--- title: "Aproximação Delta-Gamma: P&L local, unidades e reprecificação" description: "Estime mudanças locais de valor de opções e carteiras com Delta e Gamma com sinal, Gamma cruzada, unidades compatíveis, verificações por diferenças finitas e controles de reprecificação completa." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Aproximação Delta-Gamma: P&L local, unidades e reprecificação > Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas. ## Resposta direta Para um valor de modelo `V_i(S, x)` em uma marca temporal e um estado de modelo fixos, a **aproximação Delta-Gamma** de um fator é `ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²`. Aqui, `Delta_i = ∂V_i / ∂S`, `Gamma_i = ∂²V_i / ∂S²` e `ΔS` é um movimento absoluto na mesma coordenada de preço do subjacente usada pelas derivadas. A fórmula é uma estimativa de Taylor local de segunda ordem da mudança no valor do modelo. Não é previsão, probabilidade, P&L executável nem substituto da reprecificação completa. Sua interpretação exige o direito exato, posição com sinal, multiplicador, moeda, coordenada, superfície de volatilidade, tempo, taxas, dividendos, empréstimo, modelo de exercício, liquidação e escala do fornecedor.
Curva do valor de uma opção com uma tangente Delta e uma correção de curvatura Gamma Curva do valor de uma opção com uma tangente Delta e uma correção de curvatura Gamma
A estimativa Delta-Gamma é local; a reprecificação completa controla um cenário finito.
## Registro da aproximação com sinal e unidades consistentes Seja `q_i` a quantidade de contratos de opções com sinal, positiva em posições compradas e negativa em vendidas; `M_i` o multiplicador de prêmio compatível; e `h` as unidades do subjacente com sinal. Para direitos sobre uma coordenada de preço compatível, a Delta da posição é `D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i`, a Gamma da posição é `G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i`, e a estimativa local da posição é `ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)²`. Uma ação contribui com Delta `+1` por unidade comprada e Gamma `0`. 1. Fixe cada série exata, marca temporal, sinal da posição, quantidade, multiplicador, entregável, moeda, estilo de exercício, método de liquidação, coordenada de preço e versão do modelo. Símbolos semelhantes não tornam direitos compatíveis. 2. Congele o estado do modelo e a convenção do choque: spot ou forward, taxas, dividendos, empréstimo, tempo exato até o vencimento, superfície de volatilidade, regra sticky-strike ou sticky-delta e tratamento de eventos discretos. Um movimento simultâneo do tempo ou da volatilidade não é um cenário Delta-Gamma spot puro. 3. Normalize cada perna para gregas compatíveis por unidade. Diferencie Delta spot, forward, de futuros, ajustada pelo prêmio e cash; Gamma por `$1`, ponto de índice, ponto de futuro ou `1% spot move`; e valores do fornecedor que já podem incluir quantidade ou multiplicador. 4. Agregue com `q_i × M_i` com sinal e só então adicione separadamente o hedge do subjacente. Não compense moedas, coordenadas, vencimentos, tipos de liquidação ou superfícies calibradas de forma independente e incompatíveis apenas porque um painel mostra um único número. 5. Para vários fatores de risco `x`, use a forma de gradiente e hessiana `ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx`. Em uma hessiana simétrica, o par fora da diagonal é contado duas vezes dentro da forma quadrática; portanto, sua contribuição simplificada é `Gamma_AB × ΔA × ΔB`, não zero nem duas vezes esse valor novamente. 6. Valide as gregas de modelos suaves com perturbações centradas: `Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε)` e `Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε²`. Varie `ε` para revelar efeitos de truncamento, cancelamento, grade e recalibração da superfície. 7. Reprecifique completamente cada perna em cenários finitos e concilie o residual. Para negociar, substitua marcas de modelo por preços bid-ask executáveis e inclua execuções, tarifas, slippage do hedge, empréstimo, dividendos, atribuição, exercício, fluxos de liquidação, impostos e gregas após o choque. Adicionar `Vega × ΔIV` ou `Theta × Δt` só é válido depois de definir as unidades de volatilidade e tempo e a direção da derivada temporal. Ainda pode omitir Vanna, Vomma, Charm, mudanças de forma do skew, termos cruzados e ordens superiores. Dividir um choque grande em etapas só ajuda quando todo o estado e as gregas são atualizados; continua sendo aproximação e pode depender da trajetória. ## Exemplos resolvidos - **Uma call versus reprecificação completa.** Uma call europeia tem `S = 100`, `K = 100`, `r = 4%`, rendimento contínuo `y = 1%`, `σ = 25%` e `τ = 0.5`. Uma referência Black-Scholes fornece `V_0 = 7.7215522303`, `Delta_i = 0.5659323171` e `Gamma_i = 0.0221205770`. Para `ΔS = +5`, o termo Delta é `2.8296615855`, o termo Gamma é `0.2765072125` e a estimativa é `ΔV_DG = 3.1061687980`, de modo que o valor estimado é `10.8277210283`. A reprecificação completa com a mesma volatilidade implícita fornece `V_1 = 10.8172471731`, mudança `3.0956949428` e residual `full − DG = −0.0104738552` por ação ou `−$1.047386` por `M = 100`. Se a volatilidade implícita final for `30%`, o valor completo será `12.1628459929` e a mudança total `4.4412937626`; a estimativa spot original omite `1.3351249646` de mudança de estado e interação. - **Posição vendida com sinal.