---
title: "Локальная волатильность Дюпира: от поверхности опционов к диффузии"
description: "Проверка локальной волатильности Дюпира в координатах цены, форварда и полной дисперсии с контролем безарбитражной подгонки, устойчивости производных, переоценки и динамического модельного риска."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---
> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# Локальная волатильность Дюпира: от поверхности опционов к диффузии
> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.
## Краткий ответ
**Локальная волатильность Дюпира** — это детерминированный мгновенный коэффициент диффузии `σ_loc(S,t)`, восстановленный по достаточно гладкой безарбитражной поверхности цен европейских опционов. В рамках выбранной риск-нейтральной модели стоимости переноса он задаёт одну диффузию, одномоментные маргинальные распределения которой воспроизводят сегодняшние цены ванильных опционов по страйкам и срокам.
Это результат калибровки, а не подразумеваемая волатильность на том же страйке, прогноз реализованной волатильности или доказательство того, что рынок следует единственному закону траекторий локальной волатильности. Точная переоценка ванильных опционов может сочетаться с неверной будущей динамикой улыбки, ценами барьеров, результатами хеджирования и поведением скачков.
## Модель, координаты и процесс контроля
1. Зафиксируйте точную европейскую выплату, базовый актив, расчётную величину, время котировки, валюту, единицы страйка и срока, а также момент оценки. Стоимость досрочного исполнения американского опциона и скачки дискретных дивидендов требуют явного преобразования в европейский эквивалент либо другой модели.
2. Постройте детерминированные входы дисконтирования и переноса: `D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du)`, `D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du)` и `F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T)`. Сверяйте форварды по синхронному паритету пут-колл, не смешивая устаревшие наблюдения по акции, опционам, ставкам и дивидендам.
3. Очистите котировки спроса и предложения, исключите устаревшие и перекрещенные рынки, согласованно преобразуйте путы и коллы. До дифференцирования обеспечьте вертикальные границы, убывание и выпуклость цен коллов, неотрицательную плотность и календарную согласованность в одной дисконтно-форвардной системе координат.
4. Подберите гладкую поверхность цен или полной дисперсии с явно заданными интерполяцией и экстраполяцией по крыльям и времени. Для дисконтированных на момент ноль европейских коллов `C(K,T)` и детерминированных мгновенных `r(T)` и `q(T)` формула в ценовых координатах имеет вид `σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK]`, где в `C_T` фиксировано `K`, а `C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0`.
5. Согласуйте производную с её координатой. При `k=K/F(T)` и нормированной цене колла `c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T))` получаем `σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk)`. Для логарифмической форвардной денежности `y=ln(K/F(T))` и полной подразумеваемой дисперсии `w(y,T)=σ_BS²(y,T)T` определите `g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2` и используйте `σ_loc²=w_T|y/g`. Необходимо `w_T|y≥0` и `g>0`; производные при фиксированных `K`, `k` и `y` не взаимозаменяемы.
6. Отбрасывайте отрицательную или неустойчивую локальную дисперсию, а не вводите для неё скрытый нижний предел. Возмущайте котировки, форварды, дивиденды, узлы, интерполяцию, сетки и границы; затем переоценивайте калибровочные и отложенные опционы через прямую плотность либо обратную PDE и реализации Монте-Карло.
7. Сравнивайте барьеры, другие зависящие от траектории требования и P/L хеджирования в сценариях локальной и стохастической волатильности и скачков. Фиксируйте версию котировок, фильтры, кривые, параметры поверхности, схему производных, неудачные узлы, экстраполяцию, допуски решателя и изменения при повторной калибровке.
## Четыре примера
- **Плоская поверхность Блэка-Шоулза восстанавливает исходный параметр.** Пусть `S₀=K=100`, `T=0.5`, `r=4%`, `q=1%` и `σ_BS=25%`. Точная поверхность даёт `C=7.721552230288`, `C_K=−0.488716794830`, `C_KK=0.022120576997` и `C_T=8.301615173889`. Числитель равен `6.912680311701`, знаменатель — `110.602884987209`, поэтому `σ_loc²=0.0625` и `σ_loc=25%`.
- **Вторые производные усиливают малые ошибки цены.** На той же плоской поверхности цены коллов для страйков `99/100/101` равны `8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654`. При шаге `h=$1` центральная оценка составляет `C_KK≈0.022115059190`, что при остальных точных производных даёт `σ_loc≈25.0031186%`. Повышение только среднего колла на `$0.01` меняет оценку на `C_KK≈0.002115059190` и `σ_loc≈80.8494317%`; повышение на `$0.05` даёт `C_KK≈−0.077884940810` и `σ_loc²≈−0.017751006138`. Это недопустимый результат, а не прогноз волатильности.
