--- title: "Precificação de opções por árvore trinomial: grade de três estados e exercício antecipado" description: "Construa uma grade recombinante de alta, nível intermediário e baixa, calibre probabilidades neutras ao risco, desconte de trás para frente e verifique o exercício antecipado e a convergência." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Precificação de opções por árvore trinomial: grade de três estados e exercício antecipado > Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas. ## Resposta direta Uma árvore trinomial precifica uma opção em uma grade discreta de tempo e preço, na qual o ativo subjacente **sobe, permanece em um nível intermediário ou cai** a cada etapa. Após calibrar as probabilidades de transição neutras ao risco, calcula os payoffs no vencimento e volta até o presente, descontando em cada nó o valor ponderado pelas probabilidades. O ramo intermediário extra oferece mais liberdade do que uma árvore binomial para combinar momentos, alinhar nós com preços de exercício ou barreiras e melhorar o comportamento numérico. Isso não torna o preço automaticamente mais preciso. A parametrização, número de etapas, dividendos, regra de exercício, tratamento de limites e dados de mercado determinam o resultado. As árvores são especialmente úteis para opções de estilo americano porque cada nó permite comparar o valor de continuação com o exercício imediato. São modelos numéricos, não previsões de que a ação assumirá apenas três preços. Este artigo trata da avaliação teórica de opções simples sobre ações, sobretudo opções listadas em bolsas dos Estados Unidos e emitidas pela OCC, conforme verificado em 2026-08-22; aprovação da corretora, margem da conta e tratamento tributário e jurídico variam por produto e jurisdição, portanto confirme os termos vigentes do contrato e da conta com a corretora, a bolsa, os materiais da OCC e profissionais habilitados. ## Rede e indução reversa Para um passo de duração `Δt`, defina os multiplicadores do preço `u > m > d` e as probabilidades `pᵤ`, `pₘ`, `p_d`. Uma árvore recombinante é parametrizada para que trajetórias como subir e depois cair retornem a um nó existente, mantendo controlado o número de nós. Aqui, `r` e `q` são taxas com capitalização contínua durante o passo. As probabilidades neutras ao risco devem satisfazer pelo menos: `pᵤ + pₘ + p_d = 1` e, com rendimento de dividendos contínuo `q`, `pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt)`. Cada esquema trinomial acrescenta condições de variância ou ajuste de momentos para determinar as três probabilidades e os multiplicadores; normalização e crescimento esperado, sozinhos, não tornam completo um mercado de um período com três estados nem selecionam uma medida neutra ao risco única. Todas as probabilidades devem ficar entre zero e um. Uma “probabilidade” negativa indica grade inválida ou parâmetros incompatíveis, não uma previsão negociável. No vencimento, defina `V = max(S−K,0)` para uma opção de compra (Call) ou `max(K−S,0)` para uma opção de venda (Put). Em cada nó anterior, o valor de continuação europeu é `V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)`. Para uma opção de estilo americano, use `V = max(V_continue, intrinsic value)`. Repita até a raiz. Dividendos em dinheiro discretos exigem que a árvore de ações ou transições de nós reflitam a queda ex-dividendos. Os gregos podem ser estimados a partir de nós vizinhos, mas o alinhamento da grade e as diferenças finitas introduzem ruído numérico. ## Exemplo trabalhado em uma etapa Considere `S₀ = $100`, preço de exercício da Put `K = $105` e fator de crescimento livre de risco de um passo `R = 1.02`. Use `u = 1.10`, `m = 1.00`, `d = 0.90` e as probabilidades a seguir. São entradas hipotéticas, sem dividendos e apenas didáticas; não representam calibração a uma opção cotada nem a um conjunto de dados de mercado. `pᵤ = 0.35`, `pₘ = 0.50`, `p_d = 0.15`. Eles somam um, e o crescimento esperado das ações é `0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R`. | Preço final da ação | Payoff da Put `max(105−S,0)` | Payoff ponderado pela probabilidade | | ---: | ---: | ---: | | `$110` | `$0` | `$0` | | `$100` | `$5` | `$2.50` | | `$90` | `$15` | `$2.25` | O valor da Put europeia é `V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569`. Para uma Put americana, o exercício imediato na raiz vale `$105 − $100 = $5`. Como `$5 > $4.6569`, este modelo de um passo escolhe o exercício e avalia a Put americana em `$5`. Como conferência sob as mesmas premissas europeias e sem dividendos, a Call correspondente paga `$5` apenas no estado de alta; portanto, `C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157`. Assim, `C − P = −$2.9412`, igual a `S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412`. ## Verificações e riscos do modelo - Informar a parametrização exata da árvore; “trinomial” por si só não define `u`, `d` nem as probabilidades. - Rejeitar probabilidades negativas e verificar as condições de crescimento e variância neutras ao risco. - Aumentar o número de passos e registrar a convergência, em vez de confiar em uma única grade. - Comparar os resultados europeus com Black-Scholes sob as mesmas premissas e verificar os limites de valor intrínseco e de ausência de arbitragem. - Confrontar os valores americanos com os europeus e examinar a fronteira de exercício. - Modelar corretamente dividendos discretos, taxas, custo de empréstimo, modalidade de exercício, liquidação e ajustes contratuais. - Alinhar à grade preços de exercício, barreiras e datas de dividendos relevantes, quando possível. - Submeter a testes de estresse a volatilidade, o número de passos, a discretização do tempo e as condições de contorno. - Separar o valor do modelo dos preços Bid/Ask executáveis, das tarifas, da derrapagem e do volume disponível. - Usar uma implementação independente ou casos de referência para detectar erros de indexação e desconto. ## Erros comuns - “Os três ramos preveem alta, estabilidade e baixa.” Eles são estados numéricos calibrados para a precificação. - “As probabilidades são frequências históricas.” Elas são pesos neutros ao risco determinados pelo modelo. - “Mais ramos garantem precisão.” Uma árvore trinomial mal calibrada continua produzindo resultados errados. - “O exercício antecipado do exemplo prova que um titular real deve exercer agora.” A conclusão depende de uma grade muito grosseira e de dados omitidos. - “O preço do modelo é uma cotação justa e executável.” A execução depende de oferta e demanda, spreads, estoque e custos. - “A convergência prova que o modelo é verdadeiro.” Ela mostra apenas estabilidade numérica sob as premissas, não que elas representem o mercado. ## Tópicos relacionados - [Preço de opções binomiais](/pt-br/options/binomial-option-pricing/) - [Modelo Black-Scholes](/pt-br/options/black-scholes-model/) - [Exercício inicial](/pt-br/options/early-exercise/) - [Preços neutros ao risco](/pt-br/options/risk-neutral-pricing/) ## Fontes oficiais - [Crack: Trinomial Option Pricing—A Primer](https://doi.org/10.2139/ssrn.4955216) - [Dai and Lyuu: Convergence of the Trinomial Tree Method](https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.132) - [Options Industry Council: Black-Scholes Formula](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/black-scholes-formula) - [Options Industry Council: Exercising Options](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/exercising-options) - [OCC: Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) Source: https://wiki.fcontext.com/pt-br/options/trinomial-tree-option-pricing/index.mdx