---
title: "Геометрическое броуновское движение: меры, точное моделирование и модельный риск"
description: "Проверяйте GBM через физическую и риск-нейтральную меры, моменты логнормального распределения, точное моделирование и схему Эйлера, ошибку Монте-Карло, мониторинг траектории и ограничения модели."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---
> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# Геометрическое броуновское движение: меры, точное моделирование и модельный риск
> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.
## Краткий ответ
При физической мере `P` геометрическое броуновское движение с постоянными параметрами записывается как `dS_t / S_t = mu dt + sigma dW_t^P`. Его точное решение имеет вид `S_t = S_0 exp[(mu - 0.5 sigma^2)t + sigma W_t^P]`, поэтому `ln(S_t / S_0) ~ N((mu - 0.5 sigma^2)t, sigma^2 t)`, а цены на конечном горизонте строго положительны.
Здесь `mu` — параметр мгновенного ожидаемого роста цены, а не средний темп роста логарифмической доходности. При риск-нейтральной мере `Q` цена актива без учета выплачиваемых дивидендов, имеющего непрерывную дивидендную доходность `q`, подчиняется `dS_t / S_t = (r - q)dt + sigma dW_t^Q`. Эти меры отвечают на разные вопросы и используют разные броуновские движения; риск-нейтральные вероятности не являются прогнозами доходности.
## Постройте и проверьте GBM за семь шагов
1. Укажите, служит ли задача физическому прогнозированию, риск-нейтральной оценке, стресс-тестированию, численной проверке или обучению; не смешивайте результаты `P` и `Q`.
2. Зафиксируйте `S_0`, валюту, соглашение о цене или полной доходности, `mu` или `r - q`, волатильность, ставки, дивиденды, горизонт, метку времени, базис времени, начисление и порядок учета корпоративных действий.
3. Запишите SDE для выбранной меры, точное решение и единицы. При `P` выполняются `E[S_t] = S_0 e^(mu t)`, `Var[S_t] = S_0^2 e^(2 mu t)(e^(sigma^2 t) - 1)` и `E[S_t / S_0 - 1] = e^(mu t) - 1`.
4. До моделирования траекторий или выплат проверьте среднее и дисперсию логарифмической доходности, среднее, дисперсию, медиану, моду и квантили цены, а также различие простой и логарифмической доходности.
5. Для GBM с кусочно-постоянными параметрами моделируйте по формуле `S_(i+1) = S_i exp[(mu - 0.5 sigma^2) Delta t + sigma sqrt(Delta t) Z_i]`, используя независимые `Z_i ~ N(0,1)`, зарегистрированный генератор и воспроизводимое начальное состояние. Сравнивайте со схемой Эйлера только при исследовании дискретизации.
6. Указывайте число траекторий, оценку, стандартную ошибку, доверительный интервал и сходимость. Для барьеров, экстремумов, первого прохождения и дискретного наблюдения учитывайте пересечения между шагами с помощью броуновских мостов либо явно заданного приближения наблюдения.
7. Разделяйте ошибки параметров, выборки, дискретизации и структурную ошибку модели; проводите стресс-тесты скачков, стохастической волатильности, тяжелых хвостов, эффекта рычага, дефолта, ликвидности, остановок, транзакционных издержек, расчетов и смены режимов.
## Четыре примера с расчетами
- **Моменты физического распределения.** Пусть `S_0 = $100`, `mu = 8%`, `sigma = 20%` и `T = 1`. Среднее логарифмической доходности равно `0.06`, а дисперсия — `0.04`. Медиана равна `$106.1836546545`, среднее — `$108.3287067675`, мода — `$102.0201340027`, дисперсия — `$478.9188716836`, стандартное отклонение — `$21.8842151261`. Шоки `Z = -1` и `Z = +1` дают `$86.9358235399` и `$129.6930086666`; это сценарии, а не границы.
- **Точная траектория и схема Эйлера.** При `S_0 = $100`, `mu = 6%`, `sigma = 30%`, `Delta t = 0.25` и `Z = [0.5, -1, 0.25, 1.25]` точные цены равны `$108.1933804806`, `$93.4727720616`, `$97.4091536282` и `$117.9393118711`. Схема Эйлера заканчивается на `$119.3300424062`. Точный экспоненциальный переход сохраняет положительность при этих постоянных коэффициентах; схема Эйлера имеет смещение дискретизации и может дать отрицательную цену.
