--- title: "Modelo Heston: variancia neutra ao risco, motores numericos e calibracao" description: "Audite Heston por parametros neutros ao risco, limites da variancia, choques correlacionados, convencoes da funcao caracteristica, calibracao ponderada por cotacoes e validacao numerica." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Modelo Heston: variancia neutra ao risco, motores numericos e calibracao > Somente para fins educacionais; nao constitui recomendacao nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas. ## Resposta direta Sob uma medida neutra ao risco comum `Q`, o modelo Heston especifica `dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q)` e `dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q)`, com `d_t = rho dt`. Os cinco parametros de precificacao sao `v_0`, `theta`, `kappa`, `xi` e `rho`. Eles sao parametros neutros ao risco, salvo se houver mapeamento fisico-neutro por premio de risco de variancia. Podem gerar variancia estocastica, skew de baixa e efeitos de prazo, mas um conjunto ajustado nao e verdade unica do mercado, previsao de volatilidade ou prova de qualidade do hedge. ## Construa, calibre e valide em sete etapas 1. Fixe o direito contratual, regras de exercicio e liquidacao, moeda, horario de mercado, forward, curva de desconto, dividendos, aluguel e se a tarefa usa medida fisica `P` ou de precificacao `Q`. 2. Declare SDE e unidades: `v_0` e `theta` sao variancias anualizadas, `kappa` tem unidades `1/year`, `xi` tem `1/sqrt(year)` e `rho` e adimensional em `[-1, 1]`. Documente qualquer mapeamento `P` para `Q` do premio de risco de variancia. 3. Exija sinais e correlacao admissiveis e avalie `2 kappa theta >= xi^2`. O processo exato de raiz quadrada e nao negativo; a condicao suficiente de Feller trata de zero ser inatingivel ou da positividade estrita, enquanto a falha nao torna negativa a variancia exata nem invalida todo preco. 4. Fixe a convencao da funcao caracteristica, como `phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)]`, junto a coordenadas log-price ou log-forward, sinal de Fourier, amortecimento, desconto, ramos complexos de raiz e logaritmo, corte de integracao, grade e tolerancia. 5. Limpe bid, ask, tamanho, forward, desconto, dividendos e eventos societarios sincronizados e executaveis. Remova por regras documentadas dados obsoletos, cruzados, sem tamanho e com arbitragem estatica; defina se o objetivo pondera preco, IV, Vega, spread ou outra medida. 6. Calibre a partir de varios inicios e relate limites, penalidades Feller, conjuntos quase otimos, residuos normalizados por spread, gradientes ou condicionamento do Jacobiano e instabilidade de parametros, nao apenas um RMSE. 7. Valide paridade put-call, limites de volatilidade determinista, convergencia de quadratura e FFT, verificacoes por diferencas finitas ou Monte Carlo, vies do esquema, precos fora da amostra e P/L de hedge; estresse saltos, eventos, liquidez, recalibracao e liquidacao. ## Quatro exemplos desenvolvidos - **Momentos e diagnostico Feller.** Considere `v_0 = 0.09`, `theta = 0.04`, `kappa = 2`, `xi = 0.30`, `rho = -0.70` e `t = 0.5`. Entao `E^Q[v_t] = 0.0583939721`, `sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473`, a meia-vida e `0.3465735903 year = 4.1588830834 months` e `2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09`. A condicao suficiente vale, mas `sqrt(E[v_t])` nao e `E[sqrt(v_t)]` nem IV de uma opcao. - **Construcao de choques correlacionados.** Com `rho = -0.70`, `Z_S = -1.2` e o independente `Z_perp = 0.5`, use `Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214`. Para `S = $100`, `v = 0.04`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `kappa = 2`, `theta = 0.04`, `xi = 0.30` e `Delta t = 1/252`, um diagnostico Euler simples da `S_next = $98.4980627429`, `v_next = 0.0445245047` e `sqrt(v_next) = 0.2110083048`. Verifica sinal e unidades; Euler simples nao e recomendacao de producao. - **Variancia integrada esperada.