---
title: "Соотношение Gamma-Theta: единицы, перенос, траектории и полная переоценка"
description: "Проверка Gamma и Theta со знаками и единицами позиции, явным временем, переносом PDE, исполнимым реестром хеджа, полной переоценкой и контролем жизненного цикла."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---
> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# Соотношение Gamma-Theta: единицы, перенос, траектории и полная переоценка
> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.
## Краткий ответ
**Соотношение Gamma-Theta** представляет собой локальную модельную связь, а не фиксированную цену кривизны. Для количества со знаком `q` и множителя `M` определим `Delta_pos = q x M x Delta`, `Gamma_pos = q x M x Gamma` и `Theta_pos = q x M x Theta`. Единичная Gamma должна сопровождаться единицей цены базового актива, а Theta - указанием годовой величины, календарного или торгового дня.
У обычных длинных стандартных коллов и путов Gamma, как правило, положительна, а Theta отрицательна в рамках указанной модели. Такая интуиция может не работать для портфелей, экзотических выплат, границ исполнения и разных областей рынка. Фактический результат определяется полными оценками опциона, хеджем, денежными средствами, переносом и издержками; атрибуция по грекам объясняет его и не должна прибавляться повторно.
## Единый согласованный реестр Gamma-Theta
1. Зафиксируйте каждую серию опциона, количество со знаком, множитель, поставочный актив, валюту, стиль исполнения, способ расчетов, существующую позицию в базовом активе и целевую Delta.
2. Укажите источник и координаты греков: на акцию или контракт, масштабированы ли они на позицию, единицу спот-цены для Gamma, календарное соглашение для Theta и единицу Vega - на `1 vol point` или на `1.00` волатильности.
3. Одновременно сохраните исполнимые bid, ask и объем опциона и базового актива, спот, форвард, поверхность волатильности, ставки, дивиденды, заем, FX, время до экспирации и точные отметки времени.
4. Один раз агрегируйте валовые и чистые Delta, Gamma, Theta и Vega со знаком. Для фиксированного локального состояния используйте `Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma` с согласованными единицами и знаками.
5. Считайте локальный порог только диагностикой. При допущениях Блэка-Шоулза и непрерывной дивидендной доходности `q_div` выполняется `Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0`, поэтому в связь входят финансирование и дивидендный перенос.
6. Полностью переоценивайте спот, время, уровень волатильности, наклон, срочную структуру, ставки, дивиденды, скачки, тренды, колебания, разрывы и альтернативные графики хеджирования. При динамическом хеджировании обновляйте акции и деньги только по фактическим сделкам и отделяйте самофинансируемый реестр от атрибуции греков.
7. До и после экспирации сверяйте закрывающие сделки, исполнение держателем, назначение продавцу, физические или денежные расчеты, скорректированный поставочный актив, остаток акций, закрытие хеджа, финансирование, заем, дивиденды, комиссии, налоги и каждый модельный остаток.
## Четыре расчетных примера
- **Фиксированный однодневный порог с издержками.** Один длинный контракт имеет единичную Gamma `0.08 Delta/$/share`, отображаемую Theta `-$0.18/share/calendar day`, множитель `M = 100` и издержки полного оборота `$4/contract`. Локальный порог без издержек равен `sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436`; с распределением издержек `$0.04/share` получаем `sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799`. Движение на `$2` дает `$16 - $18 - $4 = -$6`, а на `$2.50` - `$25 - $18 - $4 = +$3`. Это однопериодные диагностики с фиксированными греками, а не исполнимые пороги или безубыточность при экспирации.
- **Перенос PDE не сводится к Gamma против Theta.** Для европейского колла с `S = K = $100`, `T = 0.5`, `r = 4%`, `q_div = 1%` и `sigma = 25%` предположим `V = $7.721552230288`, `Delta = 0.565932317133`, `Gamma = 0.022120576997` и `Theta = -$8.301615173889/share/year`. Член Gamma равен `$6.912680311701/share/year`, объединенный член финансирования и дивидендов - `$1.388934862188/share/year`; вместе они дают `$8.301615173889`, то есть `-Theta`. Деление на `365` дает около `-$0.022744151161/share/calendar day`, однако поставщик может использовать другое дневное соглашение.
- **Самофинансируемая траектория по фактическим сделкам.** Delta-хеджированная позиция с длинной Gamma начинает и завершает путь при споте `$100`. После роста она продает `100 shares` по `$101.95`; после разворота покупает `100 shares` по `$100.05`. Денежный результат хеджа равен `+$190`, две сделки стоят `$10`, а полная оценка опциона меняется на `-$150`. Совокупный результат составляет `$190 - $10 - $150 = +$30`. Не прибавляйте повторно идеальный доход хеджа `$200` или локальный член Gamma.
