--- title: "Modelo de volatilidade local: dos preços de opções à volatilidade dependente do estado" description: "Entenda como o modelo de volatilidade local de Dupire transforma uma superfície de opções europeias sem arbitragem em uma difusão dependente do estado e por que a calibração exata não garante uma dinâmica realista do sorriso." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Modelo de volatilidade local: dos preços de opções à volatilidade dependente do estado > Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas. ## Resposta direta Um **modelo de volatilidade local** torna a volatilidade instantânea uma função determinística do nível e do tempo subjacente atual: `dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t` sob uma especificação simples e neutra ao risco. Ao contrário do Black-Scholes, com uma volatilidade constante, pode reproduzir toda uma secção transversal dos preços das opções europeias através de preços de exercício e vencimentos, quando calibrado para uma superfície suficientemente suave e consistente em termos de arbitragem. O modelo é completo em seu cenário de difusão idealizado e é útil para precificar sinistros dependentes do caminho e calcular hedges consistentes com a superfície vanilla de hoje. O ajuste exato hoje não significa que preveja a superfície de volatilidade implícita de amanhã. A sua dinâmica futura de sorriso é imposta pela função determinística e pode diferir materialmente dos mercados observados. ## Mecânica de calibração Dupire Seja `C(K,T)` um preço de compra europeu em função do exercício `K` e vencimento `T`, com taxa constante `r` e rendimento de dividendos `q` para ilustração. A equação direta de Dupire dá: `σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`. A curvatura de ataque `∂²_KK C` está conectada à densidade terminal neutra ao risco. Portanto, os preços das opções de compra devem diminuir e permanecer convexos no exercício, e as relações de calendário devem ser consistentes, antes que a fórmula seja significativa. Na prática, as mesas primeiro limpam as cotações, convertem taxas e dividendos em fatores a termo e de desconto, ajustam uma superfície suave controlada por arbitragem, diferenciam-na e depois interpolam ou extrapolam a grade de volatilidade local. Um σ_loc(K,T) calibrado não é simplesmente a volatilidade implícita cotada naquele exercício e vencimento. A volatilidade implícita é um parâmetro constante de Black-Scholes que reproduz um preço de opção específico; a volatilidade local é o coeficiente de difusão instantâneo dependente do estado, cuja distribuição reproduz a superfície mais ampla. ## Cálculo Dupire ilustrativo Em `K=$100` e `T=1` ano, suponha que uma superfície suavizada de opções de compra forneça `C=$8`, `∂_T C=10` dólares por ano, `∂_K C=-0.45` e `∂²_KK C=0.018` por dólar. Seja `r=5%` e `q=2%`. O numerador é: `10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`. O denominador é `0.5×100²×0.018=90`. A variância local é, portanto, `8.81/90=0.0979` e a volatilidade local é `√0.0979=31.3%`. Esta é uma ilustração numérica, não uma estimativa de mercado. Se o ajuste ruidoso mudasse a curvatura de `0.018` para `0.012` enquanto outras entradas permanecessem fixas, a volatilidade inferida aumentaria para `√(8.81/60)=38.3%`. A sensibilidade demonstra por que a filtragem de cotações, a suavização sem arbitragem, a estabilidade da grade e as verificações fora da amostra são importantes. ## Calibração e lista de verificação de risco de modelo - Use cotações de opções executáveis sincronizadas, preços futuros, fatores de desconto, dividendos, termos contratuais e convenções de liquidação. - Remover observações cruzadas, obsoletas, de lance zero e economicamente inconsistentes sob regras documentadas. - Aplicar convexidade de ataque e monotonicidade de calendário apropriada antes de tomar derivadas numéricas. - Teste a sensibilidade à interpolação, penalidades de suavização, pesos de cotação, espaçamento de grade, condições de limite e extrapolação. - Reavaliar todos os valores de calibração e relatar erros em unidades de preço executáveis, não apenas em pontos de volatilidade implícita. - Comparar o comportamento do hedge de volatilidade local com Black-Scholes e alternativas de volatilidade estocástica sob choques spot e smile. - Lacunas e saltos de estresse. Uma difusão contínua não pode proteger uma descontinuidade instantânea. - Tratar a dinâmica futura da superfície como uma hipótese de modelo; a volatilidade local muitas vezes produz um movimento de sorriso diferente do mercado. - Seja cauteloso com barreiras e outras reivindicações dependentes do caminho, cujo valor depende da distribuição do caminho modelado, e não apenas dos preços terminais de baunilha. - Recalibrar quando a superfície mudar e distinguir o P&L do mercado, carry, erro de hedge e efeitos de recalibração do modelo. - Evitar extrapolar asas esparsas ou vencimentos longos sem limites explícitos; derivadas podem ampliar pequenos erros de entrada. - Incluir liquidez, custos de transação, hedge discreto, exercício antecipado e termos de contraparte ou liquidação fora da equação idealizada. ## Erros comuns - “A volatilidade local é igual à volatilidade implícita em cada ponto.” Os dois objetos têm definições e usos diferentes. - “A calibração exata prova que o modelo é verdadeiro.” Muitos modelos podem se ajustar aos preços atuais, ao mesmo tempo que implicam diferentes caminhos e hedges. - “A fórmula Dupire pode ser aplicada diretamente às cotações brutas.” Requer derivadas suaves e entradas consistentes com arbitragem. - “Uma difusão completa elimina todos os riscos.” Permanecem lacunas, cobertura discreta, liquidez, alterações de parâmetros e erros de modelo. - “Mais detalhes de superfície sempre melhoram a precisão.” A diferenciação pode amplificar cotações barulhentas e ilíquidas. - “O modelo prevê volatilidade.” A calibração extrai uma função de precificação neutra ao risco; não é uma previsão física. - “Dois modelos que combinem com todas as baunilhas devem ter o mesmo preço para todos os exóticos.” As distribuições de caminhos e a dinâmica futura do sorriso podem diferir. - “A variação local negativa é um sinal válido.” Geralmente indica dados inconsistentes, suavização, derivativos ou suposições que requerem investigação. ## Tópicos relacionados - [Modelo Black-Scholes](/pt-br/options/black-scholes-model/) - [Volatilidade implícita](/pt-br/options/implied-volatility/) - [Modelo Heston](/pt-br/options/heston-model/) - [Precificação de opções por diferenças finitas](/pt-br/options/finite-difference-option-pricing/) - [Cobertura Delta](/pt-br/options/delta-hedging/) - [Risco gama](/pt-br/options/gamma-risk/) ## Fontes primárias e acadêmicas - [Dupire: Preços com um Sorriso](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile) - [Derman e Kani: Montando um Sorriso](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf) - [Derman, Kani e Zou: The Local Volatility Surface](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1996/06/gs-local_volatility_surface.pdf) - [Hagan et al.: Managing Smile Risk](https://wilmott.com/managing-smile-risk/) - [OCC (Options Clearing Corporation, câmara de compensação de opções dos Estados Unidos): Características e Riscos das Opções Padronizadas](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/local-volatility-model/index.mdx