--- title: "Биномиальная оценка опционов: репликация, кэрри, досрочное исполнение и сходимость" description: "Постройте и проверьте рекомбинирующее дерево, разделите кэрри и дисконтирование, реплицируйте узловые стоимости и контролируйте досрочное исполнение, сходимость и границы исполнения сделок." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Биномиальная оценка опционов: репликация, кэрри, досрочное исполнение и сходимость > Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам. ## Краткий ответ Биномиальная модель оценивает опцион на решетке дискретных состояний; она не прогнозирует, что базовый актив буквально совершит только два движения. В каждом узле применяется повышающий множитель `u` или понижающий `d`, оцениваются конечные договорные денежные потоки, а затем расчет ведется назад к текущей дате. В полном рынке с одним фактором риска ту же стоимость узла можно проверить локальным реплицирующим портфелем из актива и денежных средств. Для шага длиной `Delta t` отделите множитель роста финансирования `B = exp(r Delta t)` от множителя роста кэрри базового актива `G = exp((r - q) Delta t)`. При непрерывной пропорциональной доходности `q` безарбитражный вес оценки равен `p = (G - d) / (u - d)` при условии `d < G < u`. Европейская стоимость продолжения равна `V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B`. В узле, где держатель вправе исполнить опцион, американская или бермудская стоимость равна `V = max(H,C)`, где `H` — стоимость немедленного исполнения, а `C` — стоимость продолжения. Модель дает стоимость на единицу базового актива; множитель, количество, официальная расчетная величина, исполнимые цены, комиссии, маржа и кредитный риск учитываются отдельно. ## Методика 1. **Зафиксируйте право и календарь.** Запишите точный актив и серию, call или put, страйк, время оценки, срок и базу дней, даты и стиль исполнения, официальный расчет, множитель, поставляемый актив, валюту, дивиденды, заем, корректировки и единицы результата. 2. **Выберите и задокументируйте решетку.** Задайте `N`, `Delta t = T / N` и параметризацию. В распространенном CRR `u = exp(sigma sqrt(Delta t))` и `d = 1 / u`; иные деревья могут согласовывать другие моменты и сходиться иначе. 3. **Разделите кэрри и дисконтирование.** Постройте `B = exp(r Delta t)` по согласованной с моделью нулевой ставке и `G = exp((r - q) Delta t)` по непрерывному кэрри, затем вычислите `p = (G - d) / (u - d)`. Известный денежный дивиденд требует явной обработки экс-дивидендного узла и может нарушить простую рекомбинацию. 4. **Постройте состояния и конечные права.** В рекомбинирующем дереве с постоянными множителями `S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)`. Примените к официальной переменной договорное правило для call, put, денежных средств, физической или скорректированной поставки, барьера, среднего либо иной конечной выплаты; зависимость от пути требует дополнительного состояния. 5. **Проведите обратную индукцию и тест исполнения.** Дисконтируйте риск-нейтральную стоимость дочерних узлов. Для европейских прав используйте продолжение; для американских сравнивайте `H` и `C` на каждой допустимой дате; для бермудских — только в договорные даты с учетом уведомления и расчета. 6. **Проверьте репликацию и вычисления.** В каждом одношаговом узле рассчитайте `Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)` и денежную позицию `b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]`. Проверьте выплаты по состояниям, границы, паритет, удвоение шагов, четно-нечетные колебания, другие деревья, независимый код и границу исполнения. 7. **Перенесите результат модели на счет.** Откалибруйте кривые, дивиденды, заем и поверхность страйк-срок; пересчитайте единичную стоимость по фактическим множителю и количеству; сравните исполнимые bid и ask; стрессируйте дискретное хеджирование, гэпы, затраты, ликвидность, маржу, назначение, расчет, налоги и версию модели. ## Расчетные примеры - **Однопериодная репликация.** Пусть `S0 = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05`, а европейский call имеет `K = $100`. Тогда `p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625`; выплаты равны `$20/$0`; и `C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762`. Репликация дает `Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50` и `b = -$38.095238`. Портфель платит `$60 - $40 = $20` в верхнем состоянии и `$40 - $40 = $0` в нижнем; начальная стоимость равна `$50 - $38.095238 = $11.904762`. - **Американский put и досрочное исполнение.** Используйте двухшаговое дерево с `S0 = $100`, `K = $100`, `u = 1.20`, `d = 0.80`, `B = G = 1.05`; следовательно, `p = 0.625`. Конечные выплаты put при `$144/$96/$64` равны `$0/$4/$36`. В первом верхнем узле продолжение `[0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571` выше внутренней стоимости `$0`. В нижнем узле `[0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095` ниже немедленного исполнения `$20`, поэтому происходит исполнение. Американская стоимость равна `$7.993197`, европейская `$6.292517`, дискретная премия досрочного исполнения `$1.700680`. - **Кэрри и немонотонная сходимость.** Пусть `S0 = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5%` с непрерывным начислением, непрерывная доходность `q = 2%`, а `sigma = 20%` годовых. В CRR европейский call стоит `$11.073541` при одном шаге, `$8.342293` при двух, `$9.855621` при трех, `$8.760327` при четырех и при `64` шагах `$9.196691`, приближаясь к согласованной стоимости Black-Scholes-Merton `$9.227006`. Больше шагов улучшает предел модели, но движение не обязано быть монотонным и не исправляет неверные потоки. - **Модельная стоимость и исполнимые суммы.