- **Локальные греки и полная переоценка.** При тех же параметрах через один календарный день и при `S_1 = $105` локальные члены на акцию равны: Delta `$2.829661585667`, Gamma `$0.276507212468`, Theta `-$0.022744151161`, сумма `$3.083424646974`. Полная стоимость при неизменной волатильности равна `$10.794375525849`, фактическое изменение `$3.072823295561`, ошибка Тейлора `$0.010601351413`. Исходный Delta-хедж оставляет `$0.243161709894/share`. Если волатильность растет до `30%`, полная стоимость становится `$12.136197003065`, изменение опциона `$4.414644772777`, результат с хеджем `$1.584983187110/share`; разница не является чистой Gamma, Theta или реализованной дисперсией.
## Риски измерения, исполнения и жизненного цикла
- Неверно применены знак позиции, количество, множитель, поставочный актив, стоимость пункта или FX.
- Уже масштабированные на контракт или позицию данные умножены повторно.
- Единица спот-цены для Gamma не указана либо смешаны долларовый и процентный шоки.
- Смешаны годовое, календарное, торговое, выходное и остаточное временные соглашения Theta.
- Vega на один пункт волатильности умножена на десятичное изменение без преобразования.
- Предполагается, что начальный Delta-хедж остается нейтральным при изменении спота и времени.
- Одна локальная Gamma экстраполируется на большое движение при изменении Speed и старших порядков.
- Gamma и Theta считаются постоянными при изменении спота, времени и волатильности.
- Из соотношения переноса PDE исключены ставки, дивиденды, заем, удобство владения и финансирование опциона.
- Приближение Тейлора применяется вне локальной области модели и координат.
- Атрибуция греков прибавляется к полной оценке, и изменение учитывается дважды.
- Один конечный шок считается динамически хеджированной траекторией или денежным потоком гамма-скальпинга.
- Смешаны выборка реализованной дисперсии, число дней, ночные доходности и скачки.
- Одна IV входа считается уплаченной дисперсией или достаточным условием прибыли.
- Не учтены уровень волатильности, наклон, срочная структура, Vanna, Volga, Charm и перекрестные члены.
- Теоретические или средние значения заменяют исполнимые котировки, объем и сделки.
- Не учтены частичные исполнения, отклонения, задержки, спреды, влияние, комиссии и несработавшие триггеры.
- Предполагается, что разрыв, остановка, закрытая сессия или стоп-заявка сохраняют модельную траекторию хеджа.
- Не учтены маржа, финансирование, дивиденды, доступность займа, отзыв и принудительная ликвидация.
- Пропущены досрочное исполнение, назначение, скорректированные контракты, физические или денежные расчеты, остаток позиции, налог или финальная сверка.
## Распространенные заблуждения
- **«Высокая Gamma сама по себе делает опцион привлекательным».** Результат по-прежнему определяют цена, Theta, динамика поверхности, траектория и исполнимые издержки.
- **«Положительная Theta - ежедневный процент или бесплатный доход».** Это условная модельная производная, сопровождаемая другими рисками и членами переноса.
- **«Gamma и Theta обмениваются по постоянному курсу весь день».** Они меняются с состоянием модели, позицией и временным соглашением.
- **«Локальный порог - безубыточность сделки или экспирации».** Это не подразумеваемое движение и не гарантированный исполнимый триггер.
- **«Delta-хедж или ограниченная премия устраняют риск».** Сохраняются разрывы, переоценка волатильности, ликвидность, маржа, назначение и повторные убытки.
## Связанные темы
- [Гамма-риск](/ru/options/gamma-risk/)
- [Theta](/ru/options/theta/)
- [Гамма-скальпинг](/ru/options/gamma-scalping/)
## Первичные и академические источники
- [Gamma](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/gamma)
- [Theta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/theta)
- [Options Delta](https://www.optionseducation.org/advancedconcepts/delta)
- [Options Calculator](https://www.cboe.com/education/tools/options-calculator/)
- [Characteristics and Risks of Standardized Options](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Option Pricing and Replication with Transactions Costs](https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1985.tb02383.x)
- [When You Hedge Discretely: Optimization of Sharpe Ratio for Delta-Hedging Strategy under Discrete Hedging and Transaction Costs](https://doi.org/10.2139/ssrn.1865998)
Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/gamma-theta-tradeoff/index.mdx