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title: "Carteiras replicantes de opções: pagamentos por estado e valor sem arbitragem"
description: "Construa uma réplica de opção de um período a partir de ações e empréstimos, verifique cada estado terminal e entenda por que os hedges dinâmicos reais se afastam do modelo."
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# Carteiras replicantes de opções: pagamentos por estado e valor sem arbitragem

> Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

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## Resposta direta

Uma carteira replicante combina instrumentos negociados para igualar o pagamento de uma opção em cada estado do modelo. Em um modelo binomial de um período, ação e financiamento livre de risco podem replicar exatamente uma opção europeia. Se os pagamentos contingentes ao estado forem idênticos, a lei do preço único exige o mesmo valor hoje; caso contrário, seria possível comprar o pagamento mais barato e vender o mais caro.

Este é um resultado de precificação condicional. A replicação exata depende dos estados do modelo, das oportunidades de negociação, do financiamento, das distribuições, dos termos do contrato e das suposições de execução sem atrito. Num mercado real com saltos, spreads, cobertura discreta, limites de empréstimo e exercício antecipado, uma cobertura é normalmente aproximada.

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## Resolva os pagamentos por estado, não memorize uma fórmula

Seja `S0` o preço atual da ação. Na data seguinte ele será `Su` ou `Sd`, com `Su > Sd`. A opção paga `Cu` ou `Cd`, e `R` é o fator bruto de crescimento livre de risco. Supõe-se que a ação não distribua caixa durante o período; caso distribua, esse fluxo deve ser incluído de modo consistente. Uma carteira com `Δ` ações e posição atual de caixa `B0` tem valores terminais:

`Δ × Su + B0 × R = Cu`

`Δ × Sd + B0 × R = Cd`

Subtraindo as equações dá:

`Δ = (Cu - Cd) / (Su - Sd)`

Então:

`B0 = (Cu - Δ × Su) / R`

`option value today = Δ × S0 + B0`

Um `B0` negativo significa empréstimo. O cálculo deve verificar ambos os estados terminais. Corresponder apenas a um retorno esperado não é replicação.

Antes de precificar a opção, verifique se o próprio mercado de ação e caixa satisfaz:

`Sd < R × S0 < Su`

Essa condição equivale a exigir `0 < q < 1` para o peso neutro ao risco abaixo. Se ela falhar, o modelo já admite arbitragem entre a ação e o caixa. Se for válida, o preço da réplica pode ser conferido por:

`q = (R × S0 - Sd) / (Su - Sd)`

`option value = [q × Cu + (1 - q) × Cd] / R`

Este `q` é um peso de preço implícito na não arbitragem dentro do modelo, não necessariamente uma previsão da probabilidade real de um movimento ascendente.

Em uma árvore multiperíodo, a carteira é recalculada em cada nó. Um hedge **autofinanciado** altera as posições em ações e caixa usando apenas o valor já presente na estratégia, sem aportes ou retiradas externas sem explicação. Modelos em tempo contínuo idealizam esse rebalanceamento; hedges reais são discretos.

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## Réplica de opção de compra (Call) de um período

Suponha:

- `S0 = USD 100`;
- a ação do próximo período é `Su = USD 120` ou `Sd = USD 80`;
- uma Opção de compra Europeia tem strike `USD 100`, portanto `Cu = USD 20` e `Cd = USD 0`;
- o fator livre de risco bruto do período é `R = 1.02`.

Participação em ações:

`Δ = (USD 20 - USD 0) / (USD 120 - USD 80) = 0.5 share`

Posição atual de caixa:

`B0 = (USD 20 - 0.5 × USD 120) / 1.02 = -USD 39.2157`

Custo da réplica:

`0.5 × USD 100 - USD 39.2157 = USD 10.7843`

Verifique cada estado:

| Estado | Componente de ações | Reembolso em dinheiro | Pagamento do portfólio | Pagamento de opção de compra |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Acima | USD  60 | -USD 40 | USD  20 | USD  20 |
| Para baixo | USD  40 | -USD 40 | USD 0 | USD 0 |

Verificação cruzada neutra em termos de risco:

`q = (1.02 × USD 100 - USD 80) / (USD 120 - USD 80) = 0.55`

`[USD 20 × 0.55 + USD 0 × 0.45] / 1.02 = USD 10.7843`

Para dar escala, se o direito usar um multiplicador de 100 ações, o valor do modelo será `USD 1.078,43` por contrato; o componente inicial será de 50 ações, junto a um empréstimo do modelo de `USD 3.921,57`. Opções padrão sobre ações dos Estados Unidos normalmente representam 100 ações, mas eventos societários podem ajustar o ativo entregável. Esses valores continuam teóricos antes de spreads, financiamento, margem, taxas, distribuições e restrições de ações inteiras.

