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title: "Opções de troca: precificação de Margrabe e risco de valor relativo"
description: "Avalie uma opção de troca com quantidades explícitas, carry, volatilidade e correlação e controle liquidação, execução e risco de contraparte."
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# Opções de troca: precificação de Margrabe e risco de valor relativo

> Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

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## Resposta direta

Uma **opção de troca** confere ao titular o direito, mas não a obrigação, de entregar uma quantidade especificada de um ativo e receber uma quantidade especificada de outro. Se o direito entrega `a` unidades do ativo 1 contra `b` unidades do ativo 2 em `T`, seu payoff em moeda comum é `max(a x S1(T) - b x S2(T), 0)`. Relação de troca, identidade dos ativos, moeda, fixing e entregável são dados contratuais, não um multiplicador a inferir depois.

A fórmula de Margrabe precifica um direito europeu restrito, sem strike em dinheiro, sob ativos conjuntamente lognormais, carry proporcional determinístico, volatilidades e correlação constantes, negociação contínua e replicação sem fricções. É uma referência de modelo, não cotação executável, garantia de hedge, contrato listado padronizado nem valor de encerramento bilateral.

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## Construir o direito e o modelo

1. Escreva payoff exato, quantidades, moeda comum de avaliação, estilo de exercício, fixing, liquidação e regras de eventos societários. Não dependa do rótulo “opção de troca”.
2. No modelo básico, defina `X1 = a x S1` e `X2 = b x S2`. Fixe spots sincronizados, yields contínuos `q1` e `q2`, volatilidades anualizadas `sigma1` e `sigma2`, correlação de retornos `rho` e fração anual `T`.
3. Calcule a volatilidade relativa como `sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2)`. Confira covariâncias, unidades, instante e consistência semidefinida positiva.
4. Precifique o direito europeu com `V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2)`, onde `d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T))` e `d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T)`.
5. Reprecifique nas duas superfícies de volatilidade, correlação, carry, saltos e liquidez. Uma `rho` menor normalmente eleva `sigmaR` e o valor vanilla, mas correlação histórica isolada não é entrada negociável nem distribuição conjunta completa.
6. Mapeie o direito do modelo para o instrumento real. Contratos listados, FLEX e OTC bilaterais podem diferir em multiplicador, exercício, liquidação física ou financeira, fixing, colateral, close-out, netting, disputas e contraparte.
7. Registre lados executáveis de entrada e saída, custos, hedges, funding, colateral, distribuições, caixa ou inventário de liquidação e resíduos de marcação. Reconcilie confirmação jurídica e caixa, sem tratar o mark do modelo como P/L realizado.

A ausência de taxa livre de risco explícita na fórmula elementar decorre do numerário, não prova que o financiamento seja irrelevante. Forwards, distribuições, aluguel, remuneração do colateral, conversão cambial, spreads de funding e close-out afetam a operação. Se os ativos usam moedas diferentes, defina antes a moeda de liquidação e a conversão FX ou regra quanto; subtrair preços em moedas diferentes não faz sentido.

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## Quatro exemplos completos

- **Valor um por um.** Com `S1=$110`, `S2=$100`, `a=b=1`, `T=0.5`, `sigma1=30%`, `sigma2=20%`, `rho=0.50` e `q1=q2=0`, temos `sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%`, `d1=0.6029957751` e `d2=0.4159129058`. O valor é `$13.815554` por direito, ante o intrínseco atual `max(110-100,0)=$10`. São resultados do modelo, não oferta.
- **As quantidades entram no modelo.** Um direito troca `b=200` ações do ativo 2 por `a=150` do ativo 1. Com `S1=$80`, `S2=$55`, `T=0.75`, `sigma1=28%`, `sigma2=22%`, `rho=0.35`, `q1=1%` e `q2=3%`, os valores atuais são `X1=$12,000` e `X2=$11,000`. A volatilidade relativa é `28.9274955708%`; `d1=0.5324591424`, `d2=0.2819396820` e o valor cerca de `$1,799.02` por direito. Trocar as quantidades por um suposto multiplicador de `100` ações altera o direito.
- **Correlação é exposição de modelo.** No primeiro exemplo, com `rho=0.90`, `sigmaR=14.8323969742%` e valor próximo de `$11.086226`; com `rho=-0.50`, `sigmaR=43.5889894354%` e valor próximo de `$18.464726`. A diferença não prevê que a correlação realizada seguirá qualquer entrada. Superfícies, saltos, carry e hedge podem dominar.
- **Liquidação e execução são livros separados.** Três direitos trocam cada um `80` ações do ativo 2 por `50` do ativo 1. Com fixings `S1=$140` e `S2=$80`, cada payoff é `max(50x140-80x80,0)=$600`: liquidação financeira de `$1,800`; a física exige entregar `240` ações do ativo 2 e receber `150` do ativo 1. Outra cláusula válida com `S1=$138.50` e `S2=$80.40` gera `3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479`, ou `$321` menos. O mark do dealer não substitui o fixing contratual.

