---
title: "Опционы на обмен активов: модель Маргрейба и риск относительной стоимости"
description: "Оценка опциона на обмен с явным учетом количества активов, стоимости переноса, волатильности и корреляции, а также контроль рисков расчетов, исполнения и контрагента."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---
> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# Опционы на обмен активов: модель Маргрейба и риск относительной стоимости
> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.
## Краткий ответ
**Опцион на обмен активов** дает держателю право, но не обязанность, передать установленное количество одного актива и получить установленное количество другого. Если право предусматривает получение `a` единиц актива 1 в обмен на `b` единиц актива 2 в момент `T`, его выплата в общей валюте равна `max(a x S1(T) - b x S2(T), 0)`. Коэффициент обмена, идентичность активов, валюта, фиксинг и состав поставки являются условиями договора, а не множителем, который можно определить позднее.
Формула Маргрейба оценивает узкий класс европейских требований без денежной цены исполнения при совместной логнормальности активов, детерминированной пропорциональной стоимости переноса, постоянных волатильностях и корреляции, непрерывной торговле и репликации без трений. Это модельный ориентир, а не исполнимая котировка, гарантия хеджирования, стандартизированный биржевой контракт или сумма закрытия двусторонней сделки.
## Построение требования и модели
1. Запишите точную выплату, количества, общую валюту оценки, стиль исполнения, фиксинг, расчеты и правила корпоративных действий. Одного названия «опцион на обмен активов» недостаточно.
2. Для базовой модели задайте `X1 = a x S1` и `X2 = b x S2`. Зафиксируйте синхронные спотовые цены, непрерывные ставки выплат `q1` и `q2`, годовые волатильности `sigma1` и `sigma2`, корреляцию доходностей `rho` и долю года `T`.
3. Рассчитайте относительную волатильность: `sigmaR = sqrt(sigma1^2 + sigma2^2 - 2 x rho x sigma1 x sigma2)`. До использования результата проверьте ковариационные входные данные, единицы, время наблюдения и положительную полуопределенность.
4. Оцените европейское требование по формуле `V = X1 x exp(-q1 x T) x N(d1) - X2 x exp(-q2 x T) x N(d2)`, где `d1 = [ln(X1 / X2) + (q2 - q1 + 0.5 x sigmaR^2) x T] / (sigmaR x sqrt(T))`, а `d2 = d1 - sigmaR x sqrt(T)`.
5. Пересчитывайте стоимость по обоим поверхностям волатильности, корреляции, стоимости переноса, скачкам и ликвидности. Более низкая `rho` обычно повышает `sigmaR` и стоимость простого опциона на обмен, но единственная историческая корреляция не является торгуемым параметром или полным совместным распределением.
6. Сопоставьте модельное требование с реальным инструментом. У стандартных биржевых, FLEX и двусторонних внебиржевых договоров могут различаться множитель, стиль исполнения, физические или денежные расчеты, источник фиксинга, обеспечение, закрытие, неттинг, порядок споров и условия контрагента.
7. Учитывайте исполнимые стороны входа и выхода, комиссии, хеджи, финансирование, обеспечение, выплаты, расчетные денежные средства или активы и расхождение с модельной оценкой. Сверяйте юридическое подтверждение и денежный реестр, а не принимайте модельную отметку за реализованный финансовый результат.
Отсутствие явного слагаемого безрисковой ставки в элементарной формуле следует из выбора нумерара и не доказывает, что финансирование несущественно. На реальную сделку по-прежнему влияют форвардные уровни, ставки выплат, стоимость займа акций, доходность обеспечения, конвертация валют, спреды финансирования и условия закрытия. Если активы выражены в разных валютах, сначала укажите валюту расчетов и правило конвертации или кванто; вычитать необработанные цены в разных валютах бессмысленно.
## Четыре расчетных примера
- **Модельная стоимость обмена один к одному.** Пусть `S1=$110`, `S2=$100`, `a=b=1`, `T=0.5`, `sigma1=30%`, `sigma2=20%`, `rho=0.50` и `q1=q2=0`. Тогда `sigmaR=sqrt(0.30^2+0.20^2-2x0.50x0.30x0.20)=26.4575131106%`, `d1=0.6029957751`, а `d2=0.4159129058`. Модельная стоимость равна `$13.815554` на одно право, тогда как текущая внутренняя стоимость составляет `max(110-100,0)=$10`. Это результаты модели, а не предложение совершить сделку.
- **Количества должны входить в модель.** Одно право обменивает `b=200` акций актива 2 на `a=150` акций актива 1. При `S1=$80`, `S2=$55`, `T=0.75`, `sigma1=28%`, `sigma2=22%`, `rho=0.35`, `q1=1%` и `q2=3%` текущие стоимости активов равны `X1=$12,000` и `X2=$11,000`. Относительная волатильность составляет `28.9274955708%`; `d1=0.5324591424`, `d2=0.2819396820`, а модельная стоимость равна примерно `$1,799.02` на одно право. Замена договорных количеств предполагаемым множителем `100` акций меняет само требование.