** Seis calls vendidas têm `q = −6`, `M = 100`, `Delta_i = 0.55` e `Gamma_i = 0.04`, portanto `D_pos = −330 shares` e `G_pos = −24 shares per $1`. Para `ΔS = +2`, os termos Delta e Gamma são `−$660` e `−$48`, total `−$708`, e a Delta atualizada é próxima de `−378 shares`. Para `ΔS = −2`, são `+$660` e `−$48`, total `+$612`, e a Delta atualizada é próxima de `−282 shares`. Gamma negativa torna negativa a contribuição da curvatura nas duas direções; não torna o P&L total simétrico. - **Opções mais hedge em ações.** Mantenha quatro calls com `Delta_i = 0.35` e `Gamma_i = 0.025`, venda três puts com `Delta_i = −0.40` e `Gamma_i = 0.030`, use `M = 100` e venda `200 shares`. A Delta das opções é `+140 + 120 = +260 shares`; a líquida é `D_pos = +60 shares`. A Gamma é `+10 − 9 = +1 share per $1`. Para `ΔS = +5`, a estimativa da posição é `60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50`, e a Delta atualizada é próxima de `+65 shares`. A atribuição por perna é `+$825.00` das calls, `+$487.50` das puts e `−$1,000` das ações, conciliando com `+$312.50`. - **Gamma cruzada de dois fatores.** Suponha `ΔA = +2`, `ΔB = −3`, `Delta_A = 120`, `Delta_B = −80`, `Gamma_AA = 4`, `Gamma_BB = 2` e `Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5` simétricas, tudo já em unidades compatíveis de posição e moeda. O termo linear é `120 × 2 + (−80) × (−3) = 480`; a curvatura diagonal é `½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17`; e o termo cruzado simplificado é `1.5 × 2 × (−3) = −9`. O total é `488`. Omitir Gamma cruzada dá `497`; multiplicar o termo cruzado simplificado por dois novamente dá `479`. ## Riscos e controles - Série, símbolo-raiz, vencimento, strike, tipo de opção ou entregável incorretos invalidam a aproximação. - Omitir o sinal da posição inverte Delta, Gamma, direção do hedge e atribuição. - Quantidade de contratos e multiplicador de prêmio podem ser contados duas vezes ou omitidos. - Contratos ajustados, opções sobre futuros e gregas agregadas pelo fornecedor podem usar unidades não padronizadas. - Coordenadas spot, forward, de futuros, log-preço, ajustada pelo prêmio e cash não são intercambiáveis. - Um choque absoluto de preço difere de um choque percentual ou de desvio-padrão. - Moeda e conversão cambial podem tornar inconsistentes gregas aparentemente comparáveis. - Marcas temporais diferentes ou marcas defasadas do subjacente, superfície e opção criam compensação falsa. - Regras sticky-strike, sticky-delta, skew e estrutura a termo alteram a sensibilidade medida. - Taxas, dividendos, empréstimo, financiamento e horário exato do vencimento afetam valores e gregas. - Termos de tempo e volatilidade podem ter sinais opostos ou fatores de 100 em unidades diferentes do fornecedor. - Exercício americano e dividendos discretos criam limites ausentes de uma fórmula europeia suave. - Direitos digitais, com barreira e outros descontínuos podem ter Gamma instável ou semelhante a uma distribuição. - Perto do vencimento, Gamma e diferenças finitas podem depender muito do strike e da grade. - Choques grandes revelam ordens terceira e superiores omitidas pelas gregas iniciais fixas. - Saltos, gaps e interrupções contornam as premissas de rebalanceamento local contínuo. - Gamma cruzada, correlação e mapeamento de fatores podem ser omitidos ou contados duas vezes em carteiras multiativos. - Perturbações de diferenças finitas muito grandes acrescentam erro de truncamento; as minúsculas acrescentam ruído de cancelamento. - Marcas e gregas de modelo não garantem preços executáveis, tamanho ou liquidez do hedge. - Hedge dinâmico, tarifas, impacto, empréstimo, atribuição, liquidação, versões do modelo e registros da corretora exigem conciliação final. ## Erros comuns - “O termo Gamma é `Gamma_i × (ΔS)²`.” O coeficiente de Taylor é `½`. - “Gamma positiva garante lucro nas duas direções.” Ela melhora localmente o valor em relação à tangente; Delta, prêmio, tempo, volatilidade, custos e trajetória continuam relevantes. - “Delta-neutral significa sem risco.” Elimina um termo atual de primeira ordem, não Gamma, Vega, Theta, saltos, base, liquidez ou risco de modelo. - “Adicionar qualquer Vega e Theta exibidas completa a estimativa de P&L.” Unidades, direção da derivada, sensibilidades cruzadas, mudanças da superfície e ordens superiores também devem coincidir. - “Gregas precisas ou pequenos passos repetidos substituem a reprecificação completa.” Melhoram a atribuição, mas cenários finitos, execução e ciclo de vida ainda exigem avaliação e conciliação completas. ## Tópicos relacionados - [Delta e Gamma](/pt-br/options/delta-and-gamma/) - [Charm, Vanna e Vomma](/pt-br/options/charm-vanna-vomma/) - [Posições Delta-neutras](/pt-br/options/delta-neutral/) ## Fontes autorizadas - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/delta-gamma-approximation/index.mdx