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title: "Color: sensibilidade local da Gamma ao tempo"
description: "Define Color com sinais explícitos para tempo de calendário e tempo restante, deriva uma referência Black-Scholes, normaliza unidades, valida diferenças finitas, agrega posições e controla o risco de modelo."
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# Color: sensibilidade local da Gamma ao tempo

> Apenas para fins educacionais; não constitui aconselhamento de investimento. Investir pode resultar em perdas.

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## Resposta direta

**Color** é o termo usado no mercado para a sensibilidade local da Gamma à passagem do tempo. Trata-se de uma terceira derivada de uma função de precificação específica, e não de um campo padronizado por bolsa, previsão da Gamma de amanhã, ordem de hedge ou resultado financeiro. Dois fornecedores podem divulgar sinais opostos ou fatores de `252`, `365`, do preço do ativo subjacente ou do multiplicador do contrato e ainda assim ser internamente coerentes.

Seja `t` o tempo de calendário, `T` o instante exato de vencimento e `τ=T−t` o tempo restante. Para o valor da opção `V(S,σ,τ,…)`, `Δ=∂V/∂S` e `Γ=∂²V/∂S²=∂Δ/∂S`. A convenção de tempo restante define `Color_τ=∂Γ/∂τ`; a de tempo de calendário define `Color_t=∂Γ/∂t=−Color_τ`, mantendo constantes o spot, as coordenadas da superfície de volatilidade, taxas, dividendos, custo de empréstimo e todas as demais entradas do modelo.

A Gamma bruta é a mudança da Delta por uma unidade de preço do subjacente. Uma tela de “Gamma por movimento de 1% do spot” a escala para `0.01SΓ`. Color herda a unidade da Gamma por unidade de tempo declarada. Antes de comparar ou agregar, é necessário normalizar convenções por ação, por ponto, por contrato, moeda, Gamma monetária, anual, diária ACT/365 e de 252 pregões. Se o fornecedor já apresentar Color diário, dividi-lo novamente pela base de dias é um erro.

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## Como calcular e controlar

1. Fixe o direito e o estado exatos: série, call ou put, quantidade comprada ou vendida, multiplicador, entregável, moeda, `S`, `K`, `T` exato, estilo de exercício, liquidação, taxas, dividendos contínuos ou discretos, empréstimo, superfície de volatilidade, modelo, instante de calibração e versão.
2. Declare coordenadas e unidades antes do número: Delta baseada em spot ou forward, Gamma bruta por unidade de preço ou Gamma escalada por movimento percentual, tempo de calendário `t` ou restante `τ`, fração de ano e tipo de dia, exposição por ação ou por contrato e qualquer convenção de Gamma monetária, inclusive se contém `1/2`.
3. Para uma referência europeia de Black-Scholes-Merton com rendimento contínuo de dividendos `y`, defina `d₁=[ln(S/K)+(r−y+σ²/2)τ]/(σ√τ)` e `Γ=e^(−yτ)φ(d₁)/(Sσ√τ)`.
4. Nessa referência, `∂d₁/∂τ=[(r−y+σ²/2)τ−ln(S/K)]/(2στ^(3/2))` e `Color_τ=Γ[−y−d₁(∂d₁/∂τ)−1/(2τ)]`; depois inverta o sinal para `Color_t`. Essa forma fechada não rege exercício americano, dividendos discretos, saltos, volatilidade estocástica nem superfícies proprietárias.
5. Valide com deslocamentos de data centrados: estime `Color_τ≈[Γ(τ+h)−Γ(τ−h)]/(2h)`, repita com `h` menor e compare com um avanço real de um dia no relógio. Controle erros de truncamento, cancelamento, grade, calibração, feriados, dias parciais e proximidade do vencimento.
6. Normalize cada série e então multiplique pela quantidade de contratos com sinal e pelo multiplicador efetivo. Compense apenas moedas, coordenadas, vencimentos, superfícies, modelos, estilos e liquidações compatíveis; a ação em si tem Gamma e Color iguais a zero, embora possa proteger Delta.
7. Reprecifique integralmente cenários de spot, nível de IV, inclinação, estrutura a termo, taxas, dividendos, empréstimo, tempo, saltos, exercício e liquidação. Concilie o resultado do modelo com bid-ask executável, tamanho discreto do hedge, liquidez, tarifas, execuções reais, eventos do ciclo de vida e Greeks após o choque, em vez de extrapolar Color.

