---
title: "Модель Блэка-Шоулза-Мертона: контракт, исходные данные, подразумеваемая волатильность и греки"
description: "Применение модели Блэка-Шоулза-Мертона после согласования требования по опциону, временной шкалы оценки, дисконтирования, дивидендов, котировки волатильности, условий расчета и единиц греков."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---

> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Модель Блэка-Шоулза-Мертона: контракт, исходные данные, подразумеваемая волатильность и греки

> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

<a id="answer"></a>

## Краткий ответ

**Модель Блэка-Шоулза-Мертона** представляет собой безарбитражную систему, а не юридически обязательную котировку или прогноз базового актива. Ее известная замкнутая формула оценивает простой европейский опцион при заданных предпосылках о диффузии, финансировании, дивидендах, торговле и полноте рынка. До применения модели определите фактическую серию, право исполнения, поставляемый актив, множитель, официальную расчетную стоимость и валюту: американский опцион на акцию с физической поставкой и европейский индексный опцион с денежным расчетом являются разными требованиями, даже если на экране совпадают страйк и экспирация.

Для спота `S₀`, страйка `K`, срока в годах `T`, непрерывно начисляемой нулевой ставки `r`, непрерывной пропорциональной дивидендной доходности `q` и годовой волатильности `σ` формулы европейских колла и пута равны `C = S₀e^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)` и `P = Ke^(−rT)N(−d₂) − S₀e^(−qT)N(−d₁)`, где `d₁ = [ln(S₀/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T)`, `d₂ = d₁ − σ√T`, а `N(x)` представляет стандартную нормальную функцию распределения. При согласованных исходных данных европейский паритет колл-пут равен `C − P = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)`.

Участники рынка также обращают модель: **подразумеваемая волатильность** есть такое `σ`, при котором выбранная модель воспроизводит выбранную цену опциона. Поэтому она зависит от контракта, времени, исходной цены базового актива, кривой, дивидендов, стороны котировки, численного метода и модели. Цена, подразумеваемая волатильность и грек являются модельными результатами со своими соглашениями и единицами; сами по себе они не являются исполнимой сделкой, физической вероятностью или гарантией работы хеджа.

<a id="mechanism"></a>

## Семь шагов анализа контракта, данных, оценки и контроля

1. **Классифицируйте требование до выбора формулы.** Зафиксируйте требование к эмитенту или клирингу, базовый актив, тип опциона, страйк, экспирацию, последний момент торговли, стиль исполнения, официальный процесс расчета, денежный расчет или физическую поставку, множитель, поставляемый актив, валюту и корректировки. Замкнутая формула выше предназначена для европейской ванильной выплаты; американское досрочное исполнение, скорректированная поставка, барьеры и иные зависящие от пути права требуют модели, представляющей эти условия.
2. **Зафиксируйте часы оценки и единицы.** Установите момент оценки `t₀`, момент экспирации или расчета, часовой пояс, календарь рабочих дней и долю года `T`; отличайте последний момент торговли от срока подачи инструкции на исполнение и определения официальной расчетной стоимости. Укажите, выражены ли премия и греки на единицу базового актива, котировочный пункт, контракт или всю позицию.
3. **Постройте синхронизированные рыночные исходные данные.** Используйте одновременные спотовые или форвардные данные, страйк, согласованный со сроком коэффициент дисконтирования `D(0,T)`, суммы и даты дивидендов либо обоснованную непрерывную доходность, предпосылки о займе акций и финансировании, а также bid, ask и размер по опциону. Публикуемая ставка Treasury CMT является парной доходностью, а не автоматически непрерывно начисляемой нулевой ставкой `r`; до использования постройте согласованную дисконтную кривую путем бутстрэппинга или иным способом.
4. **Проверьте границы и согласованный паритет.** Для европейского случая с непрерывной доходностью проверьте `max(S₀e^(−qT) − Ke^(−rT), 0) ≤ C ≤ S₀e^(−qT)` и `max(Ke^(−rT) − S₀e^(−qT), 0) ≤ P ≤ Ke^(−rT)`. Сравнивайте только опционы с одинаковыми исполнением, страйком, сроком, поставкой и расчетом. При известных детерминированных денежных дивидендах замените приближение доходностью их дисконтированными потоками и используйте соответствующий мост паритета.
5. **Явно выберите и запустите модель.** Модель Блэка-Шоулза-Мертона предполагает непрерывную диффузию, постоянные волатильность и ставки, непрерывную торговлю без трений, отсутствие скачков и достаточные возможности заимствования, кредитования, короткой продажи и репликации. Биномиальное дерево или другой численный метод может представить американское исполнение и дискретные события; модели стохастической или локальной волатильности либо скачков учитывают иные риски, но добавляют параметры и решения по калибровке.
6. **Осторожно обращайте цены в подразумеваемую волатильность.** Отклоняйте или исследуйте цены за пределами безарбитражного диапазона модели; отдельно обращайте bid, среднюю цену и ask с документированным методом поиска корня, допуском и максимальной волатильностью. Конечная европейская IV внутри диапазона обычно уникальна, поскольку стоимость опциона растет с `σ`, но граничная цена может означать ноль, бесконечность либо отсутствие конечного решения. Проверяйте поверхности страйк-экспирация на старые котировки, пересеченные исходные данные и календарный или butterfly-арбитраж, а не считайте одну ATM IV универсальной.
7. **Отражайте локальный риск и сверяйте его с рынком.** Рассчитывайте дельту, гамму, вегу, тету и ро с указанием знака, знаменателя и временного соглашения; сохраняйте точный рыночный снимок и версию модели. Стресс-тестируйте скачки, пересмотры дивидендов, движения скоса и срочной структуры, заем, дискретное хеджирование, транзакционные издержки и ликвидность. Отдельно сверяйте теоретическую стоимость, исполнимый bid или ask, исполнения, официальный расчет и реализованные деньги, а затем независимо воспроизводите существенные расчеты.

