---
title: "Movimento browniano geometrico: medidas, simulacao exata e risco de modelo"
description: "Audite o GBM por meio das medidas fisica e neutra ao risco, dos momentos lognormais, da simulacao exata versus Euler, do erro de Monte Carlo, do monitoramento de trajetorias e das limitacoes do modelo."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---
> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# Movimento browniano geometrico: medidas, simulacao exata e risco de modelo
> Somente para fins educacionais; nao constitui recomendacao nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.
## Resposta direta
Sob a medida fisica `P`, o movimento browniano geometrico com parametros constantes e `dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P`. Sua solucao exata e `S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]`; portanto, `ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)` e os precos em horizonte finito sao estritamente positivos.
Aqui, `mu` e o parametro instantaneo de crescimento esperado do preco, nao o crescimento medio do retorno logaritmico. Sob a medida neutra ao risco `Q`, um ativo ex-dividendo com rendimento continuo `q` segue `dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q`. Essas medidas respondem a perguntas diferentes e usam movimentos brownianos distintos; probabilidades neutras ao risco nao sao previsoes de retorno.
## Construa e valide o GBM em sete etapas
1. Declare se a tarefa e previsao fisica, avaliacao neutra ao risco, teste de estresse, teste numerico ou ensino; nao misture resultados de `P` e `Q`.
2. Fixe `S_0`, moeda, convencao de preco ou retorno total, `mu` ou `r - q`, volatilidade, taxas, dividendos, horizonte, timestamp, contagem de dias, capitalizacao e tratamento de eventos societarios.
3. Escreva a EDE especifica da medida, a solucao exata e as unidades. Sob `P`, `E[S_t] = S_0 e^(mu t)`, `Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)` e `E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1`.
4. Valide media e variancia do retorno logaritmico, media, variancia, mediana, moda e quantis do preco e a distincao entre retorno simples e logaritmico antes de usar trajetorias ou payoffs.
5. Para GBM constante por trechos, simule com `S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]`, variaveis independentes `Z_i ~ N(0,1)`, gerador registrado e semente reproduzivel. Compare Euler apenas como estudo de discretizacao.
6. Informe numero de trajetorias, estimador, erro-padrao, intervalo de confianca e convergencia. Para barreiras, extremos, primeira passagem ou monitoramento discreto, trate cruzamentos entre passos com pontes brownianas ou aproximacao de monitoramento explicita.
7. Separe erros de parametros, amostragem, discretizacao e estrutura do modelo; estresse saltos, volatilidade estocastica, caudas pesadas, alavancagem, default, liquidez, suspensoes, custos, liquidacao e mudancas de regime.
## Quatro exemplos desenvolvidos
- **Momentos da distribuicao fisica.** Considere `S_0 = $100`, `mu = 8%`, `sigma = 20%` e `T = 1`. A media do retorno logaritmico e `0.06` e a variancia `0.04`. A mediana e `$106.1836546545`, a media `$108.3287067675`, a moda `$102.0201340027`, a variancia `$478.9188716836` e o desvio-padrao `$21.8842151261`. Os choques `Z = -1` e `Z = +1` produzem `$86.9358235399` e `$129.6930086666`; sao cenarios, nao limites.
- **Trajetoria exata versus Euler.** Com `S_0 = $100`, `mu = 6%`, `sigma = 30%`, `Delta t = 0.25` e `Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]`, os precos exatos sao `$108.1933804806`, `$93.4727720616`, `$97.4091536282` e `$117.9393118711`. Euler termina em `$119.3300424062`. A transicao exponencial exata preserva a positividade para esses coeficientes constantes; Euler tem vies de discretizacao e pode ficar negativo.
- **Valor neutro ao risco da opcao.** Considere `S_0 = $100`, `K = $105`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `sigma = 25%` e `T = 0.75`. O forward e `$101.8926885052`, `d_1 = -0.0304963995` e `d_2 = -0.2470027504`; o valor da call europeia e `$7.2291486749`. A deriva fisica `mu` nao entra nesse preco controlado por ausencia de arbitragem.
