--- title: "Модель Хестона: риск-нейтральная дисперсия, численные методы и калибровка" description: "Проверяйте Хестона через риск-нейтральные параметры, границы дисперсии, коррелированные шоки, соглашения характеристической функции, взвешенную по котировкам калибровку и численную валидацию." image: "https://wiki.fcontext.com/og.png" --- > Documentation Index > Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt > Use this file to discover all available pages before exploring further. # Модель Хестона: риск-нейтральная дисперсия, численные методы и калибровка > Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам. ## Краткий ответ В распространенной спецификации под риск-нейтральной мерой `Q` модель Хестона задает `dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q)` и `dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q)`, где `d_t = rho dt`. Пять основных параметров ценообразования — `v_0`, `theta`, `kappa`, `xi` и `rho`. Это риск-нейтральные калибровочные параметры, если явно не задан переход от физической меры к риск-нейтральной через премию за риск дисперсии. Они способны создавать стохастическую дисперсию, нисходящий скью и срочные эффекты, но подобранная совокупность не является единственной истиной о рынке, прогнозом волатильности или доказательством качества хеджирования. ## Построение, калибровка и проверка в семь шагов 1. Зафиксируйте требование, правила исполнения и расчетов, валюту, рыночную временную метку, форвард, кривую дисконтирования, дивиденды, заем и используемую меру: физическую `P` или ценовую `Q`. 2. Запишите SDE и единицы: `v_0` и `theta` — годовые дисперсии, `kappa` имеет размерность `1/year`, `xi` — `1/sqrt(year)`, а безразмерный `rho` лежит в `[-1, 1]`. Документируйте переход премии за риск дисперсии из `P` в `Q`. 3. Потребуйте допустимые знаки и корреляцию, затем проверьте `2 kappa theta >= xi^2`. Точный корневой процесс неотрицателен; достаточное условие Феллера определяет недостижимость нуля или строгую положительность, а его невыполнение не делает точную дисперсию отрицательной и не аннулирует все цены. 4. Зафиксируйте соглашение характеристической функции, например `phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)]`, координаты логарифма цены или форварда, знак Фурье, затухание, дисконтирование, ветви комплексных квадратного корня и логарифма, предел интегрирования, сетку и допуск. 5. Очистите синхронные исполнимые данные бид, аск, размера, форварда, дисконта, дивидендов и корпоративных событий. По документированным правилам удалите устаревшие, пересеченные, нулевого размера котировки и нарушения статического арбитража; определите веса по цене, подразумеваемой волатильности, веге, спреду или иной величине. 6. Калибруйте из нескольких начальных точек и сообщайте границы, штрафы Феллера, если они применяются, альтернативные почти оптимальные наборы, нормированные на спред остатки, обусловленность градиента или якобиана и нестабильность параметров, а не только один RMSE. 7. Проверяйте паритет пут-колл, предел детерминированной волатильности, сходимость квадратуры и FFT, сверки методом конечных разностей или Монте-Карло, смещение схем моделирования, цены и P/L хеджа вне выборки, затем стрессируйте скачки, события, ликвидность, повторную калибровку и расчеты. ## Четыре расчетных примера - **Моменты и диагностика Феллера.** Пусть `v_0 = 0.09`, `theta = 0.04`, `kappa = 2`, `xi = 0.30`, `rho = -0.70` и `t = 0.5`. Тогда `E^Q[v_t] = 0.0583939721`, `sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473`, период полураспада равен `0.3465735903 year = 4.1588830834 months`, а `2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09`. Достаточное условие выполнено, но `sqrt(E[v_t])` не равно `E[sqrt(v_t)]` и не является подразумеваемой волатильностью опциона. - **Построение коррелированного шока.** При `rho = -0.70`, `Z_S = -1.2` и независимом `Z_perp = 0.5` используйте `Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214`. Для `S = $100`, `v = 0.04`, `r = 4%`, `q = 1.5%`, `kappa = 2`, `theta = 0.04`, `xi = 0.30` и `Delta t = 1/252` простая диагностика Эйлера дает `S_next = $98.4980627429`, `v_next = 0.0445245047` и `sqrt(v_next) = 0.2110083048`. Это проверка знаков и единиц; простой Эйлер не рекомендуется для промышленного применения. - **Ожидаемая интегрированная дисперсия.** Для первого набора параметров и `T = 1.5` получаем `E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years`. Средняя ожидаемая дисперсия равна `0.0558368822`, ее корень — `0.2362982907`. Это не реализованная дисперсия отдельной траектории и не котируемая непосредственно IV опциона. - **Веса калибровки меняют диагноз.