- **Форвардная нормировка требует производной по времени при фиксированном `k`.** Пусть `D_d=0.98`, `F=102`, `k=1`, `c=0.08`, `c_T|k=0.032` и `c_kk=3.20`. Тогда `C=7.9968`, `C_KK=0.030745098039`, числитель в ценовых координатах равен `3.19872`, а знаменатель — `159.936`. Обе формулы дают `σ_loc²=0.020000000000` и `σ_loc=14.1421356237%`. Производную по времени при фиксированном страйке нельзя подставлять как `c_T|k` без слагаемого преобразования координат.
- **Знаменатель полной дисперсии служит диагностикой арбитража.** При `y=−0.1` пусть `w=0.04`, `w_y=−0.10`, `w_yy=0.50` и `w_T|y=0.02`. Тогда `g=0.9525`, `σ_loc²=0.020997375328` и `σ_loc=14.4904711200%`. Если только `w_yy` меняется на `−1.50`, то `g=−0.0475`, а формула даёт `σ_loc²=−0.421052631579`; подобранную поверхность или узел нужно отклонить либо исправить, а не обрезать результат и выдавать его за калибровку.
## Контрольный список калибровки
- Стоимость американского исполнения может загрязнить поверхность, считающуюся европейской.
- Дискретные или неопределённые дивиденды нарушают гладкую диффузию с непрерывной доходностью в даты событий.
- Кривые ставок, начисление, правила подсчёта дней и моменты погашения могут быть несогласованны.
- Можно смешать координаты спота, страйка, форварда, логарифмической денежности и нормированной премии.
- Котировки могут быть устаревшими, асинхронными, перекрещенными или относиться к несовместимым объёмам.
- Средние цены не исполнимы и могут скрывать широкий или односторонний рынок.
- Паритет пут-колл и восстановленные форварды могут искажаться займом, дивидендами или временем наблюдения.
- Вертикальные границы и монотонность колла могут нарушаться ещё до подбора поверхности.
- Выпуклость по бабочке и условие положительной плотности могут нарушаться локально или в крыльях.
- Календарные условия следует проверять в согласованных дисконтно-форвардных координатах.
- Короткие сроки и редкие страйки делают производные неустойчивыми.
- Экстраполяция крыльев и дальних сроков может определять оценку экзотических опционов.
- Конечные разности, сплайны и автоматическое дифференцирование по-разному усиливают шум котировок.
- Плотность, близкая к нулю, делает знаменатель локальной дисперсии плохо обусловленным.
- Отрицательный числитель или локальная дисперсия указывают на несогласованные входы, арбитраж или численные ошибки.
- Скрытое обрезание или ограничение снизу может замаскировать сбой калибровки и исказить переоценку.
- Реализации PDE, плотности, Монте-Карло, сеток и граничных условий могут расходиться.
- Совпадение одномоментных маргинальных распределений не определяет будущую динамику улыбки или траекторий.
- Скачки, стохастическая волатильность, барьеры и дискретное хеджирование оставляют модельный риск.
- Версии данных, фильтры, версии параметров, неудачные узлы и повторная калибровка требуют управления.
## Распространённые заблуждения
- «Локальная волатильность равна подразумеваемой волатильности на том же страйке». Это разные объекты, связанные всей поверхностью.
- «Гладкая на вид поверхность обязательно даёт устойчивую локальную волатильность». Одна гладкость не гарантирует отсутствие арбитража и хорошую обусловленность производных.
- «Точная переоценка ванильных опционов доказывает правильность цен экзотики и хеджирования». Она проверяет статические маргинальные распределения, а не динамическую истину.
- «Отрицательная локальная дисперсия — рыночная информация». Обычно это признак несогласованных котировок, арбитража, координат, интерполяции или численных методов.
- «Сегодняшняя поверхность однозначно предсказывает реализованную волатильность или истинный процесс». У разных динамик могут совпадать одномоментные распределения ванильных опционов.
## Связанные темы
- [Подразумеваемая волатильность](/ru/options/implied-volatility/)
- [Арбитраж «бабочка»](/ru/options/butterfly-arbitrage/)
- [Календарный арбитраж](/ru/options/calendar-arbitrage/)
## Первичные и авторитетные источники
- [Pricing with a smile](https://www.risk.net/derivatives/equity-derivatives/1500211/pricing-with-a-smile)
- [Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices](https://doi.org/10.1086/296025)
- [Mimicking the one-dimensional marginal distributions of processes having an Itô differential](https://doi.org/10.1007/BF00699039)
- [Arbitrage-free SVI volatility surfaces](https://doi.org/10.1080/14697688.2013.819986)
- [Volatility Interpolation](https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1694972)
- [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)
Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/dupire-local-volatility/index.mdx