- **Erro de amostragem de Monte Carlo.** Sob `P`, use `S_0 = $100`, `mu = 7%`, `sigma = 25%` e `T = 0.5`. Para `S_T > $120`, o limiar e `z_star = 0.9217649222` e a probabilidade exata `0.1783256040`. Com `N = 100,000` trajetorias independentes, o erro-padrao teorico de Bernoulli e `0.0012104775`; a meia largura a `95%` e `0.0023725358`, produzindo o intervalo de referencia centrado na verdade `[0.1759530681, 0.1806981400]`. Mais trajetorias reduzem o erro amostral, nao o erro de modelo.
## Riscos de dados, numericos e de modelo
- Misturar medidas fisica e neutra ao risco ou seus movimentos brownianos.
- Tratar `mu` como crescimento medio do retorno logaritmico ou retorno simples finito.
- Confundir preco ex-dividendo, retorno total e distribuicoes reinvestidas.
- Misturar `r`, `r - q`, dividendos discretos, capitalizacao e convencoes de forward.
- Misturar unidades de tempo de calendario, negociacao, intradia e anualizadas.
- Aplicar volatilidade em percentual em vez de decimal ou com anualizacao errada.
- Usar parametros obsoletos, dados revisados, informacao futura ou timestamps incoerentes.
- Confiar em estimativa curta e ruidosa da deriva para prever direcao.
- Supor incrementos logaritmicos gaussianos, estacionarios e independentes em todo regime.
- Tratar volatilidade constante como compativel com skew, estrutura a termo, clusters e efeito de alavancagem.
- Omitir saltos, gaps noturnos, defaults para zero e suspensoes de negociacao.
- Supor que um modelo lognormal captura caudas pesadas e dependencia em crises.
- Ignorar taxas, dividendos e custo de aluguel estocasticos ou correlacao multiactivo.
- Usar Euler quando ha transicao GBM exata ou ignorar a possibilidade de preco negativo.
- Nao registrar gerador, semente, metodo antitetico ou de reducao de variancia e dados de reproducibilidade.
- Relatar trajetorias sem erro-padrao do estimador, intervalo de confianca e convergencia.
- Perder cruzamentos de barreira entre passos, extremos e eventos de primeira passagem.
- Confundir mais passos temporais com menor erro estrutural do modelo.
- Tratar ajuste a um preco ou momento da distribuicao como validacao do modelo.
- Omitir precos executaveis, liquidez, custos, fechamento do mercado, liquidacao do produto, governanca e reconciliacao.
## Equivocos comuns
- **"O GBM preve o preco de uma acao."** Ele define uma distribuicao condicional sob parametros escolhidos.
- **"A deriva do retorno logaritmico e mu."** Ela e `mu - 0.5 sigma^2` na notacao fisica usada aqui.
- **"Probabilidade neutra ao risco e previsao do mundo real."** E uma medida de avaliacao sob hipoteses de mercado declaradas.
- **"Mais passos ou trajetorias tornam o modelo de mercado realista."** Tratam erros de discretizacao ou amostragem, nao a economia ausente.
- **"Precos lognormais positivos limitam o risco de queda."** Podem se aproximar arbitrariamente de zero, e o GBM omite default repentino.
## Topicos relacionados
- [Modelo Black-Scholes](/pt-br/options/black-scholes-model/)
- [Precificacao de opcoes por Monte Carlo](/pt-br/options/monte-carlo-option-pricing/)
- [Modelo de opcoes com difusao por saltos](/pt-br/options/jump-diffusion-option-model/)
## Fontes primarias e academicas
- [Sobre equacoes diferenciais estocasticas](https://doi.org/10.1090/memo/0004)
- [Matematica do preco especulativo](https://doi.org/10.1137/1015001)
- [A precificacao de opcoes e passivos corporativos](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Teoria da precificacao racional de opcoes](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [Introducao algoritmica a simulacao numerica de equacoes diferenciais estocasticas](https://doi.org/10.1137/S0036144500378302)
- [1.3.6.6.9. Distribuicao lognormal](https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm)
- [Precificacao de opcoes quando os retornos do ativo subjacente sao descontinuos](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2)
- [A variacao de certos precos especulativos](https://doi.org/10.1086/294632)
Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/geometric-brownian-motion/index.mdx