---
title: "Модель локальной волатильности: от поверхности опциона к волатильности, зависящей от состояния"
description: "Узнайте, как модель локальной волатильности преобразует поверхность опциона, согласованную с арбитражем, в детерминированную функцию волатильности, как работает уравнение Дюпире и почему точная калибровка не гарантирует реалистичную будущую динамику."
image: "https://wiki.fcontext.com/og.png"
---
> Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://wiki.fcontext.com/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.
# Модель локальной волатильности: от поверхности опциона к волатильности, зависящей от состояния
> Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.
## Краткий ответ
**Модель локальной волатильности** делает мгновенную волатильность детерминированной функцией текущего базового уровня и времени: `dS_t=(r-q)S_tdt+σ_loc(S_t,t)S_tdW_t` при простой нейтральной к риску спецификации. В отличие от Блэка-Шоулза с одной постоянной волатильностью, он может воспроизводить весь срез цен европейских опционов по страйкам и срокам действия, если откалиброван на достаточно гладкую, согласованную с арбитражем поверхность.
Модель завершена в своей идеализированной диффузионной настройке и полезна для ценообразования претензий, зависящих от пути, и расчета хеджирования, соответствующего сегодняшней «ванильной поверхности». Точное соответствие сегодня не означает, что оно предсказывает поверхность подразумеваемой волатильности завтрашнего дня. Динамика его будущей улыбки определяется детерминированной функцией и может существенно отличаться от наблюдаемых рынков.
## Механика калибровки Dupire
Пусть `C(K,T)` будет европейской ценой колл-опцион (call option — право купить базовый актив) как функция страйка `K` и срока истечения `T`, с постоянной ставкой `r` и дивидендной доходностью `q` для иллюстрации. Прямое уравнение Дюпире дает:
`σ_loc²(K,T)=[∂_T C+(r-q)K∂_K C+qC]/[0.5K²∂²_KK C]`.
Кривизна страйка `∂²_KK C` связана с нейтральной к риску плотностью терминалов. Следовательно, чтобы формула имела смысл, цены колл должны уменьшаться и оставаться выпуклыми в страйке, а календарные отношения должны быть последовательными. На практике отделы сначала очищают котировки, конвертируют ставки и дивиденды в форвардные и дисконтные коэффициенты, подготавливают гладкую контролируемую арбитражем поверхность, дифференцируют ее, а затем интерполируют или экстраполируют сетку локальной волатильности.
Калиброванный σ_loc(K,T) — это не просто указанная подразумеваемая волатильность при данном страйке и зрелости. подразумеваемая волатильность — это один постоянный параметр Блэка-Шоулза, который воспроизводит конкретную цену опциона; локальная волатильность — это мгновенный коэффициент диффузии, зависящий от состояния, распределение которого воспроизводит более широкую поверхность.
## Наглядный расчет Дюпире
Предположим, что в `K=$100` и `T=1` году сглаженная поверхность вызова дает `C=$8`, `∂_T C=10` долларов в год, `∂_K C=-0.45` и `∂²_KK C=0.018` за доллар. Пусть `r=5%` и `q=2%`. Числитель:
`10+(0.05-0.02)×100×(-0.45)+0.02×8=8.81`.
Знаменатель: `0.5×100²×0.018=90`. Таким образом, локальная дисперсия равна `8.81/90=0.0979`, а локальная волатильность — `√0.0979=31.3%`.
Это числовая иллюстрация, а не рыночная оценка. Если шумная аппроксимация изменила кривизну с `0.018` на `0.012`, в то время как другие входные данные остались неизменными, предполагаемая волатильность увеличится до `√(8.81/60)=38.3%`. Значительное изменение демонстрирует, почему важны фильтрация котировок, безарбитражное сглаживание, стабильность сетки и проверки вне выборки.
## Контрольный список калибровки и модельного риска
- Используйте синхронизированные котировки исполняемых опционов, форвардные цены, коэффициенты дисконтирования, дивиденды, условия контрактов и соглашения о расчетах.
- Удалите перечеркнутые, устаревшие, нулевые и экономически противоречивые наблюдения в соответствии с задокументированными правилами.