<a id="example"></a>

## Примеры расчетов

- **Оценка замкнутой формулой и паритет.** Пусть `S₀ = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5.00%`, `q = 2.00%` и `σ = 20.00%`. Тогда `d₁ = 0.250000`, `d₂ = 0.050000`, `N(d₁) = 0.598706326` и `N(d₂) = 0.519938806`. Колл равен `C = $9.227006`, а пут `P = $6.330081`. Разность `C − P = $2.896925` согласуется с `$100e^(−0.02) − $100e^(−0.05) = $2.896925`; это модельные значения на единицу до множителя и издержек.
- **Для греков нужны единицы.** При тех же исходных данных дельта колла равна `0.586851`, дельта пута `−0.393348`, а общая гамма `0.018951 delta per $1 underlying move`. Вега равна `37.901158 per 1.00 volatility`, то есть `$0.379012 per 1 volatility point`. Тета колла равна `−$5.089319 per year`, или `−$0.013943 per calendar day` при простом соглашении отображения `÷ 365`; ро колла равна `49.458109 per 1.00 decimal rate`, или `$0.494581 per 100 bp`. Эти локальные чувствительности первого или второго порядка меняются при движении исходных данных и должны умножаться на множитель контракта и размер позиции.
- **От рыночной цены к диапазону IV.** Сохраним `S₀ = $100`, `K = $100`, `T = 1`, `r = 5.00%` и `q = 2.00%`. Рыночная цена колла `$11.123762` обращается в `σ = 25.00%`, при `d₁ = 0.245000` и `d₂ = −0.005000`. Для сравнения модельные значения при `20.00%` и `30.00%` равны `$9.227006` и `$13.020281`. Если исполнимая котировка составляет `$10.90 bid / $11.35 ask`, согласованное обращение дает `24.410353% bid IV / 25.596190% ask IV`; публикация одной средней IV скрывает этот исполнимый диапазон.
- **Известный дискретный дивиденд и паритет.** Пусть `S₀ = $100`, `K = $95`, `T = 0.5`, непрерывно начисляемая `r = 4.00%`, а известный денежный дивиденд `$2` выплачивается в `t = 0.25`. Его приведенная стоимость равна `PV(D) = $2e^(−0.04 × 0.25) = $1.980100`, а `PV(K) = $95e^(−0.04 × 0.5) = $93.118874`. Согласованный европейский паритет равен `C − P = S₀ − PV(D) − PV(K) = $4.901026`; если `C = $8.20`, то `P = $3.298974`. Замена этого датированного потока недокументированной непрерывной `q` или прямое применение равенства к американским опционам меняет требование.