** Com o primeiro conjunto e `T = 1.5`, `E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years`. A variancia media esperada e `0.0558368822`, com raiz `0.2362982907`. Nao e variancia realizada de um caminho nem IV cotada diretamente. - **Pesos mudam o diagnostico.** Tres cotacoes tem bid/ask/modelo/Vega `(5.10, 5.30, 5.18, 12)`, `(2.00, 2.10, 2.08, 4)` e `(0.45, 0.55, 0.60, 1.5)`. Residuos no midpoint sao `-0.02`, `+0.03` e `+0.10`; normalizados pelo semispread, `-0.2`, `+0.6` e `+2.0`. A SSE de preco e `0.0113`, a SSE por spread `4.40` e residuos por Vega `-0.0016667`, `+0.0075` e `+0.0666667` decimais de volatilidade. O objetivo muda qual erro o otimizador considera grave. ## Riscos de modelo, calibracao e numericos - Misturar parametros fisicos e neutros ao risco ou omitir premio de risco de variancia. - Confundir variancia e volatilidade ou aplicar conversao de raiz errada. - Misturar unidades anualizadas de ano, dia, taxa, dividendo e volatilidade. - Usar forward, desconto ou dividendos continuos ou discretos errados. - Permitir sinais invalidos ou `rho` fora de `[-1, 1]`. - Tratar falha de Feller como variancia exata negativa ou invalidade automatica. - Usar Euler ingenuo que cria variancia negativa e payoffs enviesados. - Ignorar vies e convergencia entre truncamento, QE e esquemas exatos. - Misturar convencoes log-price, log-forward, sinal Fourier ou funcao caracteristica. - Escolher ramos complexos incoerentes e acionar Little Heston Trap. - Usar corte, resolucao, damping FFT ou tolerancia insuficientes. - Falhar limites deterministas, paridade, probabilidade e testes independentes. - Calibrar cotacoes obsoletas, assincronas, indicativas, cruzadas ou sem tamanho. - Alimentar calibracao com superficie de arbitragem estatica ou distorcao societaria. - Tratar erros no midpoint como executaveis ignorando bid-ask e tamanho. - Supor equivalentes objetivos por preco, IV, Vega e spread. - Confiar em um inicio apesar de minimos locais, direcoes planas e identificacao fraca. - Sobreajustar uma superficie sem validacao de preco e hedge fora da amostra. - Supor que Heston continuo constante captura saltos, eventos, default, todos os sorrisos e dinamica futura. - Omitir liquidez, custos, margem, liquidacao, controles de recalibracao e governanca. ## Equivocos comuns - **"Heston preve volatilidade."** Especifica dinamica condicional apos escolher medida e parametros. - **"Falhar Feller torna a variancia negativa e invalida precos."** Limite exato e discretizacao numerica sao temas distintos. - **"Forma fechada significa sem numerica."** Precificacao ainda exige inversao da funcao caracteristica e controles numericos. - **"O melhor ajuste identifica unicamente dinamica e hedge."** Diferentes conjuntos e objetivos podem ajustar de modo semelhante. - **"Volatilidade estocastica captura crashes e todo sorriso."** Heston padrao continua sendo difusao continua de parametros constantes. ## Topicos relacionados - [Volatilidade implicita](/pt-br/options/implied-volatility/) - [Precificacao Monte Carlo de opcoes](/pt-br/options/monte-carlo-option-pricing/) - [Precificacao por diferencas finitas](/pt-br/options/finite-difference-option-pricing/) ## Fontes primarias e academicas - [Solucao fechada para opcoes com volatilidade estocastica](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - [Teoria da estrutura a termo das taxas](https://doi.org/10.2307/1911242) - [Avaliacao de opcoes por FFT](https://doi.org/10.21314/JCF.1999.043) - [Simulacao simples e eficiente do modelo Heston](https://doi.org/10.21314/JCF.2008.189) - [Simulacao exata de volatilidade estocastica e difusoes afins com saltos](https://doi.org/10.1287/opre.1050.0247) - [Comparacao de esquemas de simulacao enviesados](https://doi.org/10.1080/14697680802392496) - [A pequena armadilha de Heston](https://www.ma.imperial.ac.uk/~ajacquie/IC_Num_Methods/IC_Num_Methods_Docs/Literature/HestonTrap.pdf) - [Calibracao completa e rapida do modelo Heston](https://doi.org/10.1016/j.ejor.2017.05.018) Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/heston-model/index.mdx