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title: "Fórmula de Breeden-Litzenberger: densidade neutra ao risco dos preços das opções"
description: "Extraia probabilidades de cauda descontadas e densidade neutra ao risco dos preços das opções europeias enquanto controla grades de strike, arbitragem, suavização e risco de dados."
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# Fórmula de Breeden-Litzenberger: densidade neutra ao risco dos preços das opções
> Somente para fins educacionais; não constitui aconselhamento de investimento. Investir pode resultar em perdas.
## Resposta direta
Para um vencimento, seja `C(K,T)` o preço no tempo zero por unidade subjacente de uma opção de compra europeia suficientemente regular, seja `D(0,T)` o fator de desconto e seja `Q^T` a medida de preço associada a esse numerário. Sob condições de liquidação combinada e sem arbitragem,
`-partial C(K,T) / partial K = D(0,T) x Q^T(S_T > K)`
`partial^2 C(K,T) / partial K^2 = D(0,T) x f_Q(K)`
em pontos de continuidade. Assim `f_Q(K) = [1 / D(0,T)] x partial^2 C / partial K^2`. A primeira derivada é um valor de chamada digital com desconto e a segunda derivada é uma densidade com desconto, não uma previsão objetiva. Se a distribuição terminal tiver um átomo, a derivada pode saltar e essa massa de probabilidade não é representada por uma densidade suave comum no ponto.
## Mecanismo
1. **Fixe o direito e o cronograma.** Faça corresponder subjacente, vencimento, exercício europeu, liquidação financeira ou física, multiplicador, `S_T` oficial, timestamp da cotação, sessão, moeda e estado das ações corporativas. Preços de opções americanas ou com liquidação incompatível não podem ser inseridos sem ajuste.
2. **Normalizar contratos a termo e descontos.** Estime `D(0,T)`, o contrato a termo, dividendos, empréstimos e qualquer convenção de quanto ou de futuros. Converta opções de venda em opções de compra sintéticas apenas por meio de paridade de opção de venda e opção de compra e mantenha o preço da opção por unidade subjacente separado dos dólares do contrato.
3. **Limpe a seção transversal de strikes.** Use bid, ask, tamanho exibido e condições executáveis sincronizados; remova erros evidentes e observações obsoletas ou cruzadas. Imponha preços de call decrescentes, convexidade, limites plausíveis e consistência entre vencimentos antes de diferenciar.
4. **Ajuste uma curva com reconhecimento de arbitragem.** Escolha se deseja ajustar preços, volatilidade implícita, preços digitais ou densidade; documentar nós, pesos, regularização, extrapolação e condições de contorno. Uma curva suave é um estimador, não uma verdade observada.
5. **Diferencie usando a grade real.** Para espaçamento igual `h`, use `[C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)] / h^2`. Para vizinhos desiguais `K_- < K < K_+`, use `2 x {[(C_+ - C) / (K_+ - K)] - [(C - C_-) / (K - K_-)]} / (K_+ - K_-)`. Não aplique a fórmula da grade uniforme a strikes irregulares.
6. **Valide as restrições de distribuição.** Verifique a densidade não negativa, a massa total, o primeiro momento consistente para frente, a reprecificação de chamadas, a sensibilidade de compra e venda, a massa da cauda e a estabilidade nas opções de suavização. Distinguir uma densidade contínua de átomos discretos e suporte de ataque truncado.
7. **Verifique e interprete com cautela.** Armazene o instantâneo da cadeia, decisões de limpeza, curvas, código, solucionador e faixas de confiança ou sensibilidade. Compare as distribuições físicas e neutras ao risco apenas através de um núcleo de preços explícito ou de uma estrutura de prémio de risco; não rotule a curva extraída como uma previsão de mercado.