<a id="risks"></a>

## Риски и процедуры проверки

- Перед применением модели проверяйте точную серию, юридическое требование и регулирующую спецификацию продукта.
- Подтверждайте американские, европейские или иные права исполнения; название и тип базового актива не дают окончательного ответа.
- Различайте денежный расчет, физическую поставку и скорректированную корзину, включая множитель и валюту.
- Фиксируйте официальный источник расчета, время определения, округление, исправления и правила сбоев.
- Согласовывайте наблюдения спота, опциона, ставки, дивиденда и займа по одному обоснованному времени.
- При расчете `T` различайте последний момент торговли, экспирацию, срок подачи инструкции на исполнение и дату расчета.
- Применяйте согласованные календари, правила подсчета дней, годового пересчета и непрерывного или дискретного начисления.
- Не подставляйте механически парную доходность Treasury вместо требуемой нулевой ставки или коэффициента дисконтирования.
- Моделируйте известные суммы и даты дивидендов; непрерывная `q` может скрыть риск досрочного исполнения и события.
- Учитывайте дефицит займа акций, финансирование, обеспечение и ограничения короткой продажи, когда от них зависит репликация.
- Проверяйте европейские границы и паритет только по действительно согласованным требованиям и синхронизированным исполнимым данным.
- Считайте старые, пересеченные, заблокированные, односторонние или недостаточные по размеру котировки признаками плохого качества данных.
- Публикуйте bid и ask IV при существенном спреде; средняя цена не является исполнимой сделкой.
- Выявляйте сбой поиска корня, граничные решения, чувствительность допуска и произвольные пределы волатильности.
- Проверяйте интерполяцию и экстраполяцию поверхности на календарный, вертикальный и butterfly-арбитраж.
- Стресс-тестируйте скачки, отчетность, распределения, приостановку торговли и гэпы, нарушающие предпосылку непрерывной диффузии.
- Стресс-тестируйте стохастическую волатильность, динамику скоса и корреляцию спота, волатильности, ставок и дивидендов.
- Оценивайте дискретную ребалансировку, задержку, влияние на рынок, комиссии и невозможность непрерывной торговли.
- Указывайте знак, масштаб и временное соглашение каждого грека и не экстраполируйте локальную производную слишком далеко.
- Разделяйте модельную стоимость, исполнимую цену, бухгалтерский или налоговый показатель, официальный расчет и реализованный P&L.

<a id="misconceptions"></a>

## Распространенные заблуждения

- **«Блэк-Шоулз дает юридически правильную или исполнимую цену».** Правила контракта определяют требование, а рынок определяет доступные сделки; модель дает условный ориентир.
- **«`N(d₂)` является реальной вероятностью экспирации в деньгах».** Это модельная риск-нейтральная величина при заданных нумерайре и предпосылках, а не физический прогноз.
- **«Подразумеваемая волатильность наблюдается непосредственно и предсказывает реализованную».** Она выводится из цены через выбранную модель и может включать премии за риск, спрос, предложение и ошибку данных.
- **«Одна волатильность и один набор греков подходят каждому страйку и сроку».** На рынках существуют поверхности, а локальные чувствительности меняются со состоянием, временем и моделью.
- **«Непрерывное дельта-хеджирование устраняет риск опциона».** Остаются скачки, дискретная торговля, ликвидность, издержки, досрочное исполнение, ошибка дивидендов и неверная спецификация модели.

<a id="related"></a>

## Связанные темы

- [Подразумеваемая волатильность](/ru/options/implied-volatility/)
- [Биномиальная оценка опционов](/ru/options/binomial-option-pricing/)
- [Американские и европейские опционы](/ru/options/american-and-european/)

<a id="sources"></a>

## Авторитетные источники

- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - исходная непрерывная модель Блэка-Шоулза для оценки опционов и корпоративных обязательств.
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143) - безарбитражная разработка Мертона, ее предпосылки и результаты оценки опционов.
- [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - дискретная модель Кокса-Росса-Рубинштейна и предельная конструкция для моделирования исполнения и событий.
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - расширение со стохастической волатильностью, показывающее модельный риск за пределами постоянной `σ`.
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - права, исполнение, назначение, расчет и риски стандартизированных опционов.
- [S&P 500 Index Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable-products/sp-500/spx-options/spx-specifications/) - специальное для продукта подтверждение необходимости определить исполнение, расчет, множитель и торговые сроки до оценки.
- [Treasury Yield Curve Methodology](https://home.treasury.gov/policy-issues/financing-the-government/interest-rate-statistics/treasury-yield-curve-methodology) - официальное описание парной кривой Treasury, исходных данных и построения; парная точка не является автоматически нулевой ставкой модели.
- [Search Filings](https://www.sec.gov/search-filings) - портал поиска отчетности эмитентов и ценовых приложений; существенные условия нужно брать из найденного документа, а не выводить из страницы поиска.

Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/black-scholes-model/index.mdx