** Три котировки имеют значения бид/аск/модель/вега `(5.10, 5.30, 5.18, 12)`, `(2.00, 2.10, 2.08, 4)` и `(0.45, 0.55, 0.60, 1.5)`. Остатки относительно середины равны `-0.02`, `+0.03` и `+0.10`, а нормированные на полуспред — `-0.2`, `+0.6` и `+2.0`. Ценовая SSE равна `0.0113`, взвешенная по спреду SSE — `4.40`, остатки, нормированные на вегу, — `-0.0016667`, `+0.0075` и `+0.0666667` в десятичных единицах волатильности. Целевая функция меняет значимость ошибки для оптимизатора. ## Модельные, калибровочные и численные риски - Смешение физических и риск-нейтральных параметров или пропуск премии за риск дисперсии. - Смешение дисперсии с волатильностью или неверное извлечение квадратного корня. - Смешение единиц года, дня, ставок, дивидендов и годовой волатильности. - Неверные форвард, дисконт, непрерывные или дискретные дивиденды. - Недопустимые знаки параметров или выход `rho` за `[-1, 1]`. - Трактовка невыполнения Феллера как отрицательной точной дисперсии или автоматической непригодности модели. - Наивные траектории Эйлера, создающие отрицательную дисперсию и смещенные выплаты. - Игнорирование различий смещения и сходимости между усечением, QE и точными схемами. - Смешение координат лог-цены, лог-форварда, знака Фурье или соглашений характеристической функции. - Несогласованные ветви комплексных корня или логарифма, вызывающие «малую ловушку Хестона». - Недостаточный предел интегрирования, разрешение квадратуры, затухание FFT или допуск. - Провал тестов детерминированной волатильности, паритета, вероятности и независимого движка. - Калибровка по устаревшим, асинхронным, индикативным, пересеченным или нулевого размера котировкам. - Подача в калибровку поверхности с нарушениями статического арбитража или искажениями корпоративных событий. - Трактовка ошибок относительно середины как исполнимых при игнорировании спреда и размера. - Предположение об эквивалентности целей по цене, IV, веге и спреду. - Доверие одной начальной точке при локальных минимумах, плоских направлениях и слабой идентификации. - Переобучение на одной поверхности без проверки цен и хеджа вне выборки. - Предположение, что непрерывный Хестон с постоянными параметрами отражает скачки, события, дефолт, все улыбки и будущую динамику поверхности. - Пропуск ликвидности, затрат, маржи, расчетов по продукту, контроля повторной калибровки и управления моделью. ## Распространенные заблуждения - **"Хестон предсказывает волатильность."** Он задает условную динамику после выбора меры и параметров. - **"Невыполнение Феллера делает дисперсию отрицательной, а все цены недействительными."** Точное поведение на границе и численная дискретизация — разные вопросы. - **"Закрытая форма исключает численные методы."** Ценообразование Хестона все равно требует обращения характеристической функции и численного контроля. - **"Лучшая подгонка однозначно определяет динамику и хедж."** Разные параметры и целевые функции могут давать сходную подгонку. - **"Стохастическая волатильность отражает крахи и любую улыбку."** Стандартный Хестон остается непрерывной диффузией с постоянными параметрами. ## Связанные темы - [Подразумеваемая волатильность](/ru/options/implied-volatility/) - [Ценообразование опционов методом Монте-Карло](/ru/options/monte-carlo-option-pricing/) - [Ценообразование опционов методом конечных разностей](/ru/options/finite-difference-option-pricing/) ## Первичные и академические источники - [A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options](https://doi.org/10.1093/rfs/6.2.327) - [A Theory of the Term Structure of Interest Rates](https://doi.org/10.2307/1911242) - [Option Valuation Using the Fast Fourier Transform](https://doi.org/10.21314/JCF.1999.043) - [Simple and Efficient Simulation of the Heston Stochastic Volatility Model](https://doi.org/10.21314/JCF.2008.189) - [Exact Simulation of Stochastic Volatility and Other Affine Jump Diffusion Processes](https://doi.org/10.1287/opre.1050.0247) - [A Comparison of Biased Simulation Schemes for Stochastic Volatility Models](https://doi.org/10.1080/14697680802392496) - [The Little Heston Trap](https://www.ma.imperial.ac.uk/~ajacquie/IC_Num_Methods/IC_Num_Methods_Docs/Literature/HestonTrap.pdf) - [Full and fast calibration of the Heston stochastic volatility model](https://doi.org/10.1016/j.ejor.2017.05.018) Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/heston-model/index.mdx