--- title: "Дельта-гамма-приближение: локальный P/L, единицы и переоценка" description: "Оценивайте локальные изменения стоимости опционов и портфеля с помощью знаковых дельты, гаммы и кросс-гаммы, совместимых единиц, конечно-разностных проверок и контроля полной переоценкой." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Дельта-гамма-приближение: локальный P/L, единицы и переоценка > Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам. ## Краткий ответ Для модельной стоимости `V_i(S, x)` при фиксированных временной отметке и состоянии модели однофакторное **дельта-гамма-приближение** имеет вид `ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²`. Здесь `Delta_i = ∂V_i / ∂S`, `Gamma_i = ∂²V_i / ∂S²`, а `ΔS` — абсолютное движение в той же ценовой координате базового актива, по которой рассчитаны производные. Формула представляет собой локальную оценку Тейлора второго порядка для изменения модельной стоимости. Это не прогноз, вероятность, исполнимый P/L или замена полной переоценки. Для ее интерпретации нужны точное требование, знак позиции, множитель, валюта, координата, поверхность волатильности, время, ставки, дивиденды, стоимость заимствования, модель исполнения, расчет и масштаб поставщика.
Кривая стоимости опциона с касательной дельты и поправкой на кривизну гаммы Кривая стоимости опциона с касательной дельты и поправкой на кривизну гаммы
Дельта-гамма-оценка локальна; полная переоценка контролирует конечный сценарий.
## Ведомость приближения с согласованными знаками и единицами Пусть `q_i` — знаковое число опционных контрактов, положительное для длинной и отрицательное для короткой позиции; `M_i` — совместимый множитель премии; `h` — знаковое число единиц базового актива. Для требований на одну совместимую ценовую координату дельта позиции равна `D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i`, гамма позиции — `G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i`, а локальная оценка позиции — `ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)²`. Дельта одной длинной единицы акции равна `+1`, гамма — `0`. 1. Зафиксируйте каждую точную серию, временную отметку, знак позиции, количество, множитель, предмет поставки, валюту, стиль исполнения, способ расчета, ценовую координату и версию модели. Сходные символы не доказывают совместимость требований. 2. Заморозьте состояние модели и соглашение о шоке: спот или форвард, ставки, дивиденды, стоимость заимствования, точное время до экспирации, поверхность волатильности, правило sticky-strike или sticky-delta и обработку дискретных событий. Одновременное изменение времени или волатильности не является чистым спотовым дельта-гамма-сценарием. 3. Нормализуйте каждую ногу к совместимым грекам на единицу. Различайте спотовую, форвардную, фьючерсную, скорректированную на премию и денежную дельты; гамму на `$1`, пункт индекса, пункт фьючерса или `1% spot move`; и данные поставщика, которые уже могут включать количество или множитель. 4. Агрегируйте со знаковым `q_i × M_i`, затем отдельно добавьте хедж базовым активом. Не неттируйте несходные валюты, координаты, экспирации, способы расчета или независимо калиброванные поверхности только потому, что панель показывает одно число. 5. Для нескольких факторов риска `x` используйте форму градиента и матрицы Гессе `ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx`. В симметричной матрице Гессе внедиагональная пара учитывается внутри квадратичной формы дважды, поэтому ее упрощенный вклад равен `Gamma_AB × ΔA × ΔB`, а не нулю и не удвоенной повторно величине. 6. Проверяйте греки гладкой модели центральными сдвигами: `Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε)` и `Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε²`. Меняйте `ε`, чтобы выявить эффекты ошибки усечения, потери значимости, сетки и повторной калибровки поверхности. 7. Полностью переоценивайте каждую ногу для конечных сценариев и сверяйте остаток. Для торговли заменяйте модельные отметки исполнимыми ценами bid-ask и учитывайте исполнения, комиссии, проскальзывание хеджа, заимствование, дивиденды, назначение, исполнение, расчетные денежные потоки, налоги и греки после шока. Добавлять `Vega × ΔIV` или `Theta × Δt` можно только после определения единиц волатильности и времени и направления производной по времени. Даже тогда могут быть упущены ванна, вомма, шарм, изменение формы скью, перекрестные члены и высшие порядки. Разбиение большого шока на шаги помогает лишь при обновлении всего состояния и греков; оно остается приближением и может зависеть от пути. ## Разобранные примеры - **Один колл против полной переоценки.** Европейский колл имеет `S = 100`, `K = 100`, `r = 4%`, непрерывную доходность `y = 1%`, `σ = 25%` и `τ = 0.5`. Эталон Блэка-Шоулза дает `V_0 = 7.7215522303`, `Delta_i = 0.5659323171` и `Gamma_i = 0.0221205770`. При `ΔS = +5` член дельты равен `2.8296615855`, член гаммы — `0.2765072125`, а оценка — `ΔV_DG = 3.1061687980`, поэтому оценочная стоимость равна `10.8277210283`. Полная переоценка при той же IV дает `V_1 = 10.8172471731`, изменение `3.0956949428` и остаток `full − DG = −0.0104738552` на акцию, или `−$1.047386` при `M = 100`. Если конечная IV вместо этого равна `30%`, полная стоимость составляет `12.1628459929`, общее изменение — `4.4412937626`; исходная оценка только по споту упускает `1.3351249646` изменения состояния и взаимодействия. - **Знаковая короткая позиция.