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title: "Relação Gamma-Theta: unidades, carry, trajetórias e reprecificação integral"
description: "Audite Gamma e Theta com unidades de posição sinalizadas, convenções temporais explícitas, carry da PDE, registros de hedge executáveis, reprecificação integral e controles do ciclo de vida."
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# Relação Gamma-Theta: unidades, carry, trajetórias e reprecificação integral

> Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

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## Resposta direta

A **relação Gamma-Theta** é uma relação local de modelo, não um preço fixo da convexidade. Para uma quantidade sinalizada `q` e um multiplicador `M`, definem-se `Delta_pos = q x M x Delta`, `Gamma_pos = q x M x Gamma` e `Theta_pos = q x M x Theta`. O Gamma unitário deve indicar a unidade de preço do subjacente; Theta deve indicar se é anual, por dia corrido ou por dia útil.

Em calls e puts vanilla comuns compradas, Gamma costuma ser positivo e Theta negativo no modelo declarado. Essa intuição de sinais pode falhar em portfólios, payoffs exóticos, fronteiras de exercício ou diferentes regiões de mercado. O desempenho efetivo vem das marcações integrais das opções, estoque do hedge, caixa, carry e custos; a atribuição por gregas explica esse desempenho, mas não deve ser somada novamente.

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## Construir um registro Gamma-Theta consistente

1. Fixe cada série de opções, quantidade sinalizada, multiplicador, entregável, moeda, estilo de exercício, forma de liquidação, estoque existente do subjacente e meta de Delta.
2. Declare a fonte e a coordenada das gregas: por ação ou contrato, se já estão escaladas pela posição, unidade de preço spot de Gamma, convenção temporal de Theta e se Vega é por `1 vol point` ou por `1.00` de volatilidade.
3. Capture de forma sincronizada bid, ask e tamanho executáveis de opções e subjacente, além de spot, forward, superfície de volatilidade, taxas, dividendos, aluguel, FX, tempo até o vencimento e horários exatos.
4. Agregue uma única vez Delta, Gamma, Theta e Vega brutos e líquidos sinalizados. Para um estado local congelado, use `Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma`, com unidades e sinais compatíveis.
5. Trate o limiar local apenas como diagnóstico. Sob Black-Scholes e com rendimento contínuo de dividendos `q_div`, a identidade é `Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0`; portanto, financiamento e carry de dividendos integram a relação.
6. Faça reprecificação integral de spot, tempo, nível de volatilidade, skew, estrutura a termo, taxas, dividendos, gaps, tendências, oscilações e calendários alternativos de hedge. No hedge dinâmico, atualize ações e caixa apenas por execuções efetivas e separe o registro autofinanciado da atribuição por gregas.
7. Antes e depois do vencimento, concilie operações de encerramento, exercício, assignment, liquidação física ou financeira, entregáveis ajustados, ações residuais, desmontagem do hedge, financiamento, aluguel, dividendos, taxas, tributos e todo resíduo entre modelo e realidade.

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## Quatro exemplos detalhados

- **Limiar diário congelado com custos.** Um contrato comprado tem Gamma unitário `0.08 Delta/$/share`, Theta exibido `-$0.18/share/calendar day`, multiplicador `M = 100` e custos de ida e volta de `$4/contract`. O limiar local sem custos é `sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436`; alocar o custo de `$0.04/share` resulta em `sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799`. Um movimento de `$2` gera `$16 - $18 - $4 = -$6`; um de `$2.50` gera `$25 - $18 - $4 = +$3`. São diagnósticos de um período com gregas congeladas, não limiares executáveis nem pontos de equilíbrio no vencimento.
- **O carry da PDE não é apenas Gamma contra Theta.** Para uma call europeia com `S = K = $100`, `T = 0.5`, `r = 4%`, `q_div = 1%` e `sigma = 25%`, suponha `V = $7.721552230288`, `Delta = 0.565932317133`, `Gamma = 0.022120576997` e `Theta = -$8.301615173889/share/year`. O termo Gamma é `$6.912680311701/share/year`; o termo conjunto de financiamento e dividendos é `$1.388934862188/share/year`; juntos somam `$8.301615173889`, isto é, `-Theta`. Dividir por `365` resulta em cerca de `-$0.022744151161/share/calendar day`, mas a convenção diária de um fornecedor pode diferir.
- **Trajetória autofinanciada com execuções efetivas.** Uma posição com Gamma comprado e hedge de Delta começa e termina com spot em `$100`. Após uma alta, vende `100 shares` a `$101.95`; após a reversão, compra `100 shares` a `$100.05`. O caixa do hedge é `+$190`; as duas execuções custam `$10`; e a marcação integral das opções muda `-$150`. O P/L conjunto é `$190 - $10 - $150 = +$30`. Não se deve somar novamente um ganho idealizado de `$200` nem um termo Gamma local.
- **Gregas locais versus reprecificação integral.** Com os mesmos dados de modelo, após um dia corrido e movimento para `S_1 = $105`, os termos locais por ação são Delta `$2.829661585667`, Gamma `$0.276507212468` e Theta `-$0.022744151161`, totalizando `$3.083424646974`. O valor integral com volatilidade inalterada é `$10.794375525849`; a variação efetiva é `$3.072823295561` e o erro de Taylor, `$0.010601351413`. O hedge Delta inicial deixa `$0.243161709894/share`. Se a volatilidade subir para `30%`, o valor integral será `$12.136197003065`, a variação da opção `$4.414644772777` e o resultado coberto `$1.584983187110/share`; a diferença não é Gamma, Theta nem variância realizada puros.

