividendos, taxas estrangeiras, rendimento de conveniência ou aluguel.
- Exija `d < G < u`; se `p` ficar fora de `[0,1]`, falha a configuração sem arbitragem, não se trata de probabilidade prevista.
- Separe rendimento contínuo `q` de distribuições conhecidas discretas, especiais, incertas ou dependentes de trajetória.
- Verifique pagamento terminal contra liquidação oficial, entrega financeira ou física, contratos ajustados e eventos societários.
- Adicione estado suficiente para barreiras, médias, lookbacks, múltiplos ativos, volatilidade ou taxas estocásticas, crédito e demais dependências.
- Aplique exercício antecipado somente ao titular do direito contratual e em datas válidas antes dos prazos de aviso.
- Diferencie conjuntos de oportunidades americano, bermudense e europeu de liquidação financeira, física ou por futuros.
- Registre cada nó em que `H` supera `C` e teste a sensibilidade da fronteira a dividendos, taxas, aluguel e parâmetros numéricos.
- Verifique replicação nodal e pagamentos quando os pressupostos implicarem completude; não suponha hedge contínuo sem custo na prática.
- Confira limites sem arbitragem, paridade, monotonicidade, convexidade e casos-limite antes de confiar no preço.
- Compare vários números de passos, sequências pares e ímpares, duplicação, outras parametrizações e implementação independente.
- Não trate oscilação, decimais estáveis ou concordância entre rotas de código relacionadas como prova de exatidão.
- Calibre toda a superfície e curvas relevantes; uma volatilidade histórica ou cotação ATM não é universal.
- Separe valor do modelo, midpoint teórico, marca da bolsa, liquidação oficial, bid executável, ask executável e preço de liquidação.
- Converta saídas unitárias com multiplicador e quantidade reais; contratos ajustados ou não padrão podem não usar `100`.
- Estresse bid-ask, execuções parciais, momento do hedge discreto, saltos, suspensões, liquidez, financiamento, aluguel, margem, atribuição e liquidação da corretora.
- Preserve entradas, fonte de dados, versão de dividendos e eventos societários, código e solver, evidência de convergência, aprovações, despesas, tributos e conciliação final.

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## Equívocos comuns

- **"A probabilidade neutra ao risco prevê o próximo movimento."** `p` é peso de precificação coerente com ativos negociáveis e hipóteses sem arbitragem, não previsão física.
- **"O fator livre de risco sempre entra nas duas fórmulas."** O desconto usa `B` e o peso do subjacente usa o fator de carregamento `G`; coincidem apenas no caso simplificado sem rendimento.
- **"Mais passos garantem preço correto."** Refinamento trata apenas a discretização de um modelo; pode oscilar e não corrige dividendos, volatilidade, liquidação ou exercício incorretos.
- **"O valor americano é o europeu mais um prêmio fixo."** O valor de exercício antecipado depende de estado, data, taxas, dividendos, aluguel e modelo e pode ser zero.
- **"A replicação torna o preço da tela livre de risco."** A prova supõe completude e ausência de fricção; persistem spreads executáveis, hedges discretos, gaps, financiamento, margem, tributos e liquidação.

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## Tópicos relacionados

- [Opções americanas e europeias](/pt-br/options/american-and-european/)
- [Modelo Black-Scholes](/pt-br/options/black-scholes-model/)
- [Volatilidade implícita](/pt-br/options/implied-volatility/)

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## Fontes autorizadas

- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier; estabelece replicação discreta CRR e o arcabouço neutro ao risco sob suas hipóteses, não entradas atuais nem preço executável.
- [Two-State Option Pricing](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x) - Wiley; desenvolve precificação em dois estados, não afirma que preços reais tenham só dois resultados nem que todo mercado incompleto tenha preço único.
- [Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence](https://doi.org/10.1080/13504869600000015) - Taylor & Francis; fundamenta oscilação, parametrização e convergência nos modelos estudados, não limites universais de erro.
- [Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models](https://doi.org/10.1016/S0165-1889(98)00019-0) - Elsevier; fundamenta convergência da put americana e limites de aceleração nas árvores analisadas, não todos os produtos ou preços.
- [American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods](https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211) - Oxford University Press; fundamenta limites e comparações sob hipóteses específicas, não política de exercício da corretora nem exatidão garantida.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation; cobre direitos, exercício, atribuição, liquidação, ajustes e riscos, não calibração binomial nem recomendação.
- [Industry Services](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/industry-services) - The Options Clearing Corporation; documenta uma variação CRR própria para determinados serviços de delta, não a implementação deste artigo nem preço universal.
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Global Markets; oferece ferramentas educacionais atuais de preço teórico e gregas, não cotação executável, validação independente ou garantia de hipóteses contratuais.

Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/binomial-option-pricing/index.mdx