** Снова возьмите стоимость на акцию `$11.904762`, но предположите исполнимый рынок `$11.60 bid / $12.20 ask`. Покупка стандартного контракта с `M = 100` и `Q = 1` стоит `$12.20 x 100 = $1,220`, тогда как модельная сумма `$11.904762 x 100 = $1,190.4762`; разница до комиссий `$29.5238`. Немедленная продажа по bid возвращает `$11.60 x 100 = $1,160`, создавая круговой убыток `$60`. `Delta = 0.50` соответствует `50` акциям при таком множителе, но дискретная ребалансировка, гэпы, заем и исполнение не позволяют гарантировать репликацию. ## Контроль модели и жизненного цикла - Сверьте точные базовый актив, корень, call или put, страйк, срок, стиль исполнения, расчет, множитель, валюту и поставку. - Зафиксируйте время оценки, календарь, часовой пояс, долю года, шаги, даты узлов и правила рабочих дней. - Раскройте параметризацию и соответствие ее моментов, кэрри, skew и иных целей выбранной модели. - Разделяйте `B` для дисконтирования и `G` для кэрри, когда важны дивиденды, иностранные ставки, convenience yield или заем. - Требуйте `d < G < u`; если `p` вне `[0,1]`, нарушена безарбитражная схема, а не найдена прогнозная вероятность. - Отделяйте непрерывную доходность `q` от известных дискретных, специальных, неопределенных или зависящих от пути выплат. - Сверяйте конечную выплату с официальным расчетом, денежной или физической поставкой, скорректированными контрактами и корпоративными действиями. - Добавляйте состояние для барьеров, средних, lookback, нескольких активов, стохастических волатильности или ставок, кредита и иной зависимости от пути. - Применяйте досрочное исполнение только к держателю договорного права и в допустимые даты до сроков уведомления. - Отделяйте американские, бермудские и европейские возможности исполнения от денежного, физического или фьючерсного расчета. - Записывайте каждый узел, где `H` выше `C`, и тестируйте чувствительность границы к дивидендам, ставкам, займу и численным параметрам. - Проверяйте узловую репликацию и выплаты, если предпосылки означают полноту; не считайте непрерывное хеджирование бесплатным на практике. - Проверяйте безарбитражные границы, паритет, монотонность, выпуклость и предельные случаи до использования цены. - Сравнивайте разные числа шагов, четные и нечетные последовательности, удвоение, другие параметризации и независимую реализацию. - Не принимайте колебания, стабильные десятичные знаки или совпадение связанных путей кода за доказательство точности. - Калибруйте всю релевантную поверхность и кривые; историческая волатильность или ATM-котировка не универсальны. - Разделяйте модельную стоимость, теоретический midpoint, биржевую отметку, официальный расчет, исполнимые bid и ask и цену ликвидации. - Пересчитывайте единичный результат по фактическим множителю и количеству; скорректированные и нестандартные контракты могут не использовать `100`. - Стрессируйте bid-ask, частичные исполнения, время дискретного хеджа, скачки, остановки, ликвидность, финансирование, заем, маржу, назначение и ликвидацию брокером. - Храните входные данные, источник, версии дивидендов и корпоративных действий, код и решатель, доказательства сходимости, одобрения, расходы, налоги и итоговую сверку. ## Распространенные заблуждения - **«Риск-нейтральная вероятность прогнозирует следующее движение».** `p` — вес оценки, согласованный с торгуемыми активами и отсутствием арбитража, а не физический прогноз. - **«Безрисковый множитель всегда входит в обе формулы».** Дисконтирование использует `B`, а вес базового актива — множитель кэрри `G`; они совпадают лишь в упрощенном случае без доходности. - **«Больше шагов гарантирует правильную цену».** Уточнение исправляет только дискретизацию модели; оно может колебаться и не исправляет неверные дивиденды, волатильность, расчет или исполнение. - **«Американская стоимость равна европейской плюс фиксированная премия».** Стоимость досрочного исполнения зависит от состояния, даты, ставок, дивидендов, займа и модели и может быть нулевой. - **«Репликация делает экранную цену безрисковой».** Доказательство предполагает полноту и отсутствие трений; исполнимые спреды, дискретные хеджи, гэпы, финансирование, маржа, налоги и расчет остаются. ## Связанные темы - [Американские и европейские опционы](/ru/options/american-and-european/) - [Модель Блэка — Шоулза](/ru/options/black-scholes-model/) - [Подразумеваемая волатильность](/ru/options/implied-volatility/) ## Авторитетные источники - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier; обосновывает дискретную репликацию CRR и риск-нейтральную оценку в рамках предпосылок, но не текущие данные или исполнимую цену. - [Two-State Option Pricing](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x) - Wiley; развивает двухсостоянийную оценку, но не утверждает, что реальные цены имеют лишь два исхода или любой неполный рынок имеет единственную цену. - [Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence](https://doi.org/10.1080/13504869600000015) - Taylor & Francis; подтверждает колебания, параметризацию и сходимость исследованных моделей, но не универсальные границы ошибки. - [Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models](https://doi.org/10.1016/S0165-1889(98)00019-0) - Elsevier; подтверждает сходимость американского put и пределы ускорения исследованных деревьев, но не всех продуктов или цен. - [American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods](https://doi.org/10.1093/rfs/9.4.1211) - Oxford University Press; подтверждает границы и сравнения при заданных предпосылках, но не брокерские правила исполнения или гарантированную точность. - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation; рассматривает права, исполнение, назначение, расчет, корректировки и риски, но не биномиальную калибровку или рекомендации. - [Industry Services](https://www.theocc.com/clearance-and-settlement/industry-services) - The Options Clearing Corporation; описывает собственный вариант CRR для отдельных сервисов дельты, но не реализацию этой статьи или универсальную цену. - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Global Markets; предоставляет актуальные учебные инструменты теоретической цены и греков, но не исполнимую котировку, независимую проверку или гарантию договорных предпосылок. Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/binomial-option-pricing/index.mdx