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title: "Risco Gamma: unidades, curvatura da posição, hedge e reprecificação completa"
description: "Audite unidades e sinais de Gamma, escala da posição, P/L Delta-Gamma local, convenções de Cash Gamma, hedge discreto, reprecificação completa e risco do ciclo de vida."
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# Risco Gamma: unidades, curvatura da posição, hedge e reprecificação completa

> Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

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## Resposta direta

Para um valor de opção `V(S,...)`, **Gamma** é a curvatura local `Gamma_i = partial Delta_i / partial S = partial^2 V_i / partial S^2`. Se Delta for medido em unidades do subjacente por unidade de opção e `S` em dólares, Gamma unitário é a mudança de Delta para um movimento de `$1` no subjacente. Uma posição com quantidade de contratos sinalizada `q`, multiplicador ou entregável `M` e hedge em ações `h` tem `Delta_pos = q x M x Delta_i + h` e `Gamma_pos = q x M x Gamma_i`.

Em opções vanilla comuns, Gamma unitário costuma ser positivo para uma opção comprada e passa a negativo quando se aplica o sinal de uma posição vendida. Essa regra não deve ser generalizada para toda exposição digital, de barreira, ajustada, path-dependent ou em fronteira de exercício. Aplique a direção apenas uma vez: se o feed já fornecer Gamma sinalizado e escalado para a posição, não multiplique novamente por `q` ou `M`.

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## Construção de um registro sinalizado de curvatura e hedge

1. Fixe a série exata, instante de avaliação, direção comprada ou vendida, quantidade, multiplicador, entregável vigente, moeda, estilo de exercício, método de liquidação e qualquer hedge em ações ou proxy.
2. Declare a coordenada de preço e as unidades: dólares spot, pontos de índice, pontos de futuros, movimento percentual, por ação, por contrato ou sensibilidade agregada da posição.
3. Congele spot, tempo, taxas, dividendos, custo de empréstimo, superfície de volatilidade e regra de dinâmica da superfície usada pelo modelo; Gamma não independe desses dados.
4. Calcule separadamente Delta e Gamma unitários e da posição sinalizada, preserve pernas brutas e líquidas e identifique se a plataforma já aplicou sinais, quantidade, multiplicador ou escala monetária.
5. Para um pequeno movimento com estado congelado, use `Delta_pos_new ~= Delta_pos_old + Gamma_pos x Delta S` e `Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2`; identifique os termos omitidos de Theta, Vega, carry, Greeks cruzados e custos.
6. Valide com diferenças finitas centradas, choques simétricos de alta e baixa, vários tamanhos de bump e reprecificação completa em cenários de spot, tempo, superfície, salto e liquidez; registre ordens de hedge e execuções reais.
7. Reconcilie opção, ações, caixa, dividendos, financiamento, empréstimo, custos de transação, margem, exercício, assignment, liquidação, taxas, tributos e o residual entre atribuição local e P/L realizado.

Os nomes Cash Gamma e Dollar Gamma não são padronizados. Uma definição comum é `CashGamma = Gamma_pos x S^2`; a mudança de Dollar Delta induzida por Gamma para um retorno `r_move` é `CashGamma x r_move`. Com Gamma constante, o P/L de segunda ordem desse movimento é `0.5 x CashGamma x r_move^2`. Um fornecedor pode incluir `0.5`, usar um choque de um ponto percentual ou reportar um valor de posição sinalizado; por isso, fórmula e unidades devem acompanhar o nome.

Uma posição Delta-neutra ainda tem risco Gamma: depois de um movimento, Delta reaparece localmente em aproximadamente `Gamma_pos x Delta S`. O rebalanceamento long Gamma pode vender após altas e comprar após quedas, mas a receita teórica de curvatura precisa superar Theta, reprecificação da volatilidade, spreads, impacto, financiamento e erros de hedge. Um gap com o mercado fechado não pode ser coberto continuamente.

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## Quatro exemplos desenvolvidos