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## Riscos de medição, execução e ciclo de vida

- Aplicar quantidade, sinal, multiplicador, entregável, valor por ponto ou conversão FX incorretos.
- Multiplicar outra vez um feed já escalado por contrato ou posição.
- Não definir a unidade de preço spot de Gamma ou misturar choques em dólares e percentuais.
- Misturar convenções anual, por dia corrido, dia útil, fim de semana e tempo até o vencimento para Theta.
- Multiplicar uma Vega por ponto de volatilidade por mudança decimal sem conversão.
- Tratar um hedge Delta inicial como neutro durante mudanças de spot e tempo.
- Extrapolar um Gamma local por grande movimento enquanto Speed e ordens superiores mudam.
- Supor Gamma e Theta constantes com alterações de spot, tempo e volatilidade.
- Omitir taxas, dividendos, aluguel, rendimento de conveniência e financiamento da opção na PDE.
- Usar a aproximação de Taylor fora do domínio local do modelo e das coordenadas.
- Somar atribuição por gregas à marcação integral e duplicar a variação.
- Tratar um choque de ponto final como trajetória com hedge dinâmico ou fluxo de gamma scalping.
- Misturar amostragem de variância realizada, bases anuais, retornos overnight e gaps.
- Tratar uma IV de entrada como variância paga ou condição suficiente de lucro.
- Ignorar nível de volatilidade, skew, estrutura a termo, Vanna, Volga, Charm e termos cruzados.
- Substituir cotações, tamanhos e execuções efetivas por midpoints ou valores teóricos.
- Ignorar execuções parciais, rejeições, latência, spread, impacto, taxas e gatilhos malsucedidos.
- Supor que gap, interrupção, sessão fechada ou stop preserva a trajetória modelada.
- Omitir margem, financiamento, dividendos, disponibilidade ou recall do aluguel e liquidação forçada.
- Omitir exercício antecipado, assignment, contratos ajustados, liquidação física ou financeira, estoque residual, tributos ou conciliação final.

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## Erros comuns

- **“Gamma alto, isoladamente, torna uma opção atraente.”** Preço, Theta, dinâmica da superfície, trajetória e custos executáveis ainda determinam o resultado.
- **“Theta positivo é juro diário ou renda gratuita.”** É uma derivada condicional do modelo acompanhada por outros riscos e termos de carry.
- **“Gamma e Theta são negociados a uma taxa fixa o dia todo.”** Ambos variam com o estado do modelo, a posição e a convenção temporal.
- **“O limiar local é o ponto de equilíbrio da operação ou do vencimento.”** Não é movimento implícito nem gatilho executável garantido.
- **“Hedge Delta ou prêmio limitado removem o risco.”** Permanecem gaps, reprecificação da volatilidade, liquidez, margem, assignment e perdas repetidas.

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## Tópicos relacionados

- [Risco Gamma](/pt-br/options/gamma-risk/)
- [Theta](/pt-br/options/theta/)
- [Gamma scalping](/pt-br/options/gamma-scalping/)

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## Fontes primárias e acadêmicas

- [Gamma](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/gamma)
- [Theta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/theta)
- [Delta de opções](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/delta)
- [Calculadora de opções](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/)
- [Características e riscos das opções padronizadas](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Precificação de opções e passivos corporativos](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Precificação e replicação de opções com custos de transação](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1985.tb02383.x)
- [Hedge discreto: otimização do Sharpe ratio com negociação discreta e custos de transação](https://doi.org/10.2139/ssrn.1865998)

Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/gamma-theta-tradeoff/index.mdx