Se a opção de compra de mercado for oferecida em `USD 11,20`, a lacuna `USD 0.4157` da réplica sem atrito não é uma arbitragem automaticamente negociável. Tanto a opção quanto o hedge devem ser executáveis ​​em lados e tamanhos relevantes; financiamento, empréstimo de ações, estilo de exercício, dividendos e custos de liquidação devem ser incluídos.

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## Limites e riscos de replicação

- **Risco de modelo de estado:** a ação real pode terminar fora ou entre filiais presumidas.
- **Risco de salto:** os preços podem se mover antes que o hedge seja reequilibrado.
- **Risco de cobertura discreta:** o ajuste contínuo não está disponível na prática.
- **Custos de transação:** negociações repetidas, spreads, taxas e impacto no mercado consomem valor teórico.
- **Risco de financiamento:** as taxas de empréstimo e empréstimo do trader diferem da taxa modelo.
- **Risco de dividendos e empréstimos:** as distribuições e a disponibilidade de ações alteram a economia de transporte.
- **Risco de exercício antecipado:** uma opção de estilo americano requer decisões de exercício em nós intermediários.
- **Risco de superfície de volatilidade:** as opções reais entre exercícios e vencimentos não seguem uma entrada fixa de volatilidade.
- **Risco de liquidez:** a opção ou hedge pode não ser negociado no tamanho e no prazo exigidos.
- **Risco de contrato:** multiplicador, entrega, liquidação financeira e ajustes devem corresponder ao retorno modelado.
- **Confusão de modelo-arbitragem:** uma diferença de preço teórica não é uma negociação executável sem risco.

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## Erros comuns

- **“A replicação corresponde ao retorno médio.”** Ela deve corresponder a todos os estados modelados.
- **“Delta permanece 0,5 até o vencimento.”** Em um mercado multiperíodo ou ao vivo, o Delta muda e requer reequilíbrio.
- **“A probabilidade neutra ao risco é a verdadeira probabilidade.”** É um peso de precificação sob as premissas do modelo.
- **“A réplica elimina todos os riscos.”** Os riscos de modelo, salto, execução, financiamento e contrato permanecem.
- **“Uma diferença teórica é a arbitragem livre.”** Todos os trechos, tamanhos, prazos, financiamento e custos devem ser executáveis.
- **“O empréstimo é apenas uma notação.”** É uma posição econômica de caixa com restrições de financiamento e margem.
- **“As opções europeias e americanas replicam-se de forma idêntica.”** O exercício antecipado altera o problema de avaliação.
- **“A replicação de um período prova que um hedge contínuo funciona exatamente.”** O reequilíbrio real é discreto e depende do caminho.

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## Tópicos relacionados

- [Preço de opções binomiais](/pt-br/options/binomial-option-pricing/)
- [Cobertura Delta](/pt-br/options/delta-hedging/)
- [Limites de opções sem arbitragem](/pt-br/options/no-arbitrage-option-bounds/)
- [Hedge de autofinanciamento](/pt-br/options/self-financing-hedge/)

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## Fontes oficiais

- [Características e Riscos das Opções Padronizadas](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) — OCC (Options Clearing Corporation, câmara de compensação de opções dos Estados Unidos)
- [Especificações de opções sobre ações](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/clearing/equity-options-product-specifications) — OCC
- [A precificação de opções e passivos corporativos](https://doi.org/10.1086/260062) — Black and Scholes, *Journal of Political Economy*
- [Teoria da Precificação de Opções Racionais](https://doi.org/10.2307/3003143) — Merton, *The Bell Journal of Economics and Management Science*
- [Preços de opções: uma abordagem simplificada](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) — Cox, Ross e Rubinstein, *Journal of Financial Economics*

Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/option-replication-portfolio/index.mdx