** Шесть коротких коллов имеют `q = −6`, `M = 100`, `Delta_i = 0.55` и `Gamma_i = 0.04`, поэтому `D_pos = −330 shares`, а `G_pos = −24 shares per $1`. При `ΔS = +2` члены дельты и гаммы равны `−$660` и `−$48`, итог — `−$708`, обновленная дельта — около `−378 shares`. При `ΔS = −2` они равны `+$660` и `−$48`, итог — `+$612`, обновленная дельта — около `−282 shares`. Отрицательная гамма делает вклад кривизны отрицательным в обоих направлениях, но не делает общий P/L симметричным. - **Опционы вместе с хеджем акциями.** Держите четыре колла с `Delta_i = 0.35` и `Gamma_i = 0.025`, продайте три пута с `Delta_i = −0.40` и `Gamma_i = 0.030`, используйте `M = 100` и продайте `200 shares` без покрытия. Опционная дельта равна `+140 + 120 = +260 shares`; чистая `D_pos = +60 shares`. Гамма равна `+10 − 9 = +1 share per $1`. При `ΔS = +5` оценка позиции составляет `60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50`, а обновленная дельта — около `+65 shares`. Атрибуция по ногам равна `+$825.00` от коллов, `+$487.50` от путов и `−$1,000` от акций, что сверяется с `+$312.50`. - **Двухфакторная кросс-гамма.** Пусть `ΔA = +2`, `ΔB = −3`, `Delta_A = 120`, `Delta_B = −80`, `Gamma_AA = 4`, `Gamma_BB = 2`, а симметричная `Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5`; все величины уже выражены в совместимых единицах позиции и валюты. Линейный член равен `120 × 2 + (−80) × (−3) = 480`; диагональная кривизна — `½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17`; упрощенный перекрестный член — `1.5 × 2 × (−3) = −9`. Итог равен `488`. При исключении кросс-гаммы получается `497`; при повторном удвоении упрощенного перекрестного члена — `479`. ## Риски и меры контроля - Неверная серия, корневой символ, экспирация, страйк, тип опциона или предмет поставки делают приближение недействительным. - Пропуск знака позиции меняет знак дельты и гаммы, направление хеджа и атрибуцию. - Число контрактов и множитель премии могут быть учтены дважды или пропущены. - Скорректированные контракты, опционы на фьючерсы и агрегированные греки поставщика могут использовать нестандартные единицы. - Спотовая, форвардная, фьючерсная, логарифмическая, скорректированная на премию и денежная координаты не взаимозаменяемы. - Абсолютный ценовой шок отличается от процентного шока или шока в стандартных отклонениях. - Валюта и конвертация FX могут сделать внешне сопоставимые греки несогласованными. - Разные временные отметки или устаревшие отметки базового актива, поверхности и опциона создают ложное неттирование. - Правила sticky-strike, sticky-delta, скью и срочной структуры меняют измеренную чувствительность. - Ставки, дивиденды, заимствование, финансирование и точное время экспирации влияют на стоимости и греки. - Члены времени и волатильности могут иметь противоположные знаки или множитель 100 при разных единицах поставщика. - Американское исполнение и дискретные дивиденды создают границы, отсутствующие в гладкой европейской формуле. - Цифровые, барьерные и другие разрывные требования могут иметь нестабильную или распределенноподобную гамму. - Вблизи экспирации гамма и конечные разности могут сильно зависеть от страйка и сетки. - Большие шоки выявляют третий и высшие порядки, упущенные фиксированными начальными греками. - Скачки, гэпы и приостановки торгов обходят допущения о непрерывной локальной ребалансировке. - Кросс-гамма, корреляция и отображение факторов могут быть пропущены или учтены дважды в мультиактивных портфелях. - Слишком большие конечно-разностные сдвиги добавляют ошибку усечения, а слишком малые — шум потери значимости. - Модельные отметки и греки не гарантируют исполнимую цену, объем или ликвидность хеджа. - Динамическое хеджирование, комиссии, влияние на рынок, заимствование, назначение, расчет, версии модели и записи брокера требуют окончательной сверки. ## Распространенные заблуждения - «Член гаммы равен `Gamma_i × (ΔS)²`». Коэффициент Тейлора равен `½`. - «Положительная гамма гарантирует прибыль в любом направлении». Локально она улучшает стоимость относительно касательной; дельта, премия, время, волатильность, затраты и путь по-прежнему важны. - «Дельта-нейтральность означает отсутствие риска». Она устраняет один текущий член первого порядка, но не гамму, вегу, тету, скачки, базис, ликвидность или модельный риск. - «Добавление любых отображаемых веги и теты завершает оценку P/L». Должны также совпадать единицы, направление производной, перекрестные чувствительности, изменения поверхности и высшие порядки. - «Точные греки или повторные малые шаги заменяют полную переоценку». Они улучшают атрибуцию, однако конечные сценарии, исполнение и события жизненного цикла по-прежнему требуют полной оценки и сверки. ## Связанные темы - [Дельта и гамма](/ru/options/delta-and-gamma/) - [Шарм, ванна и вомма](/ru/options/charm-vanna-vomma/) - [Дельта-нейтральные позиции](/ru/options/delta-neutral/) ## Авторитетные источники - [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062) - University of Chicago Press - [Option Pricing: A Simplified Approach](https://doi.org/10.1016/0304-405X(79)90015-1) - Elsevier - [Value at Risk for Linear and Non-Linear Derivatives](https://openscholar.uga.edu/record/7803) - University of Georgia - [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks) - The Options Industry Council - [Volatility & the Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/volatility-the-greeks) - The Options Industry Council - [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/) - Cboe Exchange, Inc. - [NUMERICAL DERIVATIVE (LET)](https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/auxillar/numderiv.htm) - National Institute of Standards and Technology - [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document) - The Options Clearing Corporation Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/delta-gamma-approximation/index.mdx