- **Curvatura sinalizada da posição:** dez calls compradas têm `M = 100`, `Delta_i = 0.50` e `Gamma_i = 0.08 shares/$`. Assim, `Delta_pos = 500 shares` e `Gamma_pos = 80 shares/$`. Para `Delta S = +$2`, Delta estimado é `660 shares` e o P/L é `+$1,160`; para `Delta S = -$2`, Delta estimado é `340 shares` e o P/L é `-$840`. A curvatura contribui `+$160` em cada cenário, portanto sua soma pareada é `+$320`; os dois P/L totais diferem em `$2,000`.
- **Convenções de Cash Gamma:** cinco calls compradas têm `M = 100`, `Gamma_i = 0.08 shares/$` e `S = $100`. Logo, `Gamma_pos = 40 shares/$` e `CashGamma = $400,000`. Para um movimento de `1%`, o componente da mudança de Dollar Delta induzido por Gamma é `$4,000`, enquanto o P/L Gamma de segunda ordem é `0.5 x $400,000 x 0.01^2 = $20`. Para um movimento de `2%`, o P/L Gamma é `$80`. Um nome sem fórmula não revela qual número se pretende medir.
- **Gamma scalping discreto:** começa-se Delta-neutro com o pressuposto didático constante `Gamma_pos = 50 shares/$`. O caminho sobe `+$2`, é rehedgeado, cai `-$2` e é rehedgeado novamente. A contribuição local de Gamma é `$100` em cada trecho, ou `$200`; Theta é `-$120` e cada uma das duas operações de hedge custa `$15`. O resultado líquido é `$200 - $120 - $30 = $50`. Não é resultado garantido porque Gamma, fills, superfície e caminho foram simplificados.
- **Estimativa local versus reprecificação completa:** uma call europeia tem `S = $100`, `K = $100`, `r = 4%`, `q_div = 1%`, `sigma = 25%` e `tau = 0.5`. Black-Scholes fornece `V0 = $7.7215522303`, `Delta = 0.5659323171` e `Gamma = 0.0221205770`. Para `Delta S = +$5`, a estimativa de segunda ordem é `$3.1061687980`; a reprecificação completa com IV inalterada dá `$3.0956949428`, erro de `$0.0104738552/share` ou `$1.047386` com `M = 100`. Se a IV também subir para `30%`, a mudança total será `$4.4412937626`, que não pode ser atribuída apenas aos Delta e Gamma originais.

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## Falhas de controle do risco Gamma

- Sinais de posição comprada e vendida são omitidos ou aplicados duas vezes.
- Quantidade e multiplicador são omitidos, duplicados ou já estão incorporados na saída do fornecedor.
- Entregável ajustado ou valor monetário por ponto é tratado como multiplicador padrão de ações.
- Coordenadas spot, forward, de futuros, pontos de índice, moeda ou retorno são misturadas.
- Um movimento de `$1` é confundido com um de `1%`.
- Cash Gamma, Dollar Gamma, P/L Gamma e mudança de Dollar Delta são usados sem fórmulas.
- O fator de Taylor `0.5` é omitido ou aplicado duas vezes.
- Gamma unitário, por contrato e da posição são comparados sem normalização.
- Spot, tempo, taxas, dividendos, empréstimo ou dados do modelo estão defasados.
- Pressupostos sticky-strike, sticky-Delta e de outras dinâmicas da superfície são inconsistentes.
- Nível de IV, skew, estrutura a termo, Vanna, Volga e mudanças de Greeks cruzados são ignorados.
- Unidades de Theta ou o relógio intradiário e overnight exato estão errados.
- Um movimento amplo é avaliado com um único Gamma local inalterado.
- Um salto ou gap com mercado fechado é tratado como continuamente hedgeável.
- Exposição digital, de barreira, em fronteira American ou não suave é tratada como curvatura vanilla.
- Erros de bump, grade, interpolação ou solver de diferenças finitas contaminam Gamma.
- Latência do hedge, bid/ask, impacto, fills parciais, rejeições e taxas são omitidos.
- Restrições de venda a descoberto, empréstimo, dividendos ou risco de base do proxy impedem o hedge.
- Margem, poder de compra, liquidação compulsória, exercício, assignment ou settlement criam exposição adicional.
- Financiamento, tributos, caixa, ações, baixa das opções e residual de atribuição não são reconciliados.

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## Equívocos comuns

- "Gamma é a mudança do preço da opção." Delta é a sensibilidade de preço de primeira ordem; Gamma é a taxa local em que Delta muda.
- "Gamma alto prevê um grande movimento do mercado." Gamma é sensibilidade, não previsão direcional ou de volatilidade.
- "Long Gamma sempre lucra." A curvatura precisa superar Theta, reprecificação da volatilidade, spreads, impacto, financiamento e erros de hedge.
- "Delta-neutro significa livre de risco." Gamma recria Delta quando o spot se move, enquanto outros Greeks e riscos de ciclo de vida permanecem.
- "Um número Gamma funciona para um grande salto." É uma derivada local cujo estado do modelo e valor podem mudar fortemente durante o movimento.

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## Tópicos relacionados

- [Delta e Gamma](/pt-br/options/delta-and-gamma/)
- [Exposição Dollar Gamma](/pt-br/options/dollar-gamma-exposure/)
- [Gamma scalping](/pt-br/options/gamma-scalping/)

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## Fontes primárias e acadêmicas

- [Gamma](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/gamma)
- [Options Delta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/delta)
- [Theta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/theta)
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Option Pricing and Replication with Transactions Costs](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1985.tb02383.x)
- [When You Hedge Discretely: Optimization of Sharpe Ratio for Delta-Hedging Strategy under Discrete Hedging and Transaction Costs](https://doi.org/10.2139/ssrn.1865998)

Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/gamma-risk/index.mdx