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## Exemplos resolvidos

- **Sinal analítico e relógio.** Para uma opção europeia com `S=K=100`, `r=5%`, `y=2%`, `σ=20%` e `τ=0.5`, `d₁=0.176776695297` e `Γ=0.027495794412`. Os resultados analíticos são `Color_τ=−0.028904953876/year` e `Color_t=+0.028904953876/year`; em ACT/365, o Color diário local é `+0.000079191654/day`. Os sinais diferem apenas porque `τ` diminui quando `t` avança.
- **Diferença centrada e erro de passo finito.** Na mesma referência, com `h=1/365`, `Γ(τ+h)=0.027416921734`, `Γ(τ)=0.027495794412` e `Γ(τ−h)=0.027575307959`. A estimativa centrada é `[Γ(τ+h)−Γ(τ−h)]/(2h)=−0.028905485995/year`, apenas `−0.000000532119/year` distante do `Color_τ` analítico. Avançar um dia inteiro altera a Gamma em `+0.000079513547`, e não exatamente pelo valor local `+0.000079191654`; o movimento finito unilateral inclui truncamento e curvatura.
- **Color pode inverter o sinal e posições precisam de sinal.** Com `S=80`, `K=100`, `r=3%`, `y=1%`, `σ=25%` e `τ=0.25`, `d₁=−1.682648410514`, `Γ=0.009660822757`, `Color_τ=+0.041952095723/year` e, portanto, `Color_t=−0.041952095723/year` ou `−0.000114937249/day`. Uma reprecificação completa em um dia gera `Γ=0.009545008312`, mudança efetiva de `−0.000115814445`. A Gamma perto do vencimento nem sempre aumenta, e uma posição vendida inverte todas as contribuições com sinal.
- **A extrapolação linear falha perto do vencimento.** Para `S=K=100`, `r=3%`, `y=1%`, `σ=25%` e `τ=10/365`, a Gamma inicial é `Γ₀=0.096326878660`, `Color_t=1.760952872868/year` e o Color local ACT/365 é `0.004824528419/day`. Após um dia inteiro, a Gamma é `0.101546073059`, mudança de `+0.005219194399`. Após cinco dias, é `0.136284663571`, mudança efetiva de `+0.039957784911`, enquanto cinco vezes o Color diário inicial prevê apenas `+0.024122642094`. A derivada local atribui sensibilidade no estado inicial; não prevê uma trajetória de vários dias.

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## Lista de controle de modelo, unidades e execução

- Confirme a série, o instante de avaliação, o instante de vencimento e a fração de dia restante.
- Declare o sinal da posição; contratos comprados e vendidos invertem o mesmo Greek por opção.
- Diferencie `t` de `τ` e registre qual direção define Color positivo.
- Declare ACT/365, ACT/252, dia de pregão, dia de calendário ou outra convenção de fração de ano.
- Evite dupla conversão anual-diária e aplicação incorreta em fins de semana ou feriados.
- Diferencie coordenadas spot e forward e registre eventual convenção de Delta ajustada pelo prêmio.
- Separe Gamma por movimento de `$1` de `0.01SΓ` por movimento de `1%` do spot.
- Defina explicitamente Gamma monetária, inclusive se a tela usa `ΓS²`, `ΓS²/100`, `ΓS²/10000` ou um fator `1/2`.
- Separe unidade do subjacente, ponto, contrato, quantidade com sinal, multiplicador e entregável ajustado.
- Normalize moeda, conversão cambial, tratamento quanto e unidades de cotação contratual.
- Fixe ou especifique sticky-strike, sticky-delta ou outra regra de movimento da superfície de volatilidade.
- Submeta a estresse nível de IV, inclinação, estrutura a termo e mudanças de calibração ou extrapolação.
- Concilie taxas, dividendos contínuos ou discretos, distribuições, empréstimo e eventos societários.
- Use modelo compatível com o exercício para direitos americanos e teste fronteiras de exercício antecipado.
- Diferencie liquidação financeira de física e modele a posição após exercício ou designação.
- Compare deslocamentos centrados e unilaterais, varie `h` e detecte truncamento e cancelamento numérico.
- Refine grades de árvore, PDE, quadratura ou simulação perto do vencimento e de fronteiras não suaves do payoff.
- Não compense cegamente vencimentos, superfícies, modelos, estilos, liquidações, moedas ou instantes incompatíveis ou desatualizados.
- Reprecifique integralmente saltos, gaps, eventos, mudanças de trajetória e vários dias em vez de extrapolar Color local.
- Inclua largura bid-ask, liquidez, contratos discretos de hedge, tarifas, reservas de modelo, execução e operações do ciclo de vida.

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## Equívocos comuns

- Color positivo garante que a Gamma será maior amanhã.
- Color é Theta ou a perda temporal do preço da opção.
- Toda call ou put comprada tem o mesmo sinal de Color e campos de fornecedores dispensam normalização.
- Multiplicar Color diário por dias prevê a Gamma futura ou a quantidade de hedge.
- Um Greek de ordem superior mais preciso garante hedge executável ou resultado certo.

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## Tópicos relacionados

- [Delta e Gamma](/pt-br/options/delta-and-gamma/)
- [Charm, Vanna e Vomma](/pt-br/options/charm-vanna-vomma/)
- [Theta](/pt-br/options/theta/)

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## Fontes autorizadas

- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - JSTOR
- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier
- [FX Greeks](https://doi.org/10.1002/wilm.10733) - Wilmott Magazine Ltd
- [DLMF §3.4 Differentiation](https://dlmf.nist.gov/3.4) - National Institute of Standards and Technology
- [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council
- [Hanweck Implied Volatility and Greeks](https://www.cboe.com/services/analytics/hanweck/implied_volatility/) - Cboe Global Markets
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation

Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/color-greek/index.mdx