- **Корреляция является модельным риском.** Вернемся к первому примеру. При `rho=0.90` значение `sigmaR=14.8323969742%`, а модельная стоимость составляет около `$11.086226`; при `rho=-0.50` значение `sigmaR=43.5889894354%`, а стоимость составляет около `$18.464726`. Разница не означает прогноза, что реализованная корреляция будет равна одному из этих параметров. Изменения поверхностей, скачки, стоимость переноса и расходы на хеджирование могут перевесить изолированный эффект.
- **Расчеты и исполнение отражаются в разных реестрах.** Каждое из 3 прав обменивает `80` акций актива 2 на `50` акций актива 1. При договорных фиксингах `S1=$140` и `S2=$80` выплата по каждому праву равна `max(50x140-80x80,0)=$600`, поэтому денежный расчет составляет `$1,800`; физический расчет вместо этого требует передать `240` акций актива 2 и получить `150` акций актива 1. Если другое действующее условие фиксинга дает `S1=$138.50` и `S2=$80.40`, денежный расчет равен `3xmax(50x138.50-80x80.40,0)=$1,479`, то есть на `$321` меньше. Модельная оценка дилера не заменяет договорной фиксинг.
## Семь этапов работы и контроля
- Неверный актив, класс акций, индекс, валюта или юридический эмитент.
- Неверное направление обмена, знак, количество, соотношение, множитель или поставляемый актив.
- Выплата в несовместимых валютах без валютного или кванто-правила.
- Несовпадение стиля исполнения, срока, времени фиксинга, часового пояса или порядка расчетов.
- Ошибка в корпоративном действии, выплате, специальном дивиденде, займе акций или удерживаемом налоге.
- Устаревшие или несинхронные споты, форварды, кривые, поверхности или валютные данные.
- Ошибка единиц волатильности, базы дней, типа доходности или масштабирования ковариации.
- Несогласованная корреляционная матрица или нестабильная историческая оценка.
- Одна корреляция скрывает зависимость от страйка, срока, режима и хвостов.
- Нарушение предположений о постоянной волатильности, корреляции или логнормальности.
- Общие или специфические скачки, дефолты, приостановки торгов и закрытия рынков.
- Одновременное изменение относительной дельты, перекрестной гаммы, веги, корреляции и переноса.
- Предположение о непрерывной репликации во время гэпа, остановки торгов или неликвидной сессии.
- Принятие модельной цены за синхронную исполнимую цену покупки или продажи.
- Перенос спецификаций FLEX или стандартного контракта на индивидуальное требование по двум активам.
- Несовпадение внебиржевого подтверждения, обеспечения, неттинга, закрытия или механизма ценового спора.
- Дефолт контрагента, риск неблагоприятной зависимости, разрыв обеспечения или неопределенность возмещения.
- Частичное исполнение хеджа, базисный риск, влияние на рынок, комиссии и асимметрия финансирования.
- Несверенные физические активы, денежный фиксинг, конвертация валют и налоги.
- Несверенные версия модели, дата входных данных, подтверждение, обеспечение и итоговый финансовый результат.
## Распространенные заблуждения
- «Опцион на обмен активов означает биржевой опцион». Первое понятие описывает выплату, второе — торговую площадку и структуру рынка.
- «Коэффициент обмена можно применить после расчета цены». Количества меняют текущую относительную стоимость и должны входить в логарифм и оба дисконтированных слагаемых активов.
- «Безрисковая ставка исчезла, значит финансирование не важно». Сокращение через нумерар не устраняет перенос, обеспечение, заем акций, валюту или дилерское финансирование.
- «Корреляция наблюдаема напрямую и стабильна». Она оценивается, зависит от состояния рынка и является лишь одной частью совместной поверхности и риска скачков.
- «Закрытая формула дает торгуемую цену закрытия». Исполнение, кредитный риск, юридические условия, ликвидность, стоимость хеджирования и ценовые споры могут дать иной результат.
## Связанные темы
- [Подразумеваемая волатильность](/ru/options/implied-volatility/)
- [Подразумеваемая корреляция](/ru/options/implied-correlation/)
- [Кванто-опционы](/ru/options/quanto-options/)
## Первоисточники
- [The Value of an Option to Exchange One Asset for Another](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1978.tb03397.x)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Understanding Options Greeks](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/understanding-options-greeks)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [FLEX Options](https://www.cboe.com/tradable-products/equity-indices/flex-options)
- [Equity FLEX Options Product Specifications](https://www.cboe.com/tradable_products/equity_indices/flex_options/specifications)
- [Swap Trading Relationship Documentation Requirements for Swap Dealers and Major Swap Participants](https://www.cftc.gov/LawRegulation/FederalRegister/FinalRules/2012-21414)
- [Option Quotes](https://datashop.cboe.com/option-quote-intervals)
Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/exchange-options/index.mdx