- Обеспечьте выпуклость простирания и соответствующую календарную монотонность, прежде чем брать числовые производные.
- Проверьте чувствительность к интерполяции, штрафам за сглаживание, весам котировок, шагу сетки, граничным условиям и экстраполяции.
- Переоценивайте все калибровочные ванили и сообщайте об ошибках в исполняемых ценовых единицах, а не только в точках подразумеваемой волатильности.
- Сравните поведение хеджирования локальной волатильности с альтернативами Блэка-Шоулза и стохастической волатильности в условиях спотовых шоков и шоков улыбки.
- Стрессовые разрывы и скачки. Непрерывная диффузия не может предотвратить мгновенный разрыв.
- Рассматривать будущую динамику поверхности как модельное предположение; локальная волатильность часто вызывает движение улыбки, отличное от рыночного.
- Будьте осторожны с барьерами и другими требованиями, зависящими от пути, ценность которых зависит от смоделированного распределения путей, а не только от конечных цен ванили.
- Выполняйте повторную калибровку при изменении поверхности и различайте эффекты рыночных прибылей и убытков, переноса, ошибки хеджирования и эффектов повторной калибровки модели.
- Избегайте экстраполяции редких «крыльев» или длинных сроков погашения без явных ограничений; производные могут увеличить небольшие ошибки ввода.
- Включите ликвидность, транзакционные издержки, дискретное хеджирование, досрочное исполнение опциона его держателем (exercise), а также условия контрагента или расчетов за пределами идеализированного уравнения.
## Распространённые заблуждения
- «Локальная волатильность равна подразумеваемой волатильности в каждой точке». Эти два объекта имеют разные определения и способы использования.
- «Точная калибровка доказывает, что модель верна». Многие модели могут соответствовать сегодняшним ценам ванильных опционов, но подразумевают разные траектории и стратегии хеджирования.
- «Формулу Дюпире можно применять непосредственно к необработанным котировкам». Для этого требуются гладкие производные и арбитражно-согласованные входные данные.
- «Полное распространение устраняет всякий риск». Пробелы, дискретное хеджирование, ликвидность, изменения параметров и ошибки модели остаются.
- «Большая детализация поверхности всегда повышает точность». Дифференциация может усилить шумные и неликвидные котировки.
- «Модель прогнозирует волатильность». Калибровка извлекает функцию ценообразования, нейтральную к риску; это не физический прогноз.
- «Две модели, соответствующие всем сортам ванили, должны иметь одинаковую цену на каждую экзотику». Распределение путей и будущая динамика улыбки могут различаться.
- «Отрицательная локальная дисперсия является достоверным сигналом». Обычно это указывает на противоречивые данные, сглаживание, производные или предположения, требующие исследования.
## Похожие темы
- [Модель Блэка-Шоулза](/ru/options/black-scholes-model/)
- [Подразумеваемая волатильность](/ru/options/implied-volatility/)
- [Модель Хестона](/ru/options/heston-model/)
- [Оценка опционов методом конечных разностей](/ru/options/finite-difference-option-pricing/)
- [Дельта-хеджирование](/ru/options/delta-hedging/)
- [Гамма-риск](/ru/options/gamma-risk/)
## Первичные и академические источники
- [Дюпир: Цены с улыбкой](https://www.risk.net/derivatives/1500210/pricing-smile)
- [Дерман и Кани: верхом на улыбке](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1994/01/gs-volatility_smile.pdf)
- [Дерман, Кани и Зоу: The Local Volatility Surface](https://emanuelderman.com/wp-content/uploads/1996/06/gs-local_volatility_surface.pdf)
- [Хаган и соавторы: Managing Smile Risk](https://wilmott.com/managing-smile-risk/)
- [OCC (Options Clearing Corporation, клиринговая организация биржевых опционов США): Характеристики и риски стандартизированных опционов](https://www.theocc.com/company-information/documents-and-archives/options-disclosure-document)
Source: https://wiki.fcontext.com/ru/options/local-volatility-model/index.mdx