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title: "Volatilidade local de Dupire: de uma superfície de opções a uma difusão"
description: "Audite a volatilidade local de Dupire em coordenadas de preço, forward e variância total, com controles de ajuste sem arbitragem, estabilidade de derivadas, reprecificação e modelo dinâmico."
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# Volatilidade local de Dupire: de uma superfície de opções a uma difusão

> Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

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## Resposta direta

A **volatilidade local de Dupire** é um coeficiente de difusão instantânea determinístico `σ_loc(S,t)`, inferido de uma superfície suficientemente suave e livre de arbitragem de preços de opções europeias. Sob o modelo neutro ao risco escolhido para o custo de carregamento, ela constrói uma difusão cujas distribuições marginais em cada instante reproduzem os preços atuais das opções vanilla em diferentes preços de exercício e vencimentos.

Trata-se de um resultado de calibração, não da volatilidade implícita no mesmo preço de exercício, de uma previsão da volatilidade realizada ou de uma prova de que o mercado segue uma única lei de trajetórias de volatilidade local. A reprecificação exata das opções vanilla pode coexistir com dinâmicas futuras do sorriso, preços de barreiras, resultados de hedge e comportamento de saltos incorretos.

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## Modelo, coordenadas e processo de controle

1. Fixe o payoff europeu exato, o ativo subjacente, o valor de liquidação, o horário da cotação, a moeda, as unidades do preço de exercício e do vencimento e o instante de avaliação. O valor de exercício antecipado de opções americanas e os saltos de dividendos discretos exigem uma europeização explícita ou outro modelo.
2. Construa os dados determinísticos de desconto e carregamento: `D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du)`, `D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du)` e `F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T)`. Concilie os forwards com a paridade put-call sincronizada, sem misturar observações defasadas de ações, opções, taxas ou dividendos.
3. Depure as cotações de compra e venda, rejeite mercados obsoletos ou cruzados e converta puts e calls de forma coerente. Imponha limites verticais, preços de calls decrescentes e convexos, densidade não negativa e consistência entre vencimentos em uma única coordenada de desconto e forward antes de diferenciar.
4. Ajuste uma superfície suave de preços ou variância total com regras declaradas de interpolação e extrapolação nas asas e no tempo. Para calls europeias descontadas ao tempo zero `C(K,T)` e taxas instantâneas determinísticas `r(T)` e `q(T)`, a fórmula em coordenadas de preço é `σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK]`, em que `C_T` mantém `K` fixo e `C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0`.
5. Associe cada derivada à sua coordenada. Com `k=K/F(T)` e a call normalizada `c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T))`, tem-se `σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk)`. Com log-moneyness forward `y=ln(K/F(T))` e variância implícita total `w(y,T)=σ_BS²(y,T)T`, defina `g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2` e use `σ_loc²=w_T|y/g`. Exija `w_T|y≥0` e `g>0`: derivadas com `K`, `k` e `y` fixos não são intercambiáveis.
6. Rejeite, em vez de impor silenciosamente um piso, a variância local negativa ou instável. Perturbe cotações, forwards, dividendos, nós, interpolação, grades e fronteiras; depois reprece as opções de calibração e de validação por meio de implementações de densidade forward ou PDE backward e Monte Carlo.
7. Compare barreiras, outros direitos dependentes da trajetória e o P/L do hedge sob volatilidade local, volatilidade estocástica e cenários com saltos. Registre a versão das cotações, os filtros, as curvas, os parâmetros da superfície, o esquema de derivação, os nós com falha, a extrapolação, as tolerâncias do solver e as mudanças de recalibração.

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## Quatro exemplos desenvolvidos

- **Uma superfície plana de Black-Scholes recupera seu parâmetro de entrada.** Sejam `S₀=K=100`, `T=0.5`, `r=4%`, `q=1%` e `σ_BS=25%`. A superfície exata fornece `C=7.721552230288`, `C_K=−0.488716794830`, `C_KK=0.022120576997` e `C_T=8.301615173889`. O numerador é `6.912680311701` e o denominador é `110.602884987209`; portanto, `σ_loc²=0.0625` e `σ_loc=25%`.
- **As segundas derivadas amplificam pequenos erros de preço.** Na mesma superfície plana, as calls com preços de exercício `99/100/101` valem `8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654`. Com espaçamento `h=$1`, a estimativa central é `C_KK≈0.022115059190`, resultando em `σ_loc≈25.0031186%` com as demais derivadas exatas. Elevar apenas a call central em `$0.01` muda a estimativa para `C_KK≈0.002115059190` e `σ_loc≈80.8494317%`; elevá-la em `$0.05` produz `C_KK≈−0.077884940810` e `σ_loc²≈−0.017751006138`, um resultado inválido, não uma previsão de volatilidade.
- **A normalização forward exige uma derivada temporal com `k` fixo.** Sejam `D_d=0.98`, `F=102`, `k=1`, `c=0.08`, `c_T|k=0.032` e `c_kk=3.20`. Então `C=7.9968`, `C_KK=0.030745098039`, o numerador em coordenadas de preço é `3.19872` e o denominador é `159.936`. Ambas as fórmulas fornecem `σ_loc²=0.020000000000` e `σ_loc=14.1421356237%`. Uma derivada temporal tomada com preço de exercício fixo não pode ser inserida como `c_T|k` sem o termo de conversão de coordenadas.
- **O denominador da variância total é um diagnóstico de arbitragem.** Em `y=−0.1`, sejam `w=0.04`, `w_y=−0.10`, `w_yy=0.50` e `w_T|y=0.02`. Então `g=0.9525`, `σ_loc²=0.020997375328` e `σ_loc=14.4904711200%`. Se apenas `w_yy` mudar para `−1.50`, então `g=−0.0475` e a fórmula produzirá `σ_loc²=−0.421052631579`; a superfície ou o nó ajustado deve ser rejeitado ou reparado, não truncado e apresentado como calibrado.