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## Fluxo de sete etapas e controles

- Ativo, classe, índice, moeda ou emissor jurídico incorreto.
- Direção, sinal, quantidade, relação, multiplicador ou entregável incorreto.
- Payoff em moedas incompatíveis sem regra FX ou quanto.
- Divergência em estilo, vencimento, fixing, fuso ou liquidação.
- Erro em evento societário, distribuição, dividendo especial, aluguel ou retenção tributária.
- Spots, forwards, curvas, superfícies ou FX defasados ou assíncronos.
- Erro em unidades de volatilidade, day count, retorno ou escala de covariância.
- Matriz de correlação inconsistente ou estimativa histórica instável.
- Correlação escalar oculta strike, prazo, regime e dependência de cauda.
- Falha de volatilidade/correlação constante ou lognormalidade.
- Saltos comuns ou idiossincráticos, defaults, suspensões e fechamentos.
- Delta relativa, Gamma cruzada, Vega, correlação e carry mudam juntos.
- Replicação contínua presumida através de gap, suspensão ou sessão ilíquida.
- Preço do modelo confundido com bid ou offer executável sincronizado.
- Especificações FLEX ou listadas generalizadas para direito bespoke de dois ativos.
- Divergência em confirmação OTC, colateral, netting, close-out ou disputa.
- Default da contraparte, wrong-way risk, lacuna de colateral ou recuperação incerta.
- Hedge parcial, risco de base, impacto, custos e funding assimétrico.
- Inventário físico, fixing financeiro, conversão FX e imposto sem reconciliação.
- Versão do modelo, vintage, confirmação, colateral e P/L final sem reconciliação.

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## Equívocos comuns

- “Opção de troca significa opção negociada em bolsa.” A primeira descreve payoff; a segunda, ambiente e estrutura de mercado.
- “A relação de troca pode ser aplicada depois da precificação.” Quantidades alteram o valor relativo atual e entram no logaritmo e nos dois termos descontados.
- “A taxa livre de risco desaparece, então funding não importa.” O cancelamento por numerário não elimina carry, colateral, aluguel, FX nem funding do dealer.
- “Correlação é diretamente observável e estável.” É estimada, depende do estado e é apenas parte da superfície conjunta e do risco de salto.
- “Um valor fechado é preço negociável de encerramento.” Execução, crédito, termos jurídicos, liquidez, hedge e disputas podem gerar outro valor.

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## Tópicos relacionados

- [Volatilidade implícita](/pt-br/options/implied-volatility/)
- [Correlação implícita](/pt-br/options/implied-correlation/)
- [Opções quanto](/pt-br/options/quanto-options/)

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## Fontes primárias

- [The Value of an Option to Exchange One Asset for Another](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1978.tb03397.x)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [FLEX Options](https://www.cboe.com/tradable-products/equity-indices/flex-options)
- [Equity FLEX Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable_products/equity_indices/flex_options/specifications)
- [Swap Trading Relationship Documentation Requirements for Swap Dealers and Major Swap Participants](https://www.cftc.gov/LawRegulation/FederalRegister/FinalRules/2012-21414)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)

Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/exchange-options/index.mdx