--- title: "Preços lognormais das ações: suposição, matemática e limites" description: "Entenda por que os modelos de opções clássicos usam preços de ações lognormais, como os retornos simples e logarítmicos diferem, como os preços médios e medianos divergem e por que caudas grossas, saltos e volatilidade variável limitam a suposição." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Preços lognormais das ações: suposição, matemática e limites > Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas. ## Resposta direta Os modelos de opções clássicos geralmente assumem que o **preço** futuro de uma ação é distribuído lognormalmente, o que significa que seu **retorno logarítmico** continuamente composto é normalmente distribuído. O preço em si não é considerado normal e o retorno não é “lognormal”. Sob movimento browniano geométrico: `S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]`, onde `Z∼N(0,1)`. Aqui, μ é a deriva do preço sob a medida de probabilidade adotada, σ é a volatilidade e T é o horizonte. A exponenciação mantém os preços modelados positivos, permite somar retornos logarítmicos de vários períodos e leva a fórmulas de opções tratáveis. Os mercados reais não obedecem exatamente à suposição: os retornos apresentam assimetria, caudas grossas, agrupamento de volatilidade, saltos, interrupções de negociação e distribuições mutáveis. A lognormalidade é uma referência transparente, não uma lei do mercado. ## Mecânica de distribuição e precificação O retorno simples é `R=S_T/S_0-1`; o retorno logarítmico é `g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)`. Retornos logarítmicos podem ser somados ao longo do tempo, enquanto retornos simples se compõem por multiplicação. Uma alta de `$100` para `$110`, seguida de queda para `$99`, resulta em `ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%`. Somar `+10%` e `-10%` como retornos simples levaria, incorretamente, a zero. Se `ln S_T∼N(m,v)`, a mediana do preço é `e^m`, a média é `e^(m+v/2)` e a moda é `e^(m-v)`. A distribuição de preços, assimétrica à direita, tem zero como limite inferior e não possui limite superior finito. O preço não pode atingir exatamente zero em tempo finito; por isso, inadimplência e outros estados absorventes precisam ser modelados separadamente. Sob a medida física, definir μ exige supor ou estimar um retorno. Sob a medida neutra ao risco de Black-Scholes, a deriva do preço passa a ser r−q; portanto, a média do retorno logarítmico é `(r-q-σ²/2)T`. Essa distribuição precifica direitos contingentes sob condições de não arbitragem; não prevê frequências reais. Uma `σ` constante também implicaria a mesma volatilidade implícita em todos os preços de exercício de um vencimento, contrariando a assimetria ou o sorriso observados. ## Um exemplo de distribuição de um ano Seja `S_0=$100` e suponha que o retorno logarítmico em um ano seja normal, com média `5%` e desvio padrão `20%`. A mediana do preço futuro é `$100e^0.05=$105.13`; a média é `$100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25` e a moda, `$100e^(0.05-0.20²)=$101.01`. Portanto, o “preço esperado” não coincide com o centro nem com o valor mais provável da distribuição. Usando `Z=-1` e `Z=+1` como aproximações dos percentis 16 e 84, obtemos `$100e^(0.05-0.20)=$86.07` e `$100e^(0.05+0.20)=$128.40`. A faixa em dólares é assimétrica, embora o intervalo do retorno logarítmico seja simétrico. Outro exemplo mostra por que a definição do retorno importa. Uma queda de `50%`, de `$100` para `$50`, seguida de alta de `50%`, leva o preço somente a `$75`: o retorno simples acumulado é `-25%`. Os retornos logarítmicos somam exatamente `ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%`. Para voltar de `$50` a `$100`, é necessária uma alta de `100%`. ## Lista de testes e riscos do modelo - Use dados de retorno total ou preços corretamente ajustados; desdobramentos e distribuições ordinárias podem criar saltos falsos em séries não ajustadas. - Alinhe datas e horários, moedas, horários de fechamento, observações ausentes e dias sem negociação antes de calcular os retornos. - Informe explicitamente se usa retornos simples ou logarítmicos; eles só ficam próximos quando as variações são pequenas. - Compare assimetria empírica, excesso de curtose, quantis de 1%/5%/95%/99%, histogramas e gráficos Q-Q com uma referência normal. - Examine separadamente períodos tranquilos e de crise. Misturar regimes de volatilidade variáveis pode, por si só, produzir retornos incondicionais com caudas pesadas. - Teste dependência serial nos retornos e em seus quadrados; o agrupamento da volatilidade viola a hipótese de incrementos constantes e independentes. - Não aplique mecanicamente a escala `√T` em torno de resultados corporativos, eventos programados, memória longa ou mudanças de regime. - Separar os parâmetros físicos usados ​​para previsão dos parâmetros neutros ao risco inferidos para precificação. - Use a superfície atual de volatilidade implícita para avaliar opções entre diferentes preços de exercício, em vez de impor uma única volatilidade at-the-money a todos eles. - Submeta a estresse saltos, inadimplência, interrupções de negociação, perda de liquidez e reprecificação da volatilidade fora da difusão contínua. - Valide parâmetros e erros de hedge fora da amostra; ajustar extremos históricos não comprova estabilidade futura. - Para opções dependentes da trajetória, simule trajetórias intermediárias e erros de discretização, não apenas preços terminais lognormais. ## Erros comuns - “Os retornos das ações são lognormais.” A afirmação clássica é que os preços são lognormais e os retornos logarítmicos são normais. - “Preços modelados positivos provam realismo.” A positividade não captura inadimplência, saltos, caudas gordas ou regimes de volatilidade. - “O preço médio é o preço mais provável.” A média, mediana e moda de uma distribuição lognormal são diferentes. - “Um intervalo de retorno logarítmico simétrico é simétrico em dólares.” A exponenciação cria uma faixa de preço assimétrica. - “A probabilidade neutra ao risco é a probabilidade real.” É a medida compatível com preços descontados sem arbitragem e tem finalidade distinta de uma previsão física. - “A volatilidade anual é sempre a volatilidade diária vezes `√252`.” Esse dimensionamento precisa de incrementos independentes e estáveis. - “Uma volatilidade histórica precifica cada opção.” Os preços das opções de mercado geralmente implicam volatilidade dependente do exercício e do vencimento. - “Eventos raros devem ser excluídos como outliers.” Após a verificação dos dados, os extremos podem ser uma evidência essencial contra as supostas caudas. - “Amostragens terminais lognormais precificam qualquer derivativo.” Opções de barreira, asiáticas e americanas dependem da trajetória ou de decisões de exercício. ## Tópicos relacionados - [Movimento geométrico browniano](/pt-br/options/geometric-brownian-motion/) - [Modelo Black-Scholes](/pt-br/options/black-scholes-model/) - [Precificação neutra ao risco](/pt-br/options/risk-neutral-pricing/) - [Volatilidade histórica](/pt-br/options/historical-volatility/) - [Assimetria da volatilidade](/pt-br/options/volatility-skew/) - [Modelo de opções com difusão por saltos](/pt-br/options/jump-diffusion-option-model/) ## Fontes acadêmicas - [Black e Scholes: o preço das opções e responsabilidades corporativas](https://doi.org/10.1086/260062) - [Merton: Teoria do Preço Racional de Opções](https://doi.org/10.2307/3003143) - [Mandelbrot: A variação de certos preços especulativos](https://doi.org/10.1086/294632) - [Fama: O Comportamento dos Preços do Mercado de Ações](https://doi.org/10.1086/294743) - [Cboe: O índice Cboe SKEW](https://cdn.cboe.com/resources/indices/documents/SKEWwhitepaperjan2011.pdf) Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/lognormal-stock-returns/index.mdx