--- title: "Дельта и гамма: локальное направление, кривизна и единицы позиции" description: "Измеряйте локальное направление и кривизну опциона с явными координатами модели, знаковыми количествами, совместимыми множителями, оценками второго порядка, единицами хеджа, конечно-разностными проверками и полной переоценкой." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Дельта и гамма: локальное направление, кривизна и единицы позиции > Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам. ## Краткий ответ Для модельной стоимости `V(S, t, σ, ...)` **дельта** является локальной первой производной `Delta = ∂V / ∂S`, а **гамма** — локальной кривизной `Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S`. Дельта оценивает изменение стоимости при небольшом движении выбранной координаты базового актива на одну единицу; гамма оценивает, как при таком движении меняется дельта. Обе величины являются модельными результатами на определенный момент времени, а не прогнозами, вероятностями, исполнимыми котировками или постоянными коэффициентами хеджирования. Их смысл зависит от точного требования, знака позиции, ценовой координаты, поверхности волатильности, времени, ставок, выплат, стоимости заимствования, модели исполнения, расчета, единицы котировки, множителя и масштаба поставщика.
Кривая стоимости опциона с касательной для дельты и меняющимися наклонами для гаммы Кривая стоимости опциона с касательной для дельты и меняющимися наклонами для гаммы
Дельта — локальная касательная; гамма — локальная скорость изменения этой касательной.
## Ведомость греков с согласованными знаками и единицами Пусть `q` — число опционных контрактов со знаком, положительное для длинной и отрицательное для короткой позиции; `M` — совместимый множитель премии; `h` — число единиц базового актива со знаком; `Delta_i` — модельная дельта на единицу опциона; `Gamma_i` — модельная гамма на единицу опциона и на движение цены на одну единицу. Дельта позиции в эквивалентных базовому активу единицах равна `Δ_pos = q × M × Delta_i + h`, а гамма позиции — `Γ_pos = q × M × Gamma_i`. Дельта одной длинной единицы акции равна `+1`, гамма — `0`. 1. Зафиксируйте точную серию, временную отметку, знак длинной или короткой позиции, количество, множитель, предмет поставки, валюту котировки, координату базового актива, стиль исполнения, способ расчета и версию модели. Не неттируйте греки экономически разных требований только из-за сходства символов. 2. Укажите координату производной и масштаб. Отличайте спотовую дельту от форвардной, фьючерсной, скорректированной на премию или денежной; отличайте гамму на `$1`, пункт индекса, пункт фьючерса или `1% spot move`; фиксируйте, умножил ли поставщик значение на число контрактов или множитель. 3. Заморозьте состояние модели: спот или форвард, ставки, дивиденды, стоимость заимствования, время до точного момента экспирации, поверхность волатильности, правило шока sticky-strike или sticky-delta, обработку дискретных событий и численный метод. Отображаемый грек без этого состояния нельзя независимо воспроизвести. 4. Для небольшого движения `ΔS` рассчитайте изменение Тейлора на единицу `ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²` и обновленную локальную дельту `Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS`. Умножьте оценку цены на знаковое `q × M`; не умножайте повторно уже агрегированное поставщиком значение. 5. Проверяйте аналитические греки или данные поставщика центральными сдвигами там, где функция цены гладкая: `Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S)` и `Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S²`. Уменьшайте и увеличивайте `h_S`, чтобы выявить эффекты ошибки усечения, потери значимости, сетки или повторной калибровки поверхности. 6. Агрегируйте только после нормализации каждой ноги к одинаковым эквивалентным базовому активу единицам, единице цены, валюте, временной отметке и соглашению о знаках. Затем добавьте единицы хеджа акциями или фьючерсами и проведите стресс-тест спота, времени, волатильности, скью, ставок, дивидендов, заимствования, скачков и границ исполнения. 7. Для конечных сценариев используйте полную переоценку как контроль, а для торговли — исполнимые цены bid и ask. Сверяйте исполнения, количество хеджа, комиссии, заимствование, назначение, расчет, версию модели и греки после шока, не считая локальную оценку Тейлора реализованной прибылью или убытком. Для обычных длинных ванильных коллов и путов в гладкой европейской модели гамма положительна; короткая позиция меняет знак гаммы позиции. Это не универсальное утверждение о цифровых выплатах, барьерах, границах американского исполнения, скорректированных требованиях, портфелях или соглашениях поставщиков. Ближе к экспирации гамма может концентрироваться около страйка и оставаться малой далеко в деньгах или вне денег, а скачки делают непрерывное локальное описание неполным. ## Разобранные примеры - **Локальная оценка цены и хеджа длинного колла.** Длинный колл имеет стоимость `V_0 = $3.10`, `Delta_i = 0.42`, `Gamma_i = 0.06`, `q = +1` и `M = 100`. При `ΔS = +$1.50` член дельты равен `0.42 × $1.50 = $0.6300` на акцию, а член кривизны — `½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675`, поэтому `ΔV_Taylor = $0.6975` на акцию или `+$69.75` на контракт. Оценочная стоимость равна `$3.7975`, а `Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51`. Дельта позиции меняется с `+42 shares` примерно до `+51 shares`; статический хедж 42 короткими акциями больше не нейтрален. - **Короткая гамма меняет знаки позиции.