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## Lista de verificação da calibração

- O valor de exercício de uma opção americana pode contaminar uma superfície tratada como europeia.
- Dividendos discretos ou incertos violam uma difusão suave com rendimento contínuo nas datas dos eventos.
- Curvas de juros, capitalização, convenções de contagem de dias e horários de vencimento podem ser inconsistentes.
- As coordenadas de spot, preço de exercício, forward, log-moneyness e prêmio normalizado podem ser misturadas.
- As cotações podem estar obsoletas, ser assíncronas, estar cruzadas ou corresponder a tamanhos incompatíveis.
- Pontos médios não são executáveis e podem ocultar mercados amplos ou unilaterais.
- A paridade put-call e os forwards inferidos podem ser afetados por empréstimo de ações, dividendos ou diferenças de horário.
- Os limites verticais e a monotonicidade das calls podem falhar antes do ajuste da superfície.
- A convexidade de borboleta e as condições de densidade positiva podem falhar localmente ou nas asas.
- As condições de calendário devem ser testadas em coordenadas coerentes de desconto e forward.
- Vencimentos curtos e preços de exercício esparsos tornam as derivadas instáveis.
- A extrapolação de asas e vencimentos longos pode dominar a avaliação de produtos exóticos.
- Diferenças finitas, splines e diferenciação automática podem amplificar o ruído de formas distintas.
- Uma densidade próxima de zero torna mal condicionado o denominador da variância local.
- Um numerador ou uma variância local negativos indicam dados inconsistentes, arbitragem ou problemas numéricos.
- Truncamentos ou pisos silenciosos podem ocultar uma calibração malsucedida e distorcer a reprecificação.
- Implementações por PDE, densidade, Monte Carlo, grade e fronteira podem divergir.
- Ajustar distribuições marginais de um único instante não determina o sorriso futuro nem a dinâmica das trajetórias.
- Saltos, volatilidade estocástica, barreiras e hedge discreto criam risco de modelo residual.
- A versão dos dados, os filtros, as versões dos parâmetros, os nós com falha e a recalibração exigem governança.

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## Erros comuns

- “A volatilidade local é a volatilidade implícita no mesmo preço de exercício.” São objetos diferentes, ligados pela superfície completa.
- “Uma superfície de aparência suave deve gerar volatilidade local estável.” A suavidade, por si só, não garante ausência de arbitragem nem derivadas bem condicionadas.
- “A reprecificação exata das opções vanilla prova que os preços e os hedges de exóticos estão corretos.” Ela valida distribuições marginais estáticas, não a dinâmica verdadeira.
- “A variância local negativa é informação de mercado.” Em geral, ela diagnostica cotações, arbitragem, coordenadas, interpolação ou cálculos numéricos inconsistentes.
- “A superfície de hoje prevê de forma única a volatilidade realizada ou o processo verdadeiro.” Muitas dinâmicas podem compartilhar as mesmas distribuições vanilla em cada instante.

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## Tópicos relacionados

- [Volatilidade implícita](/pt-br/options/implied-volatility/)
- [Arbitragem de borboleta](/pt-br/options/butterfly-arbitrage/)
- [Arbitragem de calendário](/pt-br/options/calendar-arbitrage/)

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## Fontes primárias e autorizadas

- [Pricing with a smile](https://www.risk.net/derivatives/equity-derivatives/1500211/pricing-with-a-smile)
- [Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices](https://doi.org/10.1086/296025)
- [Mimicking the one-dimensional marginal distributions of processes having an Itô differential](https://doi.org/10.1007/BF00699039)
- [Arbitrage-free SVI volatility surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986)
- [Volatility Interpolation](https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1694972)
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)

Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/dupire-local-volatility/index.mdx