- **Риск-нейтральная стоимость опциона.** Пусть `S_0 = $100`, `K = $105`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `sigma = 25%` и `T = 0.75`. Форвард равен `$101.8926885052`, `d_1 = -0.0304963995`, а `d_2 = -0.2470027504`; стоимость европейского колла равна `$7.2291486749`. Физический дрейф `mu` не входит в эту контролируемую безарбитражную цену.
- **Ошибка выборки Монте-Карло.** При `P` возьмем `S_0 = $100`, `mu = 7%`, `sigma = 25%` и `T = 0.5`. Для `S_T > $120` порог равен `z_star = 0.9217649222`, а точная вероятность — `0.1783256040`. При `N = 100,000` независимых траекторий теоретическая стандартная ошибка оценки Бернулли равна `0.0012104775`; полуширина интервала `95%` равна `0.0023725358`, что дает эталонный интервал с центром в истинном значении `[0.1759530681, 0.1806981400]`. Увеличение числа траекторий снижает ошибку выборки, но не ошибку модели.
## Риски входных данных, расчетов и модели
- Смешение физической и риск-нейтральной мер или соответствующих броуновских движений.
- Принятие `mu` за средний темп логарифмической доходности или конечную простую доходность.
- Смешение цены без учета выплаченных дивидендов, полной доходности и реинвестированных распределений.
- Смешение `r`, `r - q`, дискретных дивидендов, начисления и форвардных соглашений.
- Смешение календарного, торгового, внутридневного и годового времени.
- Использование волатильности в процентах вместо десятичной дроби либо неверной годовой нормализации.
- Использование устаревших параметров, пересмотренных данных, будущей информации или несогласованных меток времени.
- Опора на короткую и шумную оценку дрейфа для определения направления.
- Предположение о независимых стационарных гауссовских приращениях логарифмической доходности во всех режимах.
- Предположение о совместимости постоянной волатильности с перекосом, срочной структурой, кластеризацией и эффектом рычага.
- Пропуск скачков, ночных разрывов, внезапного дефолта до нуля и остановок торгов.
- Предположение, что логнормальная модель отражает тяжелые хвосты и кризисную зависимость.
- Игнорирование стохастических ставок, дивидендов, стоимости займа или структуры корреляций нескольких активов.
- Использование схемы Эйлера при наличии точного перехода GBM либо игнорирование вероятности отрицательной цены.
- Отсутствие записи генератора, начального состояния, метода антитетических переменных или снижения дисперсии и данных воспроизводимости.
- Представление траекторий без стандартной ошибки оценки, доверительного интервала и проверки сходимости.
- Пропуск пересечений барьера между шагами, экстремумов и событий первого прохождения.
- Смешение увеличения числа временных шагов со снижением структурной ошибки модели.
- Принятие калибровки по одной цене или одному моменту распределения за проверку модели.
- Пропуск исполнимых цен, ликвидности, издержек, закрытия рынка, расчетов по продукту, управления и сверки.
## Распространенные заблуждения
- **«GBM предсказывает цену акции».** Он задает условное распределение при выбранных параметрах.
- **«Дрейф логарифмической доходности равен mu».** При используемой здесь физической записи он равен `mu - 0.5 sigma^2`.
- **«Риск-нейтральная вероятность — прогноз реального мира».** Это мера оценки при заданных рыночных предпосылках.
- **«Больше шагов или траекторий делают рыночную модель реалистичной».** Они устраняют ошибку дискретизации или выборки, но не недостающие экономические факторы.
- **«Положительность логнормальных цен ограничивает риск падения».** Цена может сколь угодно близко подойти к нулю, а GBM не учитывает внезапный дефолт.
## Связанные темы
- [Модель Блэка — Шоулза](/ru/options/black-scholes-model/)
- [Оценка опционов методом Монте-Карло](/ru/options/monte-carlo-option-pricing/)
- [Скачкообразно-диффузионная модель опционов](/ru/options/jump-diffusion-option-model/)
## Первичные и академические источники
- [On stochastic differential equations](https://doi.org/10.1090/memo/0004)
- [Mathematics of Speculative Price](https://doi.org/10.1137/1015001)
- [The Pricing of Options and Corporate Liabilities](https://doi.org/10.1086/260062)
- [Theory of Rational Option Pricing](https://doi.org/10.2307/3003143)
- [An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations](https://doi.org/10.1137/S0036144500378302)
- [1.3.6.6.9. Lognormal Distribution](https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3669.htm)
- [Option pricing when underlying stock returns are discontinuous](https://doi.org/10.1016/0304-405X(76)90022-2)
- [The Variation of Certain Speculative Prices](https://doi.org/10.1086/294632)
Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/geometric-brownian-motion/index.mdx