** Для шести коротких коллов `q = −6`, `M = 100`, `Delta_i = 0.55` и `Gamma_i = 0.04`. Начальная дельта позиции равна `−330 shares`, гамма позиции — `−24 shares per $1`. При `ΔS = +$2` оценочная дельта позиции меняется на `−48 shares` до `−378 shares`; прибыль или убыток опционов приблизительно равна `−6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708`. При `ΔS = −$2` та же локальная формула дает `+$612`. Дельта-нейтральный трейдер купил бы около 48 дополнительных акций на росте или продал около 48 на падении до учета затрат и изменений модели. - **Агрегация портфеля включает акции и знаковые опционные ноги.** Держите четыре колла с `Delta_i = 0.35` и `Gamma_i = 0.025`, продайте три пута с `Delta_i = −0.40` и `Gamma_i = 0.030`, используйте `M = 100` и продайте `200 shares` без покрытия. Опционная дельта равна `+140 + 120 = +260 shares`; после учета акций чистая дельта равна `+60 shares`. Опционная гамма равна `+10 − 9 = +1 share per $1`. При `ΔS = +$5` локальная чистая дельта становится примерно `+65 shares`. Две опционные ноги дают `+$825.00` и `+$487.50`, а акции — `−$1,000`, поэтому оценка портфеля второго порядка составляет `+$312.50` до комиссий, стоимости заимствования, изменений подразумеваемой волатильности и времени. - **Локальная атрибуция Тейлора и полная переоценка.** Для европейского колла с `S = 100`, `K = 100`, `r = 4%`, непрерывной доходностью `y = 1%`, `σ = 25%` и `τ = 0.5` эталон Блэка-Шоулза дает `V_0 = 7.7215522303`, `Delta_i = 0.5659323171` и `Gamma_i = 0.0221205770`. При `ΔS = +5` оценка второго порядка равна `0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980` на акцию. Полная переоценка при той же подразумеваемой волатильности дает `V_1 = 10.8172471731`, изменение `3.0956949428`, поэтому локальная оценка отличается на `0.0104738552`, или примерно `$1.047386` при множителе 100. Если подразумеваемая волатильность также возрастает до `30%`, полная стоимость равна `12.1628459929`; общее изменение `4.4412937626` нельзя объяснить только исходными дельтой и гаммой. ## Риски и меры контроля - Неверная серия, корневой символ, экспирация, страйк, тип опциона или предмет поставки делают карту греков недействительной. - Пропуск знака длинной или короткой позиции меняет знак дельты и гаммы позиции, направление хеджа и атрибуцию прибыли или убытка. - Количество контрактов и множитель премии могут быть учтены дважды или пропущены. - Скорректированные контракты и опционы на фьючерсы могут использовать единицы, не являющиеся обычными акциями. - Спотовая, форвардная, фьючерсная, скорректированная на премию и денежная дельты не взаимозаменяемы. - Гамма на единицу цены отличается от гаммы, масштабированной к `1% spot move`, или денежной гаммы. - Валюта и конвертация FX могут сделать внешне сопоставимые греки несогласованными. - Разные временные отметки или устаревшие котировки базового актива и опциона создают ложное неттирование. - Греки по средней цене или модели не гарантируют исполнимых цен опциона или хеджа. - Выбор поверхности волатильности, sticky-правила, скью и срочной структуры меняет оба грека. - Допущения о ставках, дивидендах, заимствовании и финансировании влияют на модельные стоимости и хеджи. - Американское исполнение и дискретные дивиденды создают границы, отсутствующие в гладкой европейской формуле. - Денежный расчет, физическая поставка и запасы после исполнения создают разные операционные риски. - Негладкость около экспирации может сделать гамму большой, нестабильной или зависимой от сетки рядом со страйком. - Большие движения делают экстраполяцию с постоянными дельтой и гаммой недействительной. - Скачки, приостановки торгов и гэпы обходят допущение о непрерывной ребалансировке. - Слишком большие конечно-разностные сдвиги добавляют ошибку усечения, а слишком малые — шум потери значимости. - Неттирование разных экспираций, поверхностей, моделей, валют или типов расчета может скрыть базисный риск. - Дискретный размер хеджа, bid-ask спред, комиссии, влияние на рынок, заимствование акций и ликвидность меняют реализованный результат. - Различия модели, поставщика, округления, назначения, расчета и брокерских записей требуют окончательной сверки. ## Распространенные заблуждения - «Дельта — универсальная вероятность». Это локальная производная; вероятностные интерпретации требуют конкретных моделей, нумерайров и соглашений. - «Дельта остается постоянной». Ее меняют гамма и каждый изменяющийся вход модели. - «У дельта-нейтрального портфеля нет риска». Остаются гамма, вега, тета, скачки, базис, ликвидность, исполнение и модельный риск. - «Гамма непосредственно прогнозирует изменение цены». Она входит в локальное разложение цены через `½ × Gamma_i × (ΔS)²` и сама меняется во время движения. - «Точные греки устраняют необходимость полной переоценки». Локальные производные помогают атрибуции; конечные сценарии, исполнение и события жизненного цикла по-прежнему требуют полной оценки и сверки. ## Связанные темы - [Шарм, ванна и вомма](/ru/options/charm-vanna-vomma/) - [Дельта-гамма-приближение](/ru/options/delta-gamma-approximation/) - [Дельта-нейтральные позиции](/ru/options/delta-neutral/) ## Авторитетные источники - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - Oxford University Press - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/delta-and-gamma/index.mdx