## Exemplos trabalhados
- **Estimativa de densidade de grade igual.** As chamadas europeias sincronizadas com uma expiração têm `C(95) = $8.20`, `C(100) = $5.00` e `C(105) = $2.80`. Com `h = $5`, a curvatura com desconto em 100 é `[$8.20 - 2 x $5.00 + $2.80] / $5^2 = $1.00 / 25 = 0.04 per dollar`. Se `D(0,T) = 1`, a estimativa de densidade local neutra ao risco é `0.04 per dollar`; não é uma probabilidade `4%` exatamente 100.
- **Spread vertical e probabilidade média de cauda.** De `C(100) = $5.00` e `C(105) = $2.80`, a inclinação secante negativa é `($5.00 - $2.80) / $5 = 0.44`. Ela equivale à média descontada de `Q^T(S_T > K)` entre os strikes 100 e 105. Se `D(0,T) = 0.98`, a probabilidade média correspondente de cauda neutra ao risco é `0.44 / 0.98 = 44.897959%`; não é automaticamente a probabilidade de cauda em nenhum dos extremos.
- **Espaçamento desigual entre strikes.** Seja `K_- = 95`, `K = 100`, `K_+ = 107`, com `C_- = $8.20`, `C = $5.00` e `C_+ = $2.20`. A inclinação esquerda é `($5.00 - $8.20) / 5 = -0.64`, a inclinação direita é `($2.20 - $5.00) / 7 = -0.40` e a curvatura da grade desigual é `2 x [-0.40 - (-0.64)] / 12 = 0.04 per dollar`. O denominador de grade uniforme estaria errado aqui.
- **Diagnóstico de borboleta negativa.** Com strikes igualmente espaçados em 95/100/105 e preços `$8.20`, `$5.60` e `$2.80`, o numerador é `$8.20 - 2 x $5.60 + $2.80 = -$0.20`, então a curvatura é `-$0.20 / 25 = -0.008 per dollar`. Comprar as asas e vender duas calls centrais produz payoff terminal não negativo enquanto recebe `$0.20` por unidade, ou `$20` em `M = 100`, antes dos custos. Isso só constitui arbitragem executável se as cotações estiverem sincronizadas, todas as pernas forem executadas e financiamento, taxas, exercício, liquidação e outros atritos não eliminarem a vantagem.
## Lista de verificação de extração e validação
- Combine um vencimento exato, subjacente, estilo de exercício, convenção de liquidação, moeda, multiplicador e fonte oficial do terminal.
- Use opção sincronizada e carimbos de data/hora subjacentes; cotações de locais separados, dados consolidados, últimas negociações e marcas teóricas.
- Registrar lance, pedido, tamanho exibido, status cruzado ou bloqueado, sinalizadores obsoletos e condições de pacote executável.
- Converter os prémios contratuais em preços por unidade subjacente antes de contratar derivados de exercício.
- Estime o fator de desconto correspondente ao vencimento em vez de inserir um rendimento nominal ou uma taxa curta não relacionada.
- Reconcilie termos a termo, dividendos, empréstimos, liquidação de futuros, câmbio e quanto antes da conversão de opção de venda.
- Aplicar paridade apenas a reivindicações europeias correspondentes e reter resíduos de conversão como diagnósticos de qualidade de dados.
- Aplicar limites de preço de chamada, monotonicidade, convexidade e restrições de calendário apropriadas antes da extração.
- Use a grade de ataque real; não aplique diferenças de espaçamento igual a intervalos desiguais.
- Trate as primeiras diferenças como médias de intervalo, e não como probabilidades digitais exatas de ponto final.
- Distinguir unidades de densidade, como probabilidade por dólar, de massa de probabilidade integrada.
- Preservar átomos, saltos nos preços digitais e descontinuidades de liquidação específicas de contratos, em vez de suavizá-los silenciosamente.
- Relate o domínio de ajuste, nós, pesos, penalidade, extrapolação e suposições de limites.
- O espaço de preços de estresse se ajusta às alternativas de espaço de volatilidade, espaço digital e densidade direta.
- Repita a extração em conjuntos de dados bid, midpoint, ask e perturbados porque as segundas derivadas ampliam o ruído.
- Verifique a não-negatividade, a massa total próxima da unidade, a média consistente direta e a reprecificação das chamadas observadas dentro das tolerâncias.
- Trate a falta de strikes nas caudas profundas como extrapolação dependente do modelo e relate a massa de cauda omitida.
- Não interprete momentos neutros ao risco como expectativas físicas sem um modelo explícito de prémio de risco.
- Separe a arbitragem estática teórica dos preenchimentos executáveis, taxas, financiamento, margem, exercício e risco de liquidação.
- Arquivar dados brutos, correções, código, configurações do solucionador, versão de saída, revisão e diagnóstico de incertezas.
## Equívocos comuns
- **"A densidade é a previsão objetiva do mercado."** É uma distribuição sob a medida de apreçamento que incorpora preços de estado e prêmios de risco.
- **"Uma densidade de 0,04 significa uma chance de 4% nesse preço exato."** A densidade tem unidades de preço inverso e deve ser integrada em um intervalo.
- **"Diferenças brutas de ponto médio revelam a verdadeira distribuição."** Assincronia, spreads, strikes esparsos e diferenciação numérica podem dominar a curvatura.
- **"O recorte da densidade negativa resolve o problema."** O recorte ad hoc pode ocultar violações de arbitragem e destruir restrições de reprecificação, massa ou média.
- **"A fórmula se aplica inalterada a todas as cadeias de opções."** Exercício americano, dividendos discretos, contratos ajustados, convenções de futuros, átomos e regras de liquidação exigem tratamento explícito.
## Tópicos relacionados
- [Volatilidade Implícita](/pt-br/options/implied-volatility/)
- [Modelo Black-Scholes](/pt-br/options/black-scholes-model/)
- [Cadeia de opções](/pt-br/options/option-chain/)
## Fontes confiáveis
- [Preços de Créditos Contingentes Estatais Implícitos em Preços de Opções](https://doi.org/10.1086/296025) - University of Chicago Press; estabelece a relação estado-preço sob seus pressupostos, e não um procedimento empírico de limpeza ou execução.
- [Distribuições de probabilidade implícitas em opções e retornos em excesso de moeda](https://resources.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/staff_reports/sr32.pdf) - Federal Reserve Bank of New York; deriva e aplica densidades implícitas em opções, com escolhas de modelos e dados em vez de regras contratuais de produtos.
- [Gerando Densidades de Probabilidade Implícitas em Opções para Compreender Eventos do Mercado de Petróleo](https://www.federalreserve.gov/econres/ifdp/generating-options-implied-probability-densities-to-understand-oil-market-events.htm) - Conselho de Governadores do Sistema da Reserva Federal; compara a extração semiparamétrica e a robustez para opções de petróleo, não uma calibração de patrimônio universal.
- [Recuperação de distribuições de probabilidade de preços de opções](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1996.tb05219.x) - Wiley; apoia a recuperação suave e restrita dos preços das opções sob a sua amostra e método, e não uma distribuição implícita única.
- [Estimativa Não Paramétrica de Densidades de Preços Estaduais Implícitas em Preços de Ativos Financeiros](https://doi.org/10.1111/0022-1082.215228) - Wiley; apoia a estimativa não paramétrica do preço do estado sob suposições declaradas, e não a diferenciação bruta sem largura de banda ou risco de amostragem.
- [Preços de opções não paramétricas sob restrições de formato](https://doi.org/10.1016/S0304-4076(03)00102-7) - Elsevier; suporta restrições de monotonicidade e convexidade, não uma garantia de que as cotações limpas sejam executáveis.
- [Características e Riscos das Opções Padronizadas](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation; cobre direitos de opção padronizados, exercício, liquidação e riscos, não estimativa de densidade ou reivindicações sob medida.
- [Especificações de produto de opções de índice S&P 500](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - Cboe Global Markets; estabelece campos de exercício, multiplicador, negociação e liquidação específicos do SPX, e não termos para cada cadeia de opções.
Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/breeden